kmrl.pdf
(
127 KB
)
Pobierz
257042354 UNPDF
PawełStrawi«ski Notatkido¢wicze«zekonometrii
1.1KlasycznyModelRegresjiLiniowej
KlasycznymodelRegresjiLiniowejjestbardzou»ytecznymnarz¦dziemsłu-
»¡cymdoanalizydanychempirycznych.Analizaregresjizajmujesi¦opisem
zale»no±cimi¦dzywybran¡zmienn¡(nazywan¡zmienn¡zale»n¡lubobja-
±nian¡)ijedn¡lubwielomazmiennyminazywanymizmiennyminiezale»nymi
lubobja±niaj¡cymi.TerminregresjazostałazaproponowanyprzezFrancisa
Galtona,któryzajmowałsi¦genetyk¡ieugenik¡.Badaj¡czale»no±¢mi¦dzy
wzrostemdzieciawzrostemrodzicówstwierdził,»ewysocyrodzicemaj¡wy-
sokiedzieci,niscyrodziceniskie,aleistniejetendencjazbie»no±ciwzrostudo
±redniejwarto±ci.T¡tendencj¦nazwał»egresj¡doprzeci¦tno±ci”.
Buduj¡cmodelzjawiskazachodz¡cegowpopulacjiposługujemysi¦infor-
macjamipochodz¡cymizpróby
y=X+"
y=Xb+e (1)
,"-warto±cipochodz¡cezpopulacji,
b,e-warto±cipochodz¡cezpróby.
Zjawiskozachodz¡cewpopulacjiopisa¢mo»emynast¦puj¡cymrówna-
niemliniowym:
y=X+" (2)
gdzie:
y-wektorwarto±cizmiennejobja±nianej(zale»nej),
X-macierzzmiennychobja±niaj¡cych(niezale»nych),
-wektornieznanychparametrów
"-składniklosowy(czynnikstochastycznyrównania).
Wekonomiizazwyczajzachodziproblemprzeidentyfikowaniaukładurów-
na«.Szukamyrozwi¡zaniarównania,któremadu»owi¦cejwarunkówogra-
niczaj¡cych(obserwacji)ni»jestwrównaniuniewiadomych(parametrów
wmodelu).Wrezultaciebardzorzadkootrzymujemydokładnerozwiaza-
nieukładu,cz¦±ciejnajlepszeliniowejegoprzybli»enie.
2
y
1
y
2
...
y
n
3
2
x
11
x
21
... x
1k
x
21
x
22
... x
2k
... ... ... ...
x
n1
x
n2
... x
nk
3
2
1
2
...
k
3
2
"
1
"
2
...
"
n
3
y=
6
6
4
7
7
5
X=
6
6
4
7
7
5
=
6
6
4
7
7
5
"=
6
6
4
7
7
5
Modelzjawiskazapisujemyjako:
1
PawełStrawi«ski Notatkido¢wicze«zekonometrii
E[y|X]=X (3)
lubalternatywnie:
y=Xb+e (4)
Bardzocz¦stoprzyjmujesi¦,»emodelposiadastał¡.Wtedypierwszako-
lumnamacierzyzmiennychobja±niaj¡cychXwypełnionajestprzezwektor
l
0
=[1,1,..,1].
Zało»eniamodelu
:
1.Zwi¡zekpomi¦dzyyax
1
,...,x
k
jestopisanyrównaniemy=X+
".Alternatywnietozało»eniedefiniowanejestjakoy=X+"jest
procesemgeneruj¡cymdane.
2.liniowo±¢.Omodeluekonometrycznymmówimy,»ejestliniowyje±lijest
liniowywzgl¦demparametrów.Modelniemusiby¢liniowywzgl¦dem
zmiennych.Mog¡by¢onedowolnymifunkcjamiodwarto±ciobserwo-
wanych.
Przykładymodeliliniowych:
•y=
0
+x
1
1
+x
2
2
•y=
0
+x
2
1
1
+x
2
2
2
•Równaniewyj±ciowe:y=Ax
e
"
pozlogarytmowaniumaform¦
liniow¡:lny=lnA+lnx+"lne
•lny=
0
+
1
lnx
1
+
2
lnx
2
+"jesttowa»nymodelnosz¡cynazw¦
modelulogliniowego.
3.E(")=0.Warto±¢oczekiwanaskładnikalosowegowynosi0.
4.Wariancjaskładnikalosowegojestidentycznadlawszystkichobserwacji
(homoscedastyczno±¢).8i var("
i
)=
2
5.Kowariancjami¦dzydwomaró»nymibł¦damilosowymiwynosizero.
8i 6=j cov("
i
,"
j
).
6.SkładniklosowymawielowymiarowyrozkładnormalnyN(0,
2
I),jest
homoscedastyczny,orazwyst¦pujebrakautokorelacji.E(""
0
)=
2
I)
var(")=E(""
0
)
2
PawełStrawi«ski Notatkido¢wicze«zekonometrii
Macierzwariancji-kowariancji.
2
"
1
"
2
...
"
k
3
2
"
1
"
1
"
1
"
2
... "
1
"
k
"
2
"
1
"
2
"
2
... "
2
"
k
... ... ... ...
"
k
"
1
"
k
"
2
... "
k
"
k
3
6
6
4
7
7
5
"
1
"
2
... "
k
=
6
6
4
7
7
5
7.Egzogeniczno±¢zmiennychniezale»nychE["
i
|x
i,1
,x
i,2
,...,x
i,k
]=0.
Zaburzenielosoweniejestfunkcj¡zmiennychobja±niaj¡cychmodelu.
8.MacierzXzawierawielko±cistałelubelementylosowe,aleprocesge-
neruj¡cydanejestniezale»nyodskładnikalosowego".
9.MacierzXmapełenrz¡dkolumnowy.rz(X)=kT
1.2Metodanajmniejszychkwadratów(MNK)
Celemestymacjijestdopasowanieliniiregresjidozaobserwowanegozbioru
danychempirycznych.Modeljesttymlepiejdopasowanyimmniejszajestod-
legło±¢warto±citeoretycznychˆyodwarto±cizaobserwowanychydlazmiennej
zale»nej.Celemjestminimalizacja
min
X
i
dist(y
i
,ˆy
i
)
poniewa»wprzestrzeniacheuklidesowychwszystkiemetrykis¡równowa»ne
mo»emydlacelówoptymalizacjiwybra¢dowoln¡znich.Najlepszymwybo-
remb¦dzie||·||
2
.Przytakimwyborzeproblemminimalizacjisprowadzisi¦
dominimalizacjisumykwadratówreszt.Ponadto,zastosowanafunkcjajest
ci¡głairó»niczkowalnadlawszystkichwarto±cireszte
i
.Dzi¦kitemuroz-
wi¡zuj¡cwstandardowysposóbwarunkipierwszegorz¦dumo»naznale¹¢jej
optimum.
NazwaMetodanajmniejszychkwadratów(MNK)bierzesi¦zewzgl¦duna
sposóbznajdowaniaoptymalnychwarto±cinieznanychparametrów.Polega
naminimalizowaniusumykwadratówresztszacowanegomodelu.Szacujemy
modely=Xb+e)e=y−Xb
RSS=e
0
e=(y−Xb)
0
(y−Xb)=(y
0
−b
0
X
0
)(y−Xb)=
=y
0
y−y
0
Xb−b
0
X
0
y+b
0
X
0
Xb
Poniewa»y
0
Xborazb
0
X
0
ys¡skalarami(liczbami)mo»emyjedoda¢.Otrzy-
mujemy:
RSS=y
0
y−2b
0
X
0
y+b
0
X
0
Xb (5)
3
PawełStrawi«ski Notatkido¢wicze«zekonometrii
Wceluminimalizacjisumykwadratówbł¦dówliczymyjejpochodna.Po-
chodnawektora,topochodnaka»degojegoelementuliczonaosobno.
@b
=−2X
0
y+2X
0
Xb
@
2
RSS
@b@b
0
=2X
0
X
poniewa»macierzXmapełenrz¡dkolumnowy,tomacierzX
0
Xjestdodatnio
okre±lonawi¦c
@RSS
@b
jestszukanymminimum.
Zapisujemywarunekpierwszegorz¦du:
−2X
0
y+2X
0
Xb=0
X
0
y=X
0
Xb
mno»ymyobiestronyprzezmacierz(X
0
X)
−1
zlewejstrony.Poniewa»ma-
cierzX
0
Xmapełenrz¡dkolumnowyijestdodatniookre±lonatojestodwra-
calna
(X
0
X)
−1
X
0
y=(X
0
X)
−1
X
0
Xb
b=(X
0
X)
−1
X
0
y
Własno±cialgebraicznemetodyMNK.
1.ka»dyregresor,orazcałamacierzregresorówjestortogonalna(prosto-
padła)wzgl¦demwektorareszt
X
0
e=0
Dowód:Zwarunkówpierwszegorz¦dumamy
X
0
Xb=X
0
y
X
0
y−X
0
Xb=0=)X
0
(
y−X
0
b
)
|{z}
X
0
e=0
=0
4
@RSS
PawełStrawi«ski Notatkido¢wicze«zekonometrii
2.hiperpłaszyznaregresjiprzechodziprzezpunkt±rednich(
¯
X,¯y)Dowód:
Zwarunkówpierwszegorz¦dumamy
X
0
Xb=X
0
y
we¹mypoduwag¦jedyniepierwszywierszmacierzyX
0
zawieraj¡cy
jedynkiwówczas:
l
0
Xb=l
0
y
[T,x
1
,x
2
,...,x
k
]b=y /:T
[1,x
1
/T,x
2
/T,...,x
k
/T]b=y/T
[1,¯x
1
,¯x
2
,...,¯x
k
]b=¯y
3.wektorresztejestortogonalnydowektorawarto±cidopasowanychˆy
ˆy
0
e=0
Dowód:wektorwarto±cidopasowanychˆy=Xb)ˆy
0
=b
0
X
0
.
ˆy
0
e=b
0
X
0
e
|{z}
0
=0
Dlamodeluzestał¡mo»napokaza¢dwiedodatkowewłasno±ci
4.sumaresztjestrównazero.Dowód:Zwłasno±ci1wiadomo,»eX
0
e=0.
NiechX=l.Wówczas:
X
0
e=l
0
e=
X
i
e=0
5.±redniawarto±¢teoretycznajestrówna±redniejwarto±ciempirycznej
(próbkowej)
¯
ˆy=¯y.Dowód:Wiemy,»e
y=Xb+e=ˆy+e ·/l
0
l
0
y=l
0
ˆy+l
0
e
|{z}
0
·/N
N
=
l
0
ˆy
N
=¯y=
¯
ˆy
5
l
0
y
Plik z chomika:
pela_191
Inne pliki z tego folderu:
strona1.by_kar.gif
(29 KB)
strategia_lizbonska.zip
(150 KB)
statystyka_matematyczna_egzamin_2006-06-14.djvu
(387 KB)
statystyka_matematyczna_egzamin_2002-06.djvu
(132 KB)
Statystyka.pdf
(80 KB)
Inne foldery tego chomika:
Pliki dostępne do 01.06.2025
Pliki dostępne do 09.04.2026
Analiza ekonomiczna
Analiza finansowa
angielski
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin