(6.72)
będącą warunkiem istnienia rozwiązania zagadnienia. Zależność ta jest nazywana związkiem dyspersyjnym , gdyż wyraża dyspersyjny charakter ruchu falowego, polegający na uzależnieniu prędkości fali
(6.73)
od jej długości.
W granicznym przypadku dla bardzo głębokiej wody do-stajemy
(6.74)
natomiast dla bardzo płytkiej wody jest
(6.75)
zatem ruch falowy występujący na powierzchni wody głębokiej odznacza się dużą dyspersją a na wodzie płytkiej dyspersja nie występuje (c = const).
ĆWICZENIA
Przykład 6.1. Zbadać przepływ, którego pole prędkości określają składowe
Jest to przepływ nieściśliwy, o czym łatwo można się przekonać sprawdzając warunek ciągłości przepływu (6.2)
Jest to również przepływ potencjalny, gdyż znika składowa wektora normalna do płaszczyzny przepływu
Potencjał prędkości znajdujemy wykorzystując równania:
po scałkowaniu mamy
Funkcję prądu wyznaczamy z równań (6.7):
Całkujemy pierwsze z tych równań
i następnie różniczkujemy względem x
wynika stąd, że
Rys. 6.21
Funkcja prądu jest zatem określona równaniem
obraz linii prądu dla przedstawiony jest na rys. 6.21.
Widzimy więc, że rozważane pole prędkości może być wykorzystane do opisu przepływu w pobliżu naroży, których kąty załamania wynoszą 60°.
Przykład 6.2. Jaka zależność musi zachodzić pomiędzy stałymi a i b, aby równanie
określało potencjał prędkości. Ponadto dla otrzymanego potencjału wyznaczyć:
a) funkcję prądu,
b) moduł wektora prędkości
Funkcja jest potencjałem prędkości, jeżeli spełnia równanie La-place’a:
czyli
stąd
Wobec powyższego
a. Po scałkowaniu zależności
otrzymamy
Również
zatem
Z przeprowadzonej analizy wynika, że
przeto równanie rodziny linii prądu będzie miało następującą postać
b. Składowe wektora prędkości wynoszą:
Przykład 6.3. Pole prędkości płaskiego przepływu płynu doskonałego określają składowe wektora prędkości:
.
Sprawdzić, czy przepływ jest potencjalny (niewirowy), wyznaczyć potencjał prędkości oraz funkcje prądu, a także określić kształt linii prądu i linii ekwipotencjalnych.
Przepływ potencjalny, czyli niewirowy, musi spełniać następujący warunek
Dla danych składowych wektora prędkości mamy:
,
a zatem spełniony jest warunek niewirowości przepływu.
W celu wyznaczenia potencjału prędkości skorzystamy z poniższego równania
skąd po scałkowaniu jest
Różniczkując funkcję j względem x, otrzymujemy
z czego wynika, że
W związku z tym, potencjał prędkości
Funkcję prądu wyznaczymy z następującego równania
z którego po scałkowaniu mamy
Różniczkując ostatnie wyrażenie względem y, otrzymujemy
wówczas
stąd uzyskujemy zależność dla funkcji prądu
Równanie rodziny linii prądu wyznaczymy podstawiając wobec tego
a po przekształceniu
Otrzymane tym sposobem wyrażenie jest równaniem rodziny okręgów o promieniu r, których środki leżą w punktach: (0, r), (0, - r) – rys. 6.22.
Linie ekwipotencjalne = const jako ortogonalne do linii prądu = = const są również okręgami, których środki mają współrzędne: (r, 0), (- r, 0).
Rys. 6.22
Przykład 6.4. Wyznaczyć przepływ cieczy doskonałej, będący superpozycją przepływu jednorodnego z prędkością U równoległą do osi rzeczywistej, źródła znajdującego się w punkcie: y = 0 oraz upustu znajdującego się w punkcie: x = a, y = 0 (rys. 6.9).
Uogólniając wzór (6.27) zapisujemy potencjał zespolony wytworzonego przepływu w postaci
i wyznaczamy funkcję prądu
Współrzędne punktów spiętrzenia wynikają z równania
i określone są wzorami
Jeśli przyjmiemy
wtedy będzie
Funkcja prądu y = 0 pokrywa się z osią x dla oraz ; między punktami spiętrzenia jest określona równaniem
Równanie to opisuje krzywą symetryczną względem obu osi; musi być ona linią zamkniętą , gdyż w nieskończoności przepływ jest prądem jednorodnym.
Przykład 6.5. Funkcja gdzie C = con...
Lennon90