MU.pdf

(186 KB) Pobierz
257062515 UNPDF
Zadaniaprzygotowuj¡cedokolokwiumzmatematyki
ubezpieczeniowej
27maja2009
(czylizadaniast¡d:http://coin.wne.uw.edu.pl/mogonek/mu/zadania.pdf)
Zada«odp.Ogonekju»chybaniebƒdƒbartdziejprzepisywa¢(zrzadkabrakujejakich–
oblicze«).ZadaniaodOttas¡tu:
http://students.mimuw.edu.pl/~gc266692/MU-zadania_(maj%b9tkowe).zip.
Uwaga:wponi»szychrozwi¡zaniachs¡b“ƒdy.Nabie»¡cojekasujemy,aletrzebaby¢
ostro»nym.
1Ubezpieczenia»yciowe
Zadanie1(KrzysiekP.)
FunduszAkapitalizujeodsetkimiesiƒcznieprzynominalnejstopieprocentowej0,12.FunduszBakumuluje
kapita“wspos ó bci¡g“y,zak“adaj¡cintensywno–¢oprocentowania = t 6 ,gdziet>0.PojakimczasieT,
100PLNzakumulujesiƒdojednakowejwysoko–ciwobufunduszach?
Niecht-liczbalat,pokt ó rymsiƒzr ó wnaj¡.
FunduszA:100 (1 + 0;12
100 (1; 01) 12t = 100 e t 0 s 5 ds
(1; 01) 12t = e t 2 12
12tln(1; 01) = t 2
12
t = 144ln(1; 01) 1; 43
Liczbamiesiƒcy: 12t 17; 16.
WfunduszuAkapitalizujesiƒcomiesi¡c,tak»echybatrzebaprzybli»y¢do 17miesiƒcy.
Zadanie2(Gra»ynaiKrzysiekO.)
Korzystaj¡czde nicji,udowodnijwz ó rA x = vq x + vp x A x+1
WersjaKrzy–ka(uproszczonyzapis):
1
12 ) 12t = 100 (1; 01) 12t .
FunduszB:zewzoruA(t) = A(0) e t 0 (s)ds mamy:100 e t 0 s 5 ds .
Przyr ó wnujemy:
 
X
v k P(K = k) = vP(K = 0) +
X
v k P(K = k) = vq x +
X
v k+1 P(K = k + 1) =
A x =
k=0
k=1
k=0
= vq x + v
X
v k P(K = k) = vq x + v
X
v k P(K = k + 1jK 1)P(K 1) =
k=0
k=0
= vq x + vP(K 1)
X
v k P(K = kjK 1) = vq x + vp x A x+1
k=0
Mojawersja:
Trzebaskorzysta¢zponi»szychwzor ó w,ap ó „niejprzeprowadzi¢wmiarƒzwyk“eprzekszta“cenia(w“a–-
ciwieniezabardzowartoczyta¢tychprzekszta“ce«:podstawiamtamdowzoru,skracamcosiƒda,przenu-
merowujƒszeregidodajƒpierwszywyraz).
k p x = s(x+k)
A x = P k=0 v k+1 k p x q x+k
vq x + vp x A x+1 = vq x + vp x
X
v k+1 k p x+1 q x+1+k =
k=0
= v (1 s(x + 1)
s(x)
) + v s(x + 1)
s(x)
X
v k+1 s(x + 1 + k)
s(x + 1)
(1 s(x + k + 2)
s(x)
) =
k=0
= v(1 s(x + 1)
s(x)
) +
X
v k+2 s(x + 1 + k)
s(x)
(1 s(x + k + 2)
s(x)
) =
k=0
= v(1 s(x + 1)
s(x)
) +
X
v k+2 ( s(x + 1 + k)
s(x)
s(x + 1 + k)s(x + k + 2)
s 2 (x)
) =
k=0
= v( s(x)
s(x) s(x)s(x + 1)
X
v k+1 ( s(x + k)
s(x)
s(x + k)s(x + k + 1)
s 2 (x)
) +
) =
s 2 (x)
k=1
=
X
v k+1 ( s(x + k)
s(x)
s(x + k)s(x + k + 1)
s 2 (x)
) =
k=0
=
X
v k+1 s(x + k)
s(x)
(1 s(x + k + 1)
s(x)
) =
X
v k+1 k p x q x+k = A x
k=0
k=0
Zadanie3(MilenaiKrzysiekO.)
Wdanejpopulacji–miertelno–ci¡rz¡dziprawodeMoivre’azwiekiemgranicznymw = 100orazi = 0; 1:
Oblicz:
30:10j = 10
0 v t 1 70 dt = (v 10 1)
70ln(v) = (( 1
i+1 ) 10 1)
70ln( 1
i+1 ) = 0:0921
b)wariancjƒzmiennejlosowejoznaczaj¡cejwarto–¢obecn¡sumyubezpieczeniaw10-letnimubezpieczeniu
na»yciedla(30)
2
s(x) = 1 k q x (prawdopodobie«swto,»exlatekdo»yjex+klat)
p x = 1 p x = s(x+1)
s(x)
q x = 1 q x = 1 1 p x = 1 s(x+1)
s(x)
a)A 1
257062515.016.png
E(Z 2 ) = 10
0 v 2t 1 70 dt = (( 1
i+1 ) 20 1)
140ln( 1
i+1 ) = 0:0638
V ar(Z) = E(Z 2 ) EZ = 0:0638 0:0921 2 = 0:0553
Zadanie4(Milena)
Wdanejpopulacji–miertelno–ci¡rz¡dziprawodeMoivre’azwiekiemgranicznymw = 100.Zak“adaj¡c
intensywno–¢oprocentowania0,05nale»yprzeprowadzi¢wycenƒwybranychprodukt ó wdlaosobywwieku
x = 25lat.
Bardzowstƒpnieprzepisane(bezliczenia,samepodstawianiedowzor ó w).
Drobnauwaga:nadniekt ó rymiAniemakresek(nadwszystkimipowinnyby¢,alewpewnymmomencie
misiƒodechcia“o,zreszt¡nieumiemich“adnierobi¢).
w = 100
i = 0; 05
x = 25lat
= 0; 05
v t = e t
f(t) = t p x (x + t) = 10025t
75 1
10025t = 1 75
a)Z 1 =
( v T dla T675
0 wpp
A x = EZ 1 = 1
0 v t f(t)dt = 75
0 e t 1 75 dt = 1 75
e 0;05t
0;05
75
= 1 75 1e 3;75
0;05 = 20 75 (1 1
e 3;75 )
0
2 A x = V ar(Z) = EZ 2 1 (EZ 1 ) 2
E(Z 2 1 ) = 1 75 75
0 e 2t = 1 75
1e 750;1
20;05
= 10 75
1 e 7;5
c)A 25:5j = A 1
25:5j + A 1
25:5j = e) + g)
d)Z 2 =
( v T dla T65
v 5 dla T > 5
2 A 25:5j = EZ 2 2 = 1 75 5
e 0;1t 5
0 v 2t + 1 75 75
5 v 5 dt = 1 75 5
0 e 2t + 1 75 75
5 e 5 dt = 1 75 5
0 e 0;1t + 1 75
te 0;25 75
5
= 1 75 1
0 + 1
e 0;25 1
15e 0;25 = 10 75 10
75e 0;5 + 1
e 0;25 1
15e 0;25
e)Z 3 =
( v T dla T625
0 wpp
A 1 25:5j = EZ 3 = 1 75 5
0 e t dt = 5
0 e 0;05t dt = 1 75
1e 0;25
0;05
20 75 (1 0; 78) = 4;4
75
f) 2 A 1
25:5j = V ar(Z 3 )
EZ 2 3 = 1 75 5
0 e 2t dt = 5
0 e 0;1t dt = 1 75
1e 0;5
0;05
20 75 (1 0; 6) = 8 75
3
b)
0;1
257062515.017.png 257062515.018.png 257062515.001.png 257062515.002.png 257062515.003.png 257062515.004.png
V ar(Z 3 ) = EZ 2 3 (EZ 3 ) 2 = 8 2 4;4 2
75 2
g)Z 4 =
( 0 dla T65
v n
wpp
1+i = 1
1;05
n p x = s(x+n)
s(x) = s(30)
s(25) = 0;7
0;75 = 14 15
25:5j = v n n p x = 14 15
1
1;05
5
h) 2 A 1
25:5j = EZ 2 4 = 1 75 75
0 v 5 dt = 1 75 75
0 e 5 dt = e 0;25
75 tj 75 5 = 70
75e 0;25
i) 5j A 25 = 1 75 100
5 v t dt = 1 75 100
5 e 0;05t dt = 20 75
e 0;25 e 5
j)nieobowi¡zujenakolokwium(http://coin.wne.uw.edu.pl/mogonek/mu/pytania.pdf)
k) t p x = s(x+t)
s(x) = 75t
75
a 25 = 100
0 v t t p x dt = 100
0 e t 75t
75 dt = 100
0 e 0;05t dt 1 75 100
0 te 0;05t dt = 1 e 5 (:::)
l)a 25:5j = 1A 25:5j
m)Z 5 = T
m v t dt = v m v t
mj a x = EZ 5 = 1
5
v m v t
f(t)dt 5j a x = 75
5
v 5 v t
f(t)dt = 1 75 75
5
e 0;25 e 0;05t
0;05 = 20e 0;05
75 75
5 e 5 e t dt =
3;75 (71 e 15 )
Zadanie5(Magdalena)
Danes¡:
b t = 2t + 1
x+t = 0; 02 = sta“e
t = 0; 05 = sta“e
Z = b T v T = b T e T ,bov T = v T = e T
Oblicz:
0 Z(t)f(t)dt Z(t) = (2t 1)e t
f(t) = t p x -gƒsto–¢T(og ó lnief(t) = t+x t p x )
Przysta“ym:f(t) = e t ,poniewa»: f(t) = t p x = e x+t
EZ = 1
0 (2t + 1)e t e t dt = 0; 02 1
0 (2t + 1)e 0;07t dt = 0; 02 1
x dx = e t
0 (2t + 1) e 0;07t
0
dt
e 0;07t
0;07
1
h 1
h 1
0;07
0;07 e 0;07t i 1
0
0;07
i
0 + 0; 02 1
= 0; 02(2t + 1)
0 2 e 0;07t
0;07 dt = 0; 02
0;07 2
1
=
100 7 + 2
= 0; 02
0;072
= 0; 02 422; 45 8; 45
4
v = 1
A 1
(:::) = e 0;25
a)(IA) x = EZ = 1
257062515.005.png 257062515.006.png 257062515.007.png 257062515.008.png
b)V arZ = EZ 2 (EZ) 2 EZ 2 = 1
0 (2t + 1) 2 e 2t e t dt = 0; 02 1
0 (4t 2 + 2t + 1)e 0;12t dt = (:::) =
0; 02 4776; 85 95; 54
V arZ 95; 54 8; 45 2 24; 13
Zadanie6(Magdalena)
( v T P a Tj T n
v n P a nj T > n .Wiedz¡c,»esk“adkaPzosta“awyznaczonazzasadyr ó wnowa»no–ci,
intensywno–¢zgon ó w()wynosi0:02,intensywno–¢oprocentowania()wynosi0:05,oblicz:a)P;b)V ar(L).
Zasadar ó wnowa»no–ci: E(L) = 0.Warto–¢oczekiwanatoca“kapo R zfunkcji Lpomno»onejprzez
gƒsto–¢zmiennejT.Przysta“ymmamyf T (t) = e t .Przysta“ymmamyv t = e t .Ponadtomo»emy
zauwa»y¢,»emamydoczynieniazubezpieczeniemirent¡terminow¡na»ycieido»ycien-letni¡.
E(L) = n
0
v t P a tj
f T (t) dt + 1
n
v n P a nj f T (t) dt = 0
v t f T (t) dt + 1
n
n
a tj f T (t) dt + 1
n
v n f T (t) dt = P
a nj f T (t) dt
P = n
0 v t f T (t) dt + 1
0
n
0 a tj f T (t) dt + 1
n v n f T (t) dt
n a nj f T (t) dt
P =
E(Z)
E(Y )
E(Z) = n
0
e t e t dt + 1
n
e n e t dt
+
h
e (+)t i n
0
e n e t 1
n
=
e (+)n 1 + e (+)n
+
=
= 2
7
e 0:07n 1 + e 0:07n
5
7 e 0:07n +
2
7
=
Zkartkinr4mamy: E(Y ) = n
0 v t t p x dt.Lubzkartkinr1: n
0 a tj f T (t) dt + 1
n a nj f T (t) dt.Skorzystamz
tejpierwszejw“asno–ci.Przysta“ymmamy t p x = e t
E(Y ) = n
0
v t t p x dt = n
0
1
+
h
e (+)t i n
0
e (+)t dt =
=
=
1
+
e (+)n 1
= 100
7
e 0:07n +
100
7
7 e 0:07n + 2 7
100
5e 0:07n + 2
100e 0:07n + 100 .
WefekcieP =
7 e 0:07n + 100 7
=
Podpunktb)V ar(L) =?
( T T n
n T > n .WtedyL = v S P a Sj .Pamiƒtaj¡cow“asno–cich
Zde niujemyzmienn¡losow¡S =
5
NiechL =
5
257062515.009.png 257062515.010.png 257062515.011.png 257062515.012.png 257062515.013.png 257062515.014.png 257062515.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin