17. Kinetyczna teoria gazow i termodynamika II.pdf

(331 KB) Pobierz
Wyk³ad 17
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 17
17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II
17.1 Średnia droga swobodna
Średnia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych
zderzeń . Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości.
Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d . Zderzenie będzie miało miejsce gdy odle-
głość między środkami będzie mniejsza niż d . Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o
powierzchni
σ = π d 2
Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego .
W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca v t σ.
Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napo-
tka (zderzy się z)
n z = v t σ n
cząstek.
Średnia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń.
Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez licz-
bę zderzeń
λ
v
t
=
1
=
1
(17.1)
v
t
σ
n
σ
n
π
d
2
n
To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nierucho-
mymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość
zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza
λ=
2
1
π
d 2
n
(17.2)
Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17. 1) dwie występujące tam prędkości są róż-
ne: prędkość w liczniku to prędkość średnia v czą stecz ek względem naczynia, a pręd-
kość w mianowniku to średnia prędkość względna
v w stosunku do innych cząste-
wzgl
czek. Można się przekonać jakościowo, że
v > v
wzgl
Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to
v = 2 v , gdy pod kątem prostym to
wzgl
v
wzgl
=
2
v
, a gdy w tę samą stronę to
v = 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład
wzgl
prędkości otrzymujemy
v
wzgl
=
2
.
Przykład 1
17-1
=
4224753.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Cząstki powiet rz a w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm.
d = 2·10 -8 cm, v = 10 5 cm/s, n = 3·10 19 /cm 3 .
Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10 -5 cm (około 1000 d ).
Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·10 9 /s.
17.2 Rozkład prędkości Maxwella
Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek
gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od tem-
peratury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w
wyniku zderzeń).
Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierające-
go N cząsteczek ma postać
3
m
v
2
m
2
−
N
(
v
)
=
4
π
N
v
2
e
2
kT
(17.3)
2
π
kT
W równaniu tym N ( v )d v jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od v do v +
d v . T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki.
Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla po-
szczególnych różniczkowych przedziałów prędkości
∞
N
=
∫
N
( v
)
d
0
Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur.
T=70 K
_
v
v 2
v p
__
T=300 K
0.000 200.000 400.000 600.000 800.000 1000.000
v (m/s)
gdzie - v prędkość średnia,
v - prędkość średnia kwadratowa, v p – prędkość najbar-
2
dziej prawdopodobna.
17-2
v
4224753.008.png 4224753.009.png 4224753.010.png 4224753.001.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nie-
skończoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar
prędkości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc
rozkład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach
większych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji
chemicznych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Z równania widać, że rozkład
prędkości zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząste-
czek (w danej temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery
niż tlen czy azot.
17.3 Równanie Van der Waalsa
Równanie stanu gazu doskonałego
pV = nRT
dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęsto-
ściach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu
oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzyczą-
steczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia
te czynniki. Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostęp-
na dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza
od objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek b . Jeżeli oznaczymy przez v obję-
tość przypadającą na jeden mol v = V / n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu
gazu
p ( v – b ) = RT
Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. Siły przyciągania
pomiędzy n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po lewej" z n cząsteczkami (na jed-
nostkę objętości) "po prawej" jest proporcjonalna do n 2 czyli proporcjonalna do 1/ v 2 .
Siła przyciągająca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ciśnieniu, które zo-
stało uwzględnione w równaniu Van der Waalsa
p
+
a
v
−
b
)
=
RT
(17.4)
v
2
gdzie stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie. (Równanie Van der Waalsa też bywa za-
wodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w
różnych warunkach).
Na rysunku poniżej porównano zachowanie się gazu doskonałego (rysunek po lewej)
w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).
17-3
(
4224753.002.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
400
350
300
20
17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki
17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężanie gazu.
1. Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy aż ustali się równowaga z otoczeniem.
W czasie takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo
nie są jednakowe w całej objętości.
2. Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej
chwili dobrze określone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga no-
wy stan równowagi. Możemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć
tłoka i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Jeżeli bę-
dziemy zmniejszać nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w
którym wszystkie stany pośrednie (pomiędzy początkowym i końcowym) są stana-
mi równowagi.
Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem
odwracalnym .
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany
otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej
drodze w przeciwnym kierunku .
17.4.2 Cykl Carnota
Bardzo ważnym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granicę
naszych możliwości zamiany ciepła na pracę.
1) Gaz znajduje się w stanie p 1 , V 1 , T 1 (punkt A ). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła
i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu p 2 , V 2 , T 1 (punkt B ). Gaz
pobiera ciepło Q 1 .
2) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie adia-
batyczne gazu (np. zmniejszając obciążenie tłoka) do stanu p 3 , V 3 , T 2 (punkt C ). Gaz
wykonuje pracę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T 2 .
17-4
4224753.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku ( T 2 ) i sprężamy gaz izotermicznie do
stanu p 4 , V 4 , T 2 (punkt D ). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q 2 .
4) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu p 1 , V 1 ,
T 1 (punkt A ). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do T 1 .
p
A
Q 1
B
W
D
T 1
Q 2
C
T 2
Wypadkowa praca W wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana
przez powierzchnię zawartą wewnątrz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilość ciepła pobra-
na przez układ podczas jednego cyklu wynosi Q 1 - Q 2 . Wypadkowa zmiana energii we-
wnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym. Z pierwszej zasa-
dy termodynamiki mamy więc
V
W = Q 1 – Q 2
Sprawność silnika wynosi
η
W
=
Q
1
−
Q
2
=
T
−
T
2
(17.5)
Q
Q
T
1
1
1
Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca).
17.4.3 Druga zasada termodynamiki
Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego
część pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konse-
kwencji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można
skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pra-
cę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończo-
ne) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez
promieniowanie słoneczne.
Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie ter-
modynamiki . Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady
1) Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju.
2) Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wów-
czas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.
17-5
1
4224753.004.png 4224753.005.png 4224753.006.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin