GMM.pdf

Uogólniona Metoda Momentów

² Momenty z próby d az a do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich

Liczb)

n X

plim 1

y i = E ( y )

i =1

² Klasyczna M etoda M omentów ( MM ) polega na szacowaniu momentów

teoretycznych E ( y ), za pomoc a momentów z próby.

Przykład Załózmy, ze próba pochodzi z rozkładu normalnego N ¡ 0 ;¾ 2 ¢ .

Jesli spełnione s a załozenia prawa wielkich liczb, to

plim 1

n X

y i =plim y = E ( y )= ¹

i =1

Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW

s 2 y =plim 1

n X

( y i ¡y ) 2 = E

£ y 2 ¡ E ( y ) ¤ =Var( y )= ¾ 2

i =1

Za estymatory metody momentów ¹ mozna wi ec przyj ac y a ¾ 2 mozna

oszacowac za pomoc a s 2 y .

² Uogólniona Metoda Momentów ( GMM - G eneralised M ethod of

M oments) rozszerza t a metod e o dwa elementy.

² Wektor momentów teoretycznych jest funkcj a nieznanych wektora

parametrów µ tak a, ze

E [ m ( y i ;x i ;µ )]=0

²m ( y i ;x i ;µ )b edziemy oznaczac jako m i ( µ ).

Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW

² Jesli spełnione s a załozenia prawa wielkich liczb, to

plim 1

n X

m i ( µ )=0

i =1

² Estymator GMM rozwi azuj ac nast epuj acy układ równa n:

n X

m i

³ b µ

i =1

² Bardzo cz esto warunki wynikaj ace z teorii maj a postac mometów

warunkowych:

E [ f i ( µ ) jz i ]=0

gdzie z i moze cz esciowo składac si e z elementów wektora zmiennych

objasniaj acych x i

Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW

² Liczenie empirycznych momentów warunkowych w przypadku, kiedy z i

jest ci agłe jest spraw a beznadziejn a.

² W zwi azku z tym staramy si e zast apic momenty warunkowe momentami

bezwarunkowymi.

² Z prawa iterowanych wartosci oczekiwanych dla m i ( µ )= w 0 i f i ( µ )i w i =

w ( z i )wynika, ze

E [ m i ( µ )]= E [ w 0 i f i ( µ )]= E z i [ w 0 i E ( f i ( µ ) jz i )]=0

² I ograniczenia narzucone na warunkowe wartosci oczekiwane mozemy

zast apic ograniczeniami narzuconymi na bezwarunkowe wartosci oczekiwane

E [ w 0 i f i ( µ )]=0 :

Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW

² Elementy wektora w i nazywamy instrumentami

Przykład Wyprowadzenie estymatora MNK w Uogólnionej Metodzie

Momentów

Załozenia KMRL mozna modyﬁkowac w sposób nast epuj acy:

1. y i = x i ¯ + " i

2. E ( " i jx i )=0

3.Var( " )= ¾ 2 I

Zauwazmy, ze załozenia o tym, ze x i jest deterministyczne i E ( " i )=

0zast apiło załozenie, ze E ( " i jx i )=0. Przyjmijmy za instrumenty w

Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: