8.pdf
(
129 KB
)
Pobierz
729609165 UNPDF
8Bazaiwymiar
Definicja 8.1.
Baz¡przestrzeniliniowej
nazywamy liniowo niezale»ny układ
jej wektorów, który generuj¦ t¦ przestrze«.
Innymi słowy, układ
B
= (
v
i
)
i
2
I
wektorów z przestrzeni
V
jest baz¡ tej
przestrzeni, gdy
(B1)
B
jest liniowo niezale»ny
(B2)
V
= lin (
B
)
Przykład 8.2.
1. Układ pusty jest baz¡ przestrzeni trywialnej
{
}
.
2. Je»eli
v
6
=
, to układ (
v
) jest baz¡ przestrzeni lin (
v
).
3. Je»eli (
v
i
)
i
2
I
jest baz¡ przestrzeni
V
, za±
:
I
!
I
— bijekcj¡, to układ
i
2
I
jest baz¡ przestrzeni
V
.
4. Układ (
e
1
,...,e
n
) jest baz¡ przestrzeni
F
n
. Nazywamy j¡
baz¡kanoniczn¡
przestrzeni
F
n
.
5. Układ (1
,x,x
2
,x
3
,...
) jest baz¡ przestrzeni
F
[
x
], a układ (1
,x,x
2
,...,x
n
)
jest baz¡ przestrzeni
F
[
x
]
n
.
6. Układ (1
,i
) jest baz¡ przestrzeniC
R
.
Stwierdzenie 8.3.
Układ
B
wektorów przestrzeni liniowej
V
jest jej baz¡ wtedy
i tylko wtedy, gdy ka»dy wektor przestrzeni
V
mo»na jednoznacznie przedstawi¢
jako kombinacj¦ liniow¡ układu
B
.
Dowód:
)
) Zało»my, »e układ
B
= (
v
i
)
i
2
I
jest baz¡ przestrzeni liniowej
V
F
.
Wówczas na mocy (B2) ka»dy wektor
v
2
V
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
z
B
. Dla dowodu jednoznaczno±ci przypu±¢my, »e
v
=
X
i
2
I
a
i
·
v
i
=
X
i
2
I
b
i
·
v
i
,
przy czym
a
i
,b
i
2
F
dla
i
2
I
oraz zbiory
J
=
{
i
2
I
;
a
i
6
= 0
}
,
K
=
{
i
2
I
;
b
i
6
= 0
}
s¡ sko«czone.
Dla
i
2
I
\
(
J
[
K
) mamy
a
i
=
b
i
= 0, a z równo±ci sko«czonych kombinacji
liniowych po zbiorze
J
[
K
wynika, »e
X
(
a
i
−
b
i
)
·
v
i
=
.
i
2
J
[
K
Układ (
v
i
)
i
2
I
jest na zgodnie z warunkiem (B1) liniowo niezale»ny, a jego po-
dukład (
v
i
)
i
2
J
[
K
na mocy stwierdzenia 7.5(1) jest liniowo niezale»ny. Zatem
tak»e
a
i
=
b
i
dla
i
2
J
[
K
, co ko«czy dowód jednoznaczno±ci.
(
) Je»eli układ ka»dy wektor mo»na jednoznacznie przedstawi¢ w postaci
kombinacji liniowej układu
B
= (
v
i
)
i
2
I
, to spełniony jest warunek (B2). Je»eli
X
a
i
·
v
i
=
,
i
2
I
1
v
(
i
)
to z jednoznaczno±ci przedstawienia wektora zerowego i oczywistej równo±ci
X
0
·
v
i
=
i
2
I
wynika zerowanie si¦ wszystkich współczynników, czyli warunek (B1).
Wniosek 8.4.
Układ (
v
1
,...,v
n
) jest baz¡ przestrzeni liniowej
V
wtedy i tylko
wtedy, gdy
V
= lin (
v
1
)
...
lin (
v
n
).
F
takich, »e
v
=
P
i
2
I
a
i
·
v
i
, nazywamy
układemwspółrz¦dnych
w przestrzeni
V
wzgl¦dem bazy
B
, za± układ
C
B
(
v
) = (
a
i
)
i
2
I
—
współrz¦dnymiwektorav
w
bazie
B
.
Przykład 8.6.
1. Wektor (
x
1
,...,x
n
)
2
F
n
ma w bazie kanonicznej (
e
1
,...,e
n
)
współrz¦dne (
x
1
,...,x
n
).
2. Wielomian
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
...a
n
x
n
2
F
[
x
]
n
ma w bazie (1
,x,x
2
,...,x
n
)
współrz¦dne (
a
0
,a
1
,a
2
,...,a
n
).
Stwierdzenie 8.7.
Układ
B
w przestrzeni liniowej jest jej baz¡ wtedy i tylko
wtedy, gdy
B
jest maksymalnym układem liniowo niezale»nym (to znaczy takim
układem liniowo niezale»nym, którego dowolny wła±ciwy nadukład jest liniowo
zale»ny).
Dowód:
)
) Je»eli układ
B
jest baz¡ przestrzeni liniowej
V
, to zgodnie z (B1)
jest liniowo niezale»ny.
Warunek (B2) gwarantuje, »e dowolny wektor
v
2
V
jest kombinacj¡ liniow¡
układu
B
, czyli układ
B
uzupełniony wektorem
v
(a tym bardziej — stw. 7.5(2)
— ka»dy nadukład układu
B
) jest liniowo zale»ny.
(
) Je»eli układ
B
jest maksymalnym układem liniowo niezale»nym, to speł-
nia warunek (B1).
Gdyby pewien wektor
v
2
V
nie był kombinacj¡ liniow¡ układu
B
, to układ
B
uzupełniony wektorem
v
byłby liniowo niezale»ny, co przeczyłoby maksymal-
no±ci układu
B
. Zatem układ
B
spełnia tak»e warunek (B2).
Twierdzenie 8.8.
Ka»daprzestrze«liniowaposiadabaz¦.
Dowód:
Ustalmy przestrze« liniow¡
V
.
Opieramy si¦ na ksi¡»ce K. Kuratowskiego
Wst¦pdoteoriimnogo±ciitopologii
,
gdzie lemat Kuratowskiego–Zorna jest wnioskiem 2 w
x
VIII.8, a definicje porz¡d-
ków podane s¡ w
x
VII.1.
Niech
X
b¦dzie zbiorem, którego ka»dy element jest zbiorem wektorów pewnego
układu liniowo niezale»nego w przestrzeni
V
. Zbiór
X
porz¡dkujemy relacj¡
inkluzji
.
Niech
Y
b¦dzie liniowo uporz¡dkowanym podzbiorem zbioru
X
. Połó»my
h
(
Y
) =
[
A
2
Y
A.
2
Definicja 8.5.
Niech
B
= (
v
i
)
i
2
I
b¦dzie baz¡ przestrzeni liniowej
V
nad ciałem
F
. Funkcj¦ przypisuj¡c¡ ka»demu wektorowi
v
2
V
układ (
a
i
)
i
2
I
skalarów z ciała
Poka»emy, »e zbiór
h
(
Y
) składa si¦ z elementów układu liniowo niezale»nego.
Z definicji kombinacji liniowej wystarczy pokaza¢, »e ka»dy sko«czony podzbiór
zbioru
h
(
Y
) jest liniowo niezale»ny.
Niech
{
v
1
,...,v
k
}
h
(
Y
). Istniej¡ wówczas zbiory
A
i
2
Y
takie, »e
v
i
2
A
i
dla
i
= 1
,...,k
. Zbiór
{
A
1
,...,A
k
}
jest uporz¡dkowany liniowo jako podzbiór
zbioru
Y
, wi¦c z przechodnio±ci i ekstensjonalno±ci otrzymujemy, »e istnieje
j
=
1
,...,k
takie, »e zbiór
A
j
zawiera wszystkie pozostałe ze zbiorów
A
1
,...,A
k
. To
oznacza za±, »e układ (
v
1
,...,v
k
) jest liniowo niezale»ny jako podukład układu
liniowo niezale»neo zło»onego z elementów zbioru
A
j
.
Zatem
h
(
Y
)
2
X
oraz dla
A
2
Y
spełniony jest warunek
A
h
(
Y
). Z lematu
Kuratowskiego–Zorna wynika, »e w zbiorze
X
istnieje element maksymalny
B
.
Wektory zbioru
B
tworz¡ maksymalny układ liniowo niezale»ny w przestrzeni
V
, a ten na mocy stw. 8.7 jest baz¡ przestrzeni
V
.
Przykład 8.9.
1. Ka»d¡ baz¦ przestrzeniR
Q
nazywamy
baz¡Hamela
.
2. Mo»na wskaza¢ ró»ne układy liniowo niezale»ne, ale nie sposób jawnie
wypisa¢ baz¦ przestrzeni
C
(
I
), a tym bardziej
F
(
I
;R).
Definicja 8.10.
Mówimy, »e przestrze« liniowa jest
sko«czonegowymiaru
, je»eli
posiada baz¦ b¦d¡c¡ układem sko«czonym.
Twierdzenie 8.11.
Ka»dedwiebazyprzestrzeniliniowejsko«czonegowymiaru
maj¡t¦sam¡liczb¦elementów(toznaczyzbioryichindeksóws¡równoliczne).
Dowód:
Załó»my, »e przestrze«
V
ma wymiar sko«czony i tym samym posi-
ada pewn¡ baz¦
B
zło»on¡ z
n
wektorów, gdzie
n
2
N
[{
0
}
.
Je»eli
n
= 0, to
V
=
{
}
i ka»dy inny układ generuj¡cy przestrze« te» musi
by¢ pusty, czyli zawiera¢ 0 elementów.
Niech
B
= (
v
1
,...,v
n
). Przypu±¢my »e inny układ sko«czony
C
= (
w
1
,...,w
m
)
jest tak»e baz¡ przestrzeni
V
oraz »e
n > m
1.
Wektor
v
1
2
lin (
C
), bo
C
spełnia warunek (B2). Ponadto z faktu, »e
B
spełnia warunek (B1) wynika, »e
v
1
6
=
, jest wi¦c kombinacj¡ liniow¡ układu
C
o przynajmniej jednym współczynniku ró»nym od zera. Permutacja bazy jest
baz¡ (przykł. 8.2(2)), wi¦c mo»emy zało»y¢, »e ten niezerowy współczynnik
wyst¦puje przy wektorze
w
1
:
v
1
=
a
1
w
1
+
a
2
w
2
+
...
+
a
m
w
m
oraz
a
1
6
= 0
.
St¡d
a
1
v
1
+
−
a
2
a
1
w
2
+
...
+
−
a
m
a
1
w
m
,
czyli układ
C
1
= (
v
1
,w
2
,...,w
m
) generuje przestrze«
V
, bo zawiera wszystkie
kombinacje liniowe układu
C
.
Prowadz¡c rozumowanie indukcyjne załó»my, »e dla pewnego
k
1 układ
C
k
= (
v
1
,...,v
k
,w
k
+1
,...,w
m
) generuje przestrze«
V
. Wówczas
6
=
v
k
+1
=
b
1
v
1
+
...
+
b
k
v
k
+
c
k
+1
w
k
+1
+
...
+
c
m
w
w
.
Z liniowej niezale»no±ci układu
B
wynika, »e
v
k
+1
nie mo»e by¢ kombinacj¡
liniow¡ wektorów
v
1
,...,v
k
, wi¦c pewien współczynnik spo±ród
c
k
+1
,...,c
m
jest
ró»ny od zera. Permutuj¡c układ
C
k
mo»emy zało»y¢, »e
c
k
+1
6
= 0. Wówczas
w
1
=
w
k
+1
=
c
k
+1
v
k
+1
+
−
b
1
c
k
+1
v
1
+
...
+
−
b
k
c
k
+1
v
k
+
−
c
k
+2
c
k
+1
w
k
+2
+
...
+
−
c
m
c
k
+1
w
m
,
3
1
1
czyli układ
C
k
+1
= (
v
1
,...,v
k
,v
k
+1
,w
k
+2
,...,w
m
) generuje przestrze«
V
.
Na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy
V
= lin (
v
1
,...,v
m
)
, czyli tak»e
v
m
+1
jest kombinacj¡ liniow¡ układu (
v
1
,...,v
m
), co przeczy lin-
iowej niezale»no±ci układu
B
. Sprzeczno±¢ dowodzi nierówno±ci
n
¬
m
, a analog-
iczne rozumowanie daje nierówno±¢
m
n
, co razem wskazuje na równoliczno±¢
układów
B
i
C
.
Gdyby baza
C
była układem niesko«czonym, to stosuj¡c wymian¦ elementów
bazy
B
na elementy bazy
C
wykazaliby±my liniow¡ zale»no±¢ układu
C
, wi¦c taka
ewentualno±¢ nie zachodzi.
Definicja 8.12.
Wymiarem
przestrzeni liniowej nazywamy liczb¦ elementów
jej bazy, o ile przestrze« jest wymiaru sko«czonego. Wymiar przestrzeni
V
oz-
naczamy przez dim
V
.
Mówimy, »e przestrze«
V
jest
niesko«czeniewymiarowa
, gdy nie jest wymi-
aru sko«czonego i piszemy wówczas dim
V
=
1
.
Przykład 8.13.
1. dim
{
}
= 0
2. dim
F
n
=
n
, dim
F
[
x
]
n
=
n
+ 1
3. dim
F
[
x
] = dim
F
1
= dim
C
(
I
) =
1
Stwierdzenie 8.14.
Ka»dy układ liniowo niezale»ny w przestrzeni liniowej
mo»na rozszerzy¢ do bazy tej przestrzeni, to znaczy dla ka»dego układu lin-
iowo niezale»nego istnieje jego nadukład b¦d¡cy baz¡.
Dowód:
Zauwa»my, »e je»eli
C
= (
w
j
)
j
2
J
jest baz¡ przestrzeni
V
oraz
6
=
v
2
V
, przy czym
v
=
X
j
2
J
to układ
C
0
zawieraj¡cy wektory
w
j
,
j
2
J
\ {
k
}
oraz wektor
v
jest baz¡
przestrzeni
V
.
Istotnie, przy tych zało»eniach
w
k
2
lin
C
0
, sk¡d
V
= lin
C
0
. Gdyby układ
C
0
miał by¢ liniowo zale»ny, to na mocy liniowej niezale»no±ci układu (
w
j
)
j
2
J
\{
k
}
mieliby±my istnienie liniowej kombinacji układu
C
0
równej
o współczynniku
ró»nym od zera przy
v
. To jednak przeczyłoby jednoznaczno±ci przedstawienia
wektora
v
w bazie
C
.
Dowód przeprowadzimy dla układu sko«czonego. Niech
B
= (
v
1
,...,v
n
)
b¦dzie układem liniowo niezale»nycm w przestrzeni
V
.
Wektor
v
1
jest niezerowy wi¦c istnieje takie
k
1
2
J
, »e układ
D
1
zło»ony z
wektorów
v
j
,
j
2
J
\{
k
1
}
oraz wektora
v
1
jest baz¡ przestrzeni
V
.
Załó»my, »e dla pewnego
l
1 istniej¡ takie indeksy
k
1
,...,k
l
, »e układ
D
l
zło»ony z wektorów
v
j
,
j
2
J
\{
k
1
,...,k
l
}
oraz wektorów
v
1
,...,v
l
jest baz¡
przestrzeni
V
.
Wektor
v
l
+1
jest kombinacj¡ liniow¡ układu
D
l
. Z liniowej niezale»no±ci
układu
B
wynika, »e istnieje takie
k
l
+1
, »e w tej kombinacji współczynnik
przy
w
k
l
+1
jest ró»ny od zera. Wówczas układ
D
l
+1
zło»ony z wektorów
v
j
,
j
2
J
\{
k
1
,...,k
l
,k
l
+1
}
oraz wektorów
v
1
,...,v
l
,v
l
+1
jest baz¡ przestrzeni
V
.
4
a
j
w
j
oraz
a
k
6
= 0dla pewnego
k
2
J,
Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, »e układ
D
n
zło»ony z
wektorów
v
j
,
j
2
J
\{
k
1
,...,k
n
}
oraz wektorów
v
1
,...,v
n
jest baz¡ przestrzeni
V
, czyli układ
B
mo»na uzupełni¢ do bazy
D
n
.
Wniosek 8.15.
Wymiar podprzestrzeni liniowej danej przestrzeni liniowej nie
przekracza wymiaru tej przestrzeni.
Dowód:
Baza podprzestrzeni jest układem liniowo niezale»nym w całej
przestrzeni i zgodnie ze stw. 8.14 mo»na baz¦ podprzestrzeni rozszerzy¢ do bazy
przestrzeni.
Wniosek 8.16.
Je»eli
U
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni liniowej
V
i
wymiar
V
jest sko«czony, to nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1.
U
=
V
2. dim
U
= dim
V
Dowód:
Je»eli dim
U
= dim
V
=
n
, to baza
B
podprzestrzeni
U
ma
n
ele-
mentów i jest układem liniowo niezale»nym w przestrzeni
V
. Układu tego nie
mo»na ju» uzupełni¢ do bazy przestrzeni
V
»adnym wektorem, bo ka»da baza
przestrzeni
V
ma równie»
n
elementów (tw. 8.11).
Zatem baza podprzestrzeni
U
jest maksymalnym układem liniowo nieza-
le»nym w
V
, czyli na mocy stw. 8.7 — baz¡ przestrzeni
V
. Wówczas oczywi±cie
V
= lin (
B
) =
U
.
Stwierdzenie 8.17.
Je»eli przestrze« liniowa
V
ma sko«czony wymiar, a
V
1
,
V
2
s¡ jej podprzestrzeniami liniowymi, to
dim(
V
1
+
V
2
) = dim
V
1
+ dim
V
2
−
dim(
V
1
\
V
2
)
.
Dowód:
Niech
k
= dim(
V
1
\
V
2
),
n
= dim
V
1
,
m
= dim
V
2
oraz niech
A
= (
u
1
,...,u
k
) b¦dzie baz¡ podprzestrzeni
V
1
\
V
2
. Uzupełnijmy t¦ baz¦
do bazy
B
= (
u
1
,...,u
k
,v
1
,...,v
n
−
k
) podprzestrzeni
V
1
oraz do bazy
C
=
(
u
1
,...,u
k
,w
1
,...,w
m
−
k
) podprzestrzeni
V
2
.
Wystarczy pokaza¢, »e baz¡ przestrzeni
V
1
+
V
2
jest układ
D
= (
u
1
,...,u
k
,v
1
,...,v
n
−
k
,w
1
,...,w
m
−
k
)
gdy» b¦dzie to oznacza¢, »e dim(
V
1
+
V
2
) =
k
+
n
−
k
+
m
−
k
=
n
+
m
−
k
.
Poniewa» układ
D
jest nadukładem zarówno dla
B
jak i dla
C
, wi¦c ka»dy
wektor
v
2
V
1
+
V
2
= lin (
B
) + lin (
C
) nale»y do lin (
D
), bo zbiór ten zawiera
zarówno lin (
B
) jak i lin (
C
).
Aby pokaza¢ liniow¡ niezale»no±¢ układu
D
przypu±¢my, »e pewna jego kom-
binacja liniowa
a
1
u
1
+
...
+
a
n
−
k
u
k
+
b
1
v
1
+
...
+
b
n
−
k
v
n
−
k
+
c
1
w
1
+
...
+
c
m
−
k
w
m
−
k
=
.
Wówczas wektor
v
=
a
1
u
1
+
...
+
a
n
−
k
u
k
+
b
1
v
1
+
...
+
b
n
−
k
v
n
−
k
=
−
c
1
w
1
−
...
−
c
m
−
k
w
m
−
k
5
Plik z chomika:
BYSTRYYY_88
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Automatyka
Certyfikacja i Akredytacja
Elektrotechnika
Grafika
Grafika_aCad
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin