Wykład+10.pdf

(42 KB) Pobierz
Wykład+10
ELEMENTY TEORII MACIERZY
DEFINICJA
....
....
.... .... .... ....
....
11
a
12
a
1
n
Tablicę liczb postaci
a
21
a
22
a
2
n
nazywamy macierzą o m wierszach i n kolumnach (macierzą o
a
m
1
a
m
2
a
mn
wymiarach m
´
n ).
Oznaczenia macierzy : A , B , C albo [ a ij ], [ b ij ], [ c ij ].
· Liczby a ij nazywamy elementami macierzy .
·
JeŜeli m
n , to macierz nazywamy kwadratową , a układ liczb a 11 , a 22 , ... , a nn nazywamy główną przekątną
macierzy kwadratowej.
=
1
0
3
0
· Macierz n
´
n postaci
0
1
3
0
nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy I n .
3
3
3
3
0
0
3
1
Przykłady
A
=
2
4
1
macierz prostokątna 2
´
3, a 13
=
1, a 22
=
0;
1
0
-
3
1
1
4
B
=
6
-
1
0
macierz kwadratowa 3
´
3 (macierz kwadratowa stopnia 3).
-
2
1
-
2
1
0
0
0
C
=
-
2
1
0
0
przykład macierzy trójkątnej (zawsze kwadratowa);
1
0
2
0
3
1
2
8
3
0
0
D
=
0
1 0
przykład macierzy diagonalnej (zawsze kwadratowa);
0
0
-
1
E
=
0 0
0 0
0 0
przykład macierzy zerowej ;
I 3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
macierz jednostkowa stopnia 3 (zawsze kwadratowa).
F
=
0
2
6
, G
= [
3 2
-
-
1 0
1
]
wektory .
a
DEFINICJA
Niech A
=
[ a ij ], B
=
[ b ij ] będą macierzami o wymiarach m
´
n .
1) Sumą (róŜnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C
=
[ c ij ] o wymiarach m
´
n taką, Ŝe c ij
=
a ij
±
b ij .
C .
2) Iloczynem macierzy A przez liczbę k nazywamy macierz D
Zapisujemy A
±
B
=
=
[ d ij ] taką, Ŝe d ij
=
k
×
a ij .
Zapisujemy k × A
=
D .
Przykład
Niech A
=
1
-
1 2
, B
=
0
1
1
; A
+
B
=
1 0 3
8 0 1
, 3
×
A
=
3 3 6
18 9 3
-
.
6
3
1
2
-
3
0
DEFINICJA
Dane są wektory
a
=
[
a a
1
2 2 i
a n
]
b
=
[
b b
1
2 2 . Iloczynem skalarnym wektorów
b n
]
a
i
b
nazywamy
liczbę
a
o
b
=
a 1 b 1
+
a 2 b 2
+
...
+
a n b n .
DEFINICJA
Niech A
=
[ a ij ] będzie macierzą o wymiarach m
´
r , a B
=
[ b jk ] będzie macierzą o wymiarach r
´
n . Iloczynem
macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C
=
[ c ik ] o wymiarach m
´
n taką, Ŝe
∑ 1
r
c ij
=
a i 1 b 1 k
+
a i 2 b 2 k
+
a i 3 b 3 k
+
...
+
a ir b rk
=
a b
ij jk
.
j
=
Uwagi do definicji
1. Liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B .
2. Element c ik macierzy C to iloczyn skalarny i -tego wiersza macierzy A przez k -tą kolumnę macierzy B .
3. MnoŜenie macierzy nie jest przemienne tzn. AB
¹
BA .
4. JeŜeli A jest macierzą kwadratową, to A 2
=
AA .
Przykład
1)
a
= [
2
-
2
1
4
]
,
b
= [
1
5
-
3
-
2
]
;
a
o
b
=
2
×
1
+
(
-
2)
5
+
1
(
-
3)
+
4
×
(
-
2)
=
-
19.
2) A
=
1 3
2 4
, B
=
-
2
-
1
, AB
=
1 2 3 1 1 1 3 0
2 2 4 1 2 1 4 0
× - + ×
( )
× - + ×
( )
=
1
-
-
1
.
1
0
× - + ×
( )
× - + ×
( )
0
2
1
2
1
0
1
3) C
=
, D
=
1
- 2
3
. Szukamy macierzy E
=
CD .
4
-
1
0
-
1
D
0
1
1
- 2
3
C
-
1
1
2
1
1
- 7
3
4
-
1
0
-
1
TWIERDZENIE ( własno ś ci iloczynu macierzy )
1) AI
=
IA
=
A ;
2) AO
=
OA
=
O , gdzie O oznacza macierz zerową;
3) A ( BC )
=
( AB ) C ;
4) A ( B
+
C )
=
AB
+
AC ;
5) ( k A ) B
=
A ( k B )
=
k ( AB ).
×
×
214668592.001.png
DEFINICJA
Niech A
=
[ a ij ] będzie macierzą o wymiarach m
´
n . Macierz A T
=
[ a ji ] otrzymaną z macierzy A przez zamianę
miejscami wierszy i kolumn nazywamy macierzą transponowaną .
TWIERDZENIE ( własno ś ci macierzy transponowanej )
1) ( A T ) T
=
A ;
2) ( A
±
B ) T
=
A T
±
B T ;
k A T ;
4) ( AB ) T = B T A T .
=
KaŜdej macierzy kwadratowej A moŜna przyporządkować pewną liczbę zwaną wyznacznikiem macierzy
i oznaczaną det A lub | A |.
DEFINICJA
Niech A
=
[ a ij ] będzie macierzą o wymiarach n
´
n . Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę określoną
następująco:
1) gdy n = 1, to det[ a 11 ] = a 11 ;
2) gdy n
=
2, to det
a
11
a
12
=
a 11 ×
a 22
-
a 12 ×
a 21 ;
a
a
21
22
n
∑ 1
3) gdy n
>
2, to det[ a ij ]
=
a k 1 A k 1
+
a k 2 A k 2
+ ... +
a kn A kn
=
a A
kj kj
, gdzie A kj
=
(
-
1) k + j
det A kj i A kj jest macierzą o
=
wymiarach ( n
-
1)
´
( n
-
1) otrzymaną z macierzy A po skreśleniu k -tego wiersza i j -tej kolumny.
det A kj nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a kj .
3. Wzór 3) nosi nazwę twierdzenia Laplace’a o rozwijaniu wyznacznika według k -tego wiersza .
=
(
-
1) k + j
×
Przykład
-
metoda obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego ( metoda Sarrusa ).
2
3
-
1
2
3
-
1
0
1 2
2
3
-
1
2 3
0 1
4 3
A
=
0
1 2
, det A
=
4
3
1
=
18 lub det A
=
0
1 2
=
18.
4
3
1
2
3
-
1
4
3
1
0
1 2
3) ( k A ) T
×
j
Uwagi do definicji
1. Wyznacznik det A kj nazywamy minorem macierzy A .
2. Liczbę A kj
214668592.002.png 214668592.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin