1 Wzór Cauchy’ego
Wzór Cauchy’ego jest wzorem, który pozwala na obliczenie sk³adowych wektora naprężenia na p³aszczyznie dowolnie nachylonej gdy znamy:
• tensor naprężenia _ij
• orientacje p³aszczyzny ni
Wzór ten ma następująca postaci:
2 Naprężenia główne oraz niezmienniki stanu naprężenia są to naprężenia ekstremalne ze względu na położenie płaszczyzn, w których występują. Są to naprężenia prostopadle do płaszczyzn działania, którym nie towarzysza naprężenia styczne. Aby je wyznaczyć, stosujemy wzór:
oraz warunek geometryczny
Po rozpisaniu finalnie otrzymujemy równanie trzeciego stopnia:
I1,2,3 sa to niezmienniki stanu naprezenia. Sa to wyrazenia algebraiczne, utworzone ze sk³adowych tensora naprezenia, które nie zmieniaja swoich wartosci przy transformacji uk³adu odniesienia. Obliczamy je z nastepujacych zaleznosci
W wyniku rozwiazania równania (2) otrzymamy trzy pierwiastki, które porzadkujemy:
Pierwiastki te tworza tensor naprezen g³ównych:
Tw. Jezeli sk³adowe tensora naprezenia _ij sa liczbami rzeczywistymi, rozwiazanie równania (2) zawsze istnieje w sferze liczb rzeczywistych.
3 Rozkład stanu naprezenia na dwa stany podstawowe
Kazdy stan naprezenia mozemy rozłozyc na dwa stany podstawowe:
• stan hydrostatyczny
• czyste scinanie (stan dewiacyjny)
3.1 Stan hydrostatyczny
Stan hydrostatyczny prowadzi do zmiany objetosci. Przykładem moze byc np. zanurzanie w cieczy.
_ mozna zmieniac tylko w zakresie sprezystym.
3.2 Stan dewiacyjny
Stan ten prowadzi do zmiany postaci ciała, czyli do odształcenia. Suma naprezen na przekatnej głównej jest wówczas równy zero.
3.3 Aksjator i dewiator stanu naprezenia
Fakt, ze kazdy stan naprezenia mozemy rozłozyc na dwa stany podstawowe, pociaga za soba fakt możliwości rozpisania tensora naprezen _ij na dwa tensory - aksjator (opisuje stan hydrostatyczny) oraz dewiator (opisuje stan dewiacyjny). Dla dowolnego tensora otrzymamy wiec:
Ogólnie mozna wiec zapisac:
3.4 Niezmienniki dewiatora naprezenia
Niezmienniki dewiatora naprezenia definiujemy podobnie jak niezmienniki stanu naprezenia. Sa to wyrazenia algebraiczne, które nie zmieniaja swojej wartosci przy transformacji układu. Definiuje sie je nastepujaco:
Drugi niezmiennik dewiatora naprężenia I_
2 (10) ma ogromne znaczenie fizyczne. Richard von Mises stwierdził, co nastepuje:
”Wiekszosc znanych materiałów konstrukcyjnych osiaga stan krytyczny przy stałej wartości drugiego niezmiennika dewiatora stanu naprezenia I_2 .”
4 Naprezenia na płaszczyznie oktaedru
Płaszczyzny oktaedru (osmioscianu foremnego) sa równo nachylone do osi układu xi. Kat w przestrzeni płaszczyzny oktaedrycznej wynosi arc cos 1/p3 = 53.74_. Naprezenie styczne na płaszczyznie okaedru dla
ogólnego przypadku wynosi wiec:
Natomiast dla tensora naprezen głównych:
Wywnioskowac mozna wiec, ze styczne naprezenie oktaedryczne ma scisły zwiazek z drugim niezmiennikiem dewiatora stanu naprezenia I_2 (10) i wynosi:
5 Maksymalne naprezenia styczne
Nawiazujac do równania naprezenia stycznego, szukamy, dla jakich wartosci S2 osiaga wartosc maksymalna.
W tym celu wprowadzamy funkcje pomocnicza:
oraz przyjmujemy:
Po obliczeniach otrzymujemy, ze funkcja
posiada ekstremum (bedace równiez ekstremum S2) gdy spełniony jest warunek:
6 Tensory odkształcen skonczonych
Bierzemy pod uwage poruszajace sie ciało oraz dwa punkty lezace w nim bardzo blisko siebie. Mówimy o duzych (plastycznych) odkształceniach.
Umawiamy sie, ze |dxi| = dx oraz |dai| = da. Poszukujemy róznicy kwadratów długosci wektorów |dai| i
|dxi|.
Przechodzimy do zapisu Lagrange’a:
xi = ui + ai
(dx)2 − (da)2 = d(ui + ai)d(ui + ai) − daidai = (dui + dai)(dui + dai) − daidai
Wykorzystujemy zwiazek:
Po wielu przekształceniach finalnie otrzymujemy
Postepujac analogicznie dla zapisu Eulera otrzymamy:
7 Tensory odkształcen nieskonczenie małych
Dla odkształcen nieskonczenie małych współczynnik mozemy pominac, gdyz jest nieskonczenie mały, a wiec tensor Lagrange’a przyjmuje nastepujaca postac:
Natomiast tensor Eulera
Tensory odkształcen nieskonczenie małych mozna stosowac do odkształcen skonczonych w pewnych przypadkach
• dla odkształcen proporcjonalnych
• przy procesach osiowo symetrycznych np. wyciskanie
• dla tzw. płaskiego stanu odkształcenia
8 Geometryczna interpretacja składowych tensora odkształcenia
8.1 Odkształcenia liniowe
Rozpatrujemy elementarny prostopadłoscian (da1, da2, da3), który po odkształceniu pozostaje prostopadłoscianem, lecz długosci jego krawedzi zmieniaja sie w (dx1, dx2, dx3). Bierzemy pod uwage zmiane długosci krawedzi da2 -> dx2.
Po rozpisaniu zgodnie z umowa sumacyjna Einsteina otrzymujemy
Czyli ostatecznie
Dla nieskonczenie małych dx2 oraz da2 mozemy załozyc, ze dx2 _ da2, wiec
Podobnie dla pozostałych osi, a wiec na przekatnej głównej znajduja sie odkształcenia liniowe - odkształcenia
krawedzi elementarnego prostopadłoscianu. Podobne zwiazki otrzymujemy dla tensora Eulera.
8.2 Odkształcenia postaciowe
Rozpatrujemy zmiane postaci elementarnego prostopadłoscianu.
Bierzemy pod uwage płaszczyzne x2x3
Kolejno, z rysunku 1 mozna napisac zaleznosc
Z rysunku 2:
A wiec na rysunku 3:
Podobnie dla pozostałych, a wiec składniki poza przekatna tensora opisuja połowy zmian katów prostych utworzonych przez krawedzie prostopadłoscianu, równoległych do osi układu współrzednych, czyli odkształcenia postaciowe. W praktyce inzynierskiej 2lij oraz 2eij nosza nazwe katów odkształcenia postaciowego.
9 Odkształcenia główne i niezmienniki stanu odkształcenia
W kazdym punkcie ciała mozemy znalezc trzy prostopadłe odkształcenia liniowe osiagajace w pewnych kierunkach wartosci ekstremalne. Odkształcenia te nazywamy odkształceniami głównymi, a kierunki w których wystepuja - kierunkami głównymi. W kierunkach głównych nie wystepuja odkształcenia postaciowe.
Naprezenia i kierunki główne spełniaja zaleznosc
Odkształcenia główne wyznaczamy z wzoru
Który po rozpisaniu i podstawieniu przedstawia sie nastepujaco:
Gdzie M1,2,3 sa to niezmienniki stanu dkształcenia, czyli wyrazenia algebraiczne, utworzone ze składników tensora odkształcenia, które nie zmieniaja swojej wartosci przy transformacji układu. Wyznaczamy je nastepujaco:
Wynikiem rozwiazania równania (19) beda trzy liczby l(1) l(2) l(3) tworzace tensor odkształcen głównych:
10 Rozkład stanu odkształcenia na dwa stany podstawowe
10.1 Dylatacja
Dylatacja jest to wzgledna zmiana objetosci ciała. Jezeli dylatacja jest równa zero, nie ma zmiany objetosci.
Jest to model ciała sztywnego. Wyrazona jest wzorem:
Po prostych przekształceniach dylatacje mozemy wyrazic nastepujacym wzorem:
Dylatacja jest wiec pierwszym niezmiennikiem stanu odkształcenia, czyli D = lii. Po podstawieniu otrzymamy wiec
10.2 Rozkład na dwa stany podstawowe
Kazdy stan odkształcenia mozemy rozłozyc na dwa stany podstawowe.
• odkształcenie objetosciowe - opisywane przez dylatacje. Cecha charakterystyczna jest równosc odkształcen głównych: e(1) = e(2) = e(3)
Dylatacje powoduje hydrostatyczny stan naprezenia. Opisywane jest przez aksjator odkształcenia.
• odkształcenie postaciowe - polega na zmianie postaci ciała. W tym przypadku dylatacja D = 0, czyli lii = 0 ) l(1) + l(2) + l(3) = 0
Odkształcenie postaciowe jest powodowane przez stan dewiacyjny. Opisywane jest przez dewiator odkształcenia Dowolny tensor odkształcenia mozemy wiec traktowac jako sume aksjatora i dewiatora odkształcenia:
Analogicznie jak w stanie naprezenia, mozemy wyróznic niezmienniki dewiatora odkształcenia, definiowane nastepujaco:
11 Zwiazki miedzy naprezeniami i odkształceniami w stanie sprezystym
- uogólnione prawo Hooke’a
11.1 Podział ciał
Ciała stałe dzielimy na dwie grupy:
• izotropowe sprezyscie - posiadaja stałe własnosci sprezyste w kazdym kierunku
• anizotropowe sprzezyscie - własnosci sprezyste zaleza od kierunku krystalograficznego
Przy bezładnym rozkładzie kryształów zanika anizotriopia materiału. Jezeli materiał anizotropowy pod wpływem odkształcenia staje sie materiałem izotropowym, gdyz 80% kryształów ustawia sie w jednym kierunku, mówimy, ze materiał zyskuje teksture.
11.2 Ciała anizotropowe sprezyscie
Dla ciał anizotropowych sprezyscie obowiazuje uogólnienie wzoru Cauchy’ego
Z symetrii tensorów _ oraz l wynika fakt, ze liczba niezaleznych modułów sprezystosci wynosi 36, a nie 81. Mozna takze wykazac, ze
11.3 Ciała izotropowe sprezyscie
Dla ciał izotropowych liczba niezaleznych stałych sprezystosci maleje do 2. Przyjmuje sie, ze sa nimi:
• E - moduł Younga
• _ - liczba Poissona
11.4 Uogólnione prawo Hooke’a dla ciała izotropowego
...
qazsedc