1

CAŁKI NIEOZNACZONE

Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy każdą funkcję taką, że

dla każdego z przedziału .

Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.

Całką nieoznaczoną funkcji oznaczaną symbolem  nazywamy wyrażenie  , gdzie  jest funkcją pierwotną funkcji , a jest dowolną stałą. Mamy więc

,    gdzie 

Zapis jest więc skrótem pytania: jakiej to funkcji pochodną jest funkcja f(x), a dx w zapisie informuje o zmiennej, względem której całkujemy.

Podstawowe wzory rachunku całkowego

1.         2.      

Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:

·         dla : ;

·         dla :  ;

·         dla :    .

·          

3.     4..   5.

6.  7. 8. 9.   10.

Własności całek nieoznaczonych:

1. Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:

2. Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.

(podobnie jest z różnicą – na podstawie punktu 1)

Metody całkowania

1.      (Całkowanie przez części ) Jeżeli są funkcjami zmiennej mającymi ciągłą pochodną, to

2.      (Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz  , a funkcja jest ciągła w przedziale , to

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić .

Własność ogólna

Jeśli    to

CAŁKA OZNACZONA

Całkę oznaczoną funkcji w przedziale oznaczamy symbolem :.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli w przedziale jest to pole obszaru ograniczonego krzywą , odcinkiem osi  oraz prostymi równa się całce oznaczonej . Jeżeli zaś w przedziale jest , to analogiczne pole równa się   -.

Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)

Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji , ciągłej w przedziale , tzn. jeśli , to zachodzi wzór: =.

DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci , przy czym funkcja ma w przedziale ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:

.

OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH

Niech dany będzie łuk  AB  krzywej o równaniu gdzie jest funkcją ciągłą i nieujemną  w przedziale  . Wówczas objętość bryły obrotowej  ograniczonej powierzchnią powstałą  w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:,  gdy obrót wokół osi Oy:

Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:

.

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH

Jeżeli funkcja jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale  , oraz w każdym przedziale i jeżeli istnieją granice:    oraz   ,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji w przedziale i oznaczamy symbolem . Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka  niewłaściwa jest rozbieżna.

CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.

Jeżeli funkcja jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym  (- ustalone, - dowolne ) oraz istnieje granica , to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji w przedziale i oznaczamy symbolem .

Analogicznie określa się znaczenie symbolu : jako granicę .