zbiór zadan1 rozwiązania maturalne.pdf

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

„^

733

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI I ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ MATURALNYCH

LICZBY RZECZYWISTE. ZBIORY

I. a) 399975; b) 1521: c) 80|.

3. a) 14i 15 są względnie pierwsze; c) ^ = ?i«, gdzie «e N.

4. a) Jest podzielna przez II; b) 1; c) cztery liczby, najmniejsza: 1848, największa: 9S78.

5. a) Nic jest podzielna; b) jest podzielna; c)a-fo=7 lub a-b = '--l, czyli \a-b] = l.

Rozwiązanie. Ozn. a, h, c - cyfry liczby n. odpowiednio setek, dziesiątek, jedności.

Przy tych oznaczeniach n=\00a+lQb + c, k=lQ0c+\0b + a. n-k^l00a+\0b + c~<\00c+\0b+a}^99a-99b = 99(a-b).Uc7bz99(a-b)

jest iloczynem liczby 99 i liczby parzystej {a, h sąmeparzyste, więc ci-fc jest liczbą parzystą), zatem jest podzielna pvzex 99-2 - 198.

7. a)(0,-2), (1,-5), (3.-5), (4,-8): b)(l,2), (5,14), (7,8), (13,6); c) (-9,-6). (-3,-12), (-1,2), (5,-4),

Wskazówka, c)xy + 5x + 2y + ?,=xy + 5.x + 2y+lQ-l.

8. a) 6 jest liczbą doskonałą, 18 nie jest; b) 28,

Wskazówka, b) Szukana liczba jest postaci 4p. gdziep jest hczbą pierwszą,

9. a)/ie {-5,-3.-1. I}; b)/le {-8.-2, O, 2, 4, 10),

10. 6130 lub 2 i 74,

Rozwiązanie, a, ^ - szukane liczby, a<b. Liczba (3ft + — jest całkowita, więc «jest dzielnikiem t. Zatem ft-Zra, gdzie ^jest liczbą naturalną.

{k = l

\k=5

\k=31

ik = li5

ab + ^=ka~ + k^k(a--f-l), 185-5 • 37, Zatem

lub { -,

lub J -

lul> i ^

[a-+l = 185

[a^+1-37

[a^+l^5

[a^+l^l

Stąd otrzymujemy: <

(k^5

lub '^

(k=37

, Szukane pary liczb, to 6 i 30 oraz 2 i 74.

[a~6

[a = 2

II. 61210 lub 30142.

12. a) 39; b) 27.

Wskazówki. I. Jeżeli liczba naturalna ;i ma dokładnie cztery dzielniki, to n=pq ]ub n=p^, gdzie p i q są liczbami pierwszymi.

11. l-rp + q+pq = {p + \){q+\}.

13.

Wskazówki. I, Wielomian ił -n rozlóz na czynniki możliwie najniższego stopnia. II. Liczba *? jest podzielna przez 5 albo jest postaci 5*:+ 1

albo jest postaci 5^ ± 2. gdzie k jest liczbą całkowitą.

14.

Wskazówki. 1.;? jest liczbą nieparzystą, więc (p-\.)(p+ 1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb parzystych; II. p jest liczbą pierwszą większą

od 3, więc przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 lub 2.

15.

Wskazówka, n = a- + b',g&z.iza,b^C,

5n = 5(u- + b') = {a^ + 4b'-) + {Aa~+b^).

16. Przv oszacowaniu rezultatu tróiskoczka (

217 243

17. a)ci-17,276, ^'^8,616; b) błąd bezwzględny: 0,008, błąd względny: —^.

6473

18. a)-l.i + -L;

b)np.i.i + -L + ^.

5 6 30

5 7 30 42

134

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

19. a) -;

b) —.

100

20. a, i; b) ^; o, If.

21. Wartość wyrażenia: 68,25, przybliżenie: 68, błąd względny: 273

22. Liczba a jest niewymierna, ijjest wymierna (a = V2, fc = 5).

V2(V2 + 1) /T .

. ,. ^ .

, (V7+V3)-+(%/7-V3(-

7+2V2r+3+7-2721+3 20

• , • ,

Rozwiązanie, d-

?= ^ = v2, więc a lest hczbąmewyrmemą. b- ——;=—^^—;=— 1= —--

TT^

-—r~' więcojest

V2+l

(V7-V3)(V7+V3)

7-3

liczbą^ wymierną.

23. H=-y6-3. |M| = 3-V6^-

24. a)4+V3:

b) 2^2-1;

c)yf5-yf2.

25. a)i^li^i^^; b)V?-V^.

26. Dana liczba jest równa 3. jest więc wymierna,

27. a)l; b) 9.

28- Dla dowolnych a.b (ait b) wartość wyrażenia jest równa 1.

Wskazówki. l.lb-a\^\a-hl

U.^[x^ = \xl.

29. Dla każdego .t e (-1; 5) wyrażenie ma wartość 15.

30. a) Elemcni neutralny mnożenia: 1. element neutralny dodawania: 0; b) 12, 2 jest elementem neutralnym d;:ialania ®:

c) 2 nie jest elementem neutralnym działania ®.

31.

Wskazówka. Istnieje taka liczba .5, że dla każdego (' e {1, 2.. . . , n} zachodzi równość —^ = s, stąd a, = sb,.

32.

a+b

Rozwiązanie. Wykażemy, że dla dowolnych nieujemnych liczb a, b zachodzi nierówność równoważna —r

^Jah >0.

a+b r-r a+b-2y[ah

{4af-l^ab

H4bf

i4a'4b)^ .^^

-^~^cb=^^

—^

-^•

34.

Wskazówka, a" + h- + c>ah + acń-bc <^ Ha' + b' + c^)>2{Qb + ac-\-hcX

35.

Wskazówka. Jeśli jc+>'+; = 0, to(x+y + z)' = 0.

36. a) Ane = (-5;-3>w(3;4); b) A^oB-<-6-,-l)w(0;6>-, c) A\B-(-6;-5>u(4;6>; d) B\A = (-3;-l)u(0:3).

37. AnB = B. B'^C = A. A\C = B.

38. a)Rys, 1/2M; b)np. (A\Qu(BnQ

albo

(AijC)\(B\Q.

39. Au5^R, An5-|4,ó}.

40. A\g-(-l; l)u{-4}, B\A = 0. f A = <-4; 1), 6 = (-4;-l)),

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

135

41. a) DlaflSl; b) (3-3; c) nie istnieje takie A; d) a-6.

Rozwiązanie, a) Suma zbiorów A. i B będzie zbiorem liczb rzeczywistych wtedy, gdy prawy koniec przedziału A nie będzie mniejszy niż lewy

koniec przedziału fi: a>-3(! + 4. Stąd otrzymujemy «>1.

42. a)Rys.2/2M; b) (-3; 0)u<3; 6); c) np. (A\B) u{B\A) lub

(AuB)\(AnB).

43. A'n:B={2]

(A'-<2; 5), S = {-oc;-2)u {2|).

Rys. 2/2 M

44. 3900 kg.

45. a) 30 uczniów: b) 40%; c) 32 uczniów.

46. a) 190 000; b)61,l%; c) 53,3%; d) 32.6%; e)ll,l%; f) o 1,7 punktu procentowego.

47. 178 zł 20 er.

4,4

Rozwiązanie. Naliczone odsetki po 6 miesiącach: ^*7;br'5000 = 110 (zł). Stan konta powiększył się oO,81-110-89,1 (zł).

48. Lokata HIT: 124 S, lokata GOLD: 121,8 $, lokata SUPER: 126 $.

49. 49,7%,

50. a) Można. Na pierwszym miejscu; b) spadła o 13%.

51. a) Kowalski: 6 094.08 zł, Nowak: 12 373.08 zł; b) o 5! %.

52. a) 315; b)64%; c) o 43,75%.

53. 729 min.

Rozwiązanie. p.e~ liczba mieszkańców odpowiednio Polski i Europy, p - ' • 6 • 10 = 39000000. 5,35%-e-;), czyli-^e- 39000000.

1000

100

Stąd f = 729,0 min,

54. 4%.

55. a) 1457240ha; b) o 35%: c)5482000ha.

56. 10 kg.

Rozwiązanie. ; - masa zanieczyszczeń (w kg), które trzeba usunąć. 0,08 -210= 16,8 (kg) - masa zanieczyszczeń w 210 kg nasion. Po usunię

ciu z kg zanieczyszczeń zostanie 210-c kg nasion, które będą zawierać 16,8-; kg zanieczyszczeń. —^-

-TT^' stąd otrzymujemy równa

nie liniowe 100-(16,8-z)-3,4'(210-c}, a z otrzymanego równania dostajemy-- 10,

57. Ponad 19,8 tys, samochodów.

58. 2%.

59. 1:3,

60. 8zi.

Rozwiązanie. Oznaczenia: b - liczba sprzedanych biletów na pierwszy mecz. c - cena biletu po obniżce.

Liczba sprzedanych biletów na drugi mecz: ł,8fc. Wpływy ze sprzedaży biletów na pierwszy mecz: I2b. Wpływy ze sprzedaży biletów na dmgi

mecz: c-l,Sh. c-l.ib=\,2-l2h. Dzieląc obie strony równania przez ],8fc, otrzymamy £7 = 8,

61. a) o 16,2punkta procentowego; b) o 44,75%.

62. a) 1,4%: b) 22,6%,

63. 16%,

136

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

64. 20%.

Rozwiązanie. Ozn. g —masa świeżych grzybów.

Woda W Świeżych grzybach: 0,9g. Masa grzybów po suszeniu: --g. W wyniku suszenia wyparowaki —g wody. Suszone grzyby zawierają

0.9^'-—^= — ^ wody. Suszone grzyby zawierają (-^,(? :-|-§)-100% = 20% wody.

65. a) Więcej do ZSZ; b) więcej chłopców (dziewczęta stanowiły 49.8% liczby uczniów szkół ponadpodstawowych); c) o 11,5%.

66. 24%.

Rozwiązanie. Oznaczenie: r - liczba rybek w akwarium rok temu. Liczba rybek żyworodnych rok temu: 0,2r. Liczba rybek jajorodnych rok

temu: 0,Sr. Liczba rybek żyworodnych obecnie: l,50,2r-Q,3r Liczba rybek jajorodnych obecnie: l,l8750,8r-0,95r. Liczba wszystkich

r>'bek obecnie: l,25r. Obecnie rybki żyworodne stanowią ' -100% - 24%.

67. a) o 50%'; b) liściastych będzie o 12.5% mniej niż iglastych.

[

68. 87,5%.

0 24i?

Rozwiązanie. ^- liczba grusz, j- liczba jabłoni. 0.24^ij - o tyle drzew powiększy się sad. — —^ = 0,03, stądj-7g.

Szukany procent: -^ — 100% = '^i • 100% = -|-• 100% = 87,5%.

^ ^

S+J

g+7i'

69. o 301,9%.

70. a) 66%; b) 37%; c)61%.

Rozwiązanie, c) Oznaczenia:

fcM — liczba kobiet w wieku 35 — 39 iat mieszkających w 2002 roku w mieście

kw, — liczba kobiet w wieku 35 — 39 lat mieszkających w 2002 roku na wsi

m.v) - liczba mężczyzn w wieku 35 - 39 lat mieszkających w 2002 roku w mieście

ma- - liczba mężczyzn w wieku 35 — 39 lat mieszkających w 2002 roku na wsi

Wiemy.ze:^.!^. stądOi-,,.M>W,

m,y

iOO

100

-^ = ^. stąd ® ^„.= ^^.

100

m,^+ln^^f 100

. . ^k . £v , £k

103.5wiv, +90,lmiv „^

, • . «k

55m>,

Wstawiając W i O do *>, otrzymujemy

— 98, a po przekształceniach ^ if!w=

Szukany procent: p--

— — -^

100%, Wykorzystując związki O, ®, O, otrzymuiemy £< =

— '- — —

100% =61%.

71. Noriaki Kasai: 257,6 pkt, Adam Małysz: 254,2 pkt. (Kasai wygrał ten konkurs, Małysz zajął trzecie miej.sce).

72. a) Kowalski: 88 zł 80 gr, Nowak: 402 zł 60 gr; b) 77.9%.

73. a) 6; b) 7.

74. a) 406 zł; b) o 11,5%.

75. a) 32 km'; b) 375 osób/km'.

Rozwiązanie, a) W obu dzielnicach mieszka po 6000 osób. Powierzchnia pierwszej dzielnicy: p, =

-20 km . Powierzchnia drugiej

300"'"^

dzielnicy: p-,-

-12km . b) Gestosc zaludnienia miasta:

= 375 (osob/km ).

500^

Pi+P2

76. Lata 1950-1975: 1,5 mld, lata 1975-2000: 1,9 mid.

77. a) Afryka: 697,48 min, Europa: 730,5 min; b) Afryka: wzrost o 19,2 min, Europa: spadek o 0,79 min.

78. 17km/godz.

nin- 100

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

137

79. 57,6km/godz.

Rozwiązanie. Ozn. Is - droga (w km), jaką przebyli Nowakowie. Pierwszą połowę drogi pokonali w czasie fi = -^. Drugą połowę drogi poko

nali w czasie h^-jr- Całą drogę przejechali ze średnią prędkością v =

-57,6 km/godz.

FUNKCJE

80. a) -1.0,3, 2; b) (O, 2); c) -2, O, 1,2,

Rozwiązanie, c) Należy znaleźć te liczby x, które spełniają równanie Ax' - Ąx^ -9x~ + x-¥2 = l JC ~ 15x + 2. Równanie to sprowadzamy do postaci

4x^-4r^~ I6x^+ I6x = 0, następnie do postaci 4x(x^~x~-4x + 4) = 0 i ostatecznie do postaci 4x(x- l)(jt:~-4)-0. Stąd mamy x = 0 lub J:- i (ub

;(—2łub;t = 2.

Rozwiązanie, a) Dziedziną D funkcji / jest zbiór tych liczb x, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nicujemne. Zatem D jest zbiorem

rozwiązań nierówności kwadratowej -;("-6A--5>0, czyli D = (-5; -1).

82. a)-3: b)-3i4: c)-2i2-

Rozwiązanie. a) Dlaxe (1;-H«) funkcja/określona jest wzorem f{x)=:ł--4x. lE (];+«.), więc/(I)-l-4 = -3.

b) DlajTG (-™; 1) funkcja / określona jest wzorem/(J:)-J:^ + X-6, zatem/(-3) = 9 - 3 - 6 - O (więc-3 jest miejscem zerowym funkcji/),

a /(0) = 0 + 0-6--6?iO (więc O nie jest miejscem zerowym funkcji /). 2, 4e (1; -H«), więc f(2) = 4-S^0

(2 nie jest miejscem zerowym

funkcji /). a/(4)= 16-16-0 (4 jest miejscem zerowym funkcji /).

c) Należy znaleźć: O te argumenty xe (-™: I), dla których zachodzi równość x' + x-6 = -4 oraz. ® te argumenty j;e (I; +-x>}, dla których

zachodzi równość x' - 4x - -4. Rozwiązując oba równania kwadratowe z uwzględnieniem podanych warunków, otrzymujemy z & x = -2,

az®.v-2.

83. a) 1-1,0,3,

b)f(x) = x' - 1; c) Rys. 1/3M.

84. a)f(x) = -^:

c) (1. 18), (2. 9), (3. 6), [6, 3). (9, 2), (18, 1).

Rozwiązanie, a) Odwrotnością liczby x jest liczba —. Zatem funkcja / określona jest

wzorem f(x) = ^^.

b) Punktami wykresu funkcji / są punkty postaci (J:, —).

Rys. 1/3M

Ponieważ x e R+, to także -^ e R+. Obie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji / są dodatnie, więc punkty znajdują się w

I ćwiartce układu współrzędnych.

c) Jeśli X jest liczbą naturalnaj to — jest liczbą naturalną wtedy, gdy A; jest dzielnikiem liczby 18.Zatemxe {1,2,3,6,9, 18}, a szukane

punkty, to (I, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1).

85. a)/(-!)= 1,/(I)--4;

b)-2 i 4; c) O, 1,2,3.

86. a) ZbiórB jest wykresem pewnej funkcji; b) -2; c) 3.

Rozwiązanie. Pierwsza współrzędna (odcięła) punktu należącego do wykresu funkcji/jest argumentem, a druga współrzędna (rzędna) jest

wartością, jaką funkcja / przyjmuje dla tego argumentu.

a) Zbiór A nie jest wykresem żadnej ftinkcji, ponieważ do zbioni A należą punkty (2, 5) i (2, 0), co uniemożliwia określenie wartości funkcji dla

(iczby 2.

b) Punkt (2, -2) ma najmniejszą rzędną, więc najmniejsza wartość funkcji /jest równa -2.

c) Punkt (3, 0) należy do wykresu funkcji /. Oznacza tu, że /(3) = 0, więc 3 jest miejscem zerowym funkcji/

87. a) 1; b) dziedzina; (-2; 1) u (4; 7), zbiór wartości: <1; 6).

88. a) Zbiór wartości funkcji/(-5; 6), zbiór wartości funkcji g; (-4; 4);

b) (-5;^) u (4; 6);

c) (-4, 1,5};

d)<-6;-^) u (1; 5);

e) (-5; -3); f) (-5, -3, -1, 2, 5}; g) (-6; -5) u (-3; -1) u (2; 5) u (5; 7).

Wskazówka, g) Iloczyn/(-v)-^(.t) jest ujemny wtedy, gdy O/(x)<0 i ^(x)>0 iub @ f(x)>Oi f^{x)<0.

81. a)(-5;-l); b)dlax —|, /f-i].^, /(V3-3)=l.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: