2005C16wyklad_11i12-nr_04(1).pdf

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

11. Stopień statycznej niewyznaczalności

Układ geometrycznie zmienny wykazuje duże (dowolne) przemieszczenia przy pewnym

dowolnie małym obciążeniu:

a) mechanizm,

...

Rys. 11.1

b) chwilowa geometryczna zmienność.

...

Rys. 11.2

11.1. Warunek geometrycznej niezmienności układu

Dzielimy układ myślowo na tarcze sztywne - otwarte ciągi sztywno-połączonych

elementów.

Oznaczenia:

- liczba (suma) reakcji zewnętrznych i wewnętrznych (między-

elementowych) układu podzielonego myślowo na części zwane tarczami

sztywnymi. – ciąg „otwartych” sztywno-połączonych elementów,

- liczba dostępnych równań równowagi.

http://www.okno.pg.gda.pl

– 45 –

mjasina@pg.gda.pl

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

Statyczna niewyznaczalność:

re - gdy układ jest statycznie niewyznaczalny,

re - gdy układ jest statycznie wyznaczalny,

re - gdy układ jest kinematycznie zmienny.

11.2. Ramy płaskie.

Dla każdej tarczy możemy zapisać trzy równania równowagi:

∑

(11.1)

Stopień statycznej niewyznaczalności płaskiego układu ramowego można wyznaczyć ze

wzoru

nrer t

(11.2)

gdzie oznacza liczbę tarcz.

11.3. Kratownice płaskie.

W każdym węźle kratownicy możemy zapisać dwa równania równowagi

∑

(11.3)

Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy płaskiej można wyznaczyć ze wzoru

nl r w

(11.4)

gdzie oznacza liczbę prętów, liczbę reakcji a jest liczbą węzłów kratownicy.

http://www.okno.pg.gda.pl

– 46 –

mjasina@pg.gda.pl

=−=−

=+−

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

12. Metoda sił

Metodę sił zapoczątkowały prace J.C. Maxwella [1864] i O. Mohra [1875] dotyczące

obliczeń statycznie niewyznaczalnych kratownic mostowych.

U podstaw metody sił leży znany z mechaniki ogólnej aksjomat więzów , który

mówi, że:

Jeśli układ jest w równowadze, to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go

reakcją tego więzu nie zmienia stanu równowagi ciała.

Statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej

niewyznaczalności 0 możemy przekształcić przez odrzucen n więzów

(zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpieniem ich nieznanymi reakcjami

( , , , )

= …

n .

W wyniku tego zabiegu otrzymujemy układ statycznie wyznaczalny (pozbawiony

pewnych więzów), nazywany dalej układem podstawowym metody sił – ( UPMS ),

który aby odpowiadał układowi wyjściowemu obciążony być musi (oprócz obciążenia

zewnętrznego) dodatkowymi siłami

X zwanymi nadliczbowymi metody sił.

W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym mogą

pojawić się różne od zera przemieszczenia

δ ≠

odpowiednio w miejscu i na kierunku

odrzuconych więzów.

W układzie pierwotnym (wyjściowym), ze względu na istnienie więzów,

przemieszczenia te nie występują (równe są zeru)

δ =

X są niewiadomymi

metody sił.

Niewiadome te można wyznaczyć z warunków zgodności przemieszczeń układów

pierwotnego - statycznie niewyznaczalnego oraz statycznie wyznaczalnego (UPMS),

przy założeniu, że układ podstawowy poddany jest łącznemu działaniu danych obciążeń

zewnętrznych oraz sił nadliczbowych

X .

Siły nadliczbowe zwane są czasem wielkościami hiperestatycznymi .

http://www.okno.pg.gda.pl

– 47 –

mjasina@pg.gda.pl

i .

Otrzymane w powyższy sposób niewiadome nadliczbowe siły

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

Warunki zgodności przemieszczeń można zapisać w poniższej postaci

(, , , , )0

… , (, , , )

X p

= … ,

(12.1)

gdzie - oznacza wpływ danego obciążenia zewnętrznego.

Przedstawiona powyżej idea metody sił oddaje jej nazwę bowiem niewiadomymi

metody są właśnie siły reakcji w pewnych usuniętych więzach wewnętrznych bądź

zewnętrznych, które odrzucono tworząc statycznie wyznaczalny układ podstawowy

metody sił.

Poniżej omówimy szczegółowy opis metody sił i zapiszemy jej algorytm.

Przemieszczenia δ i , które wyznaczane będą celem zapisania warunku zgodności

przemieszczeń obliczane będą przy zastosowaniu twierdzenia o pracy wirtualnej z

uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.

Zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra poszukiwane sumaryczne przemieszczenie δ i

ze wzoru (12.1) otrzymujemy stosując zależność

δδδ δδ

=++++=

…

∫ ∫

+ +

∫

(12.2)

=Σ

∫

MM ds

gdzie symbol oznacza sumowanie po 1,

2 , , n

… p

oraz czyli od obciążeń

X X

, , ,

… oraz .

http://www.okno.pg.gda.pl

– 48 –

mjasina@pg.gda.pl

…

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

Przedmiotem rozważań będzie rama 1 p rzedstawiona na rysunku 12.1.

Rys. 12.1 Układ wyjściowy

n ) jest przyjęcie układu podstawowego

metody sił ( UPMS ), który otrzymujemy przez odrzucenie więzów (zob. rys 12.2) w tym

przypadku zarówno więzu wew

zypa =

dku

nętr

znego (1) jak i zew rzn

nęt ego (2) .

UPMS utworzono poprzez odrzucenie więzów równoznaczne z wstawieniem

przegubów w węzła (1

ch ) i

( B

Na rysunku 12.2 zaznaczono wielkości nadliczbowe:

reakcję wewnętrzną w węźle (1) - moment zginający w przekroju (1) -

X ;

reakcję podporową w węźle

()

- moment podporowy w węźle ( -

)

X .

Warunek równoważności układu wyjściowego i podstawowego czyli warunek

zgodności (12.1) wymaga, by w tym drugim, każde z przemieszczeń uogólnionych δ i

wywołane łącznym działaniem obciążenia zewnętrznego oraz siły

X i

X było

równe zeru

δ δδδ

= ++=

(porównać ze wzorem (12.2)) .

Należy zauważyć, że obciążeniem wirtualnym od którego należy wyznaczyć wykres

momentów uwzględniony we wzorze (12.2) są siły

1 Zaczerpnięto z Mechanika Budowli – ujęcie komputerowe, Tom 1, Arkady, 1991.

http://www.okno.pg.gda.pl

– 49 –

mjasina@pg.gda.pl

Pierwszym krokiem rozwiązania układu, po określeniu stopnia statycznej

niewyznaczalności (w tym pr

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: