11.pdf

(117 KB) Pobierz
729609168 UNPDF
11Algebramacierzy
Definicja11.1 Dladanegociała F idladanych m,n 2 N funkcj¦ A :
{ 1 ,...,m }×{ 1 ,...,n }! F nazywamy macierz¡m × n ( macierz¡om
wierszachinkolumnach )owyrazachz F .
Warto±¢ A ( i,j )macierzy A dlaargumentu( i,j )oznaczamyprzez a ij ,a
sam¡macierzzapisujemyjako A =[ a ij ] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n lub
A =
2
6 6 6 4
a 11 a 12 ... a 1 n
a 21 a 22 ... a 2 n
. . ... .
a m 1 a m 2 ... a mn
3
7 7 7 5
Zbiórwszystkichmacierzyo m wierszachi n kolumnachorazowyrazach
zciała F oznaczamyprzez M mn ( F )(lub M mn ,gdynieprowadzitodo
niejednoznaczno±ci).
Dlamacierzy A 2 M mn ( F )funkcj¦ R i = A | { i }×{ 1 ,...,n } nazywamy i–
tymwierszem macierzy A ,za±funkcj¦ C j = A | { 1 ,...,m }×{ j } nazywamy j–t¡
kolumn¡ tejmacierzy.
Uwaga1 i –tywierszi j –t¡kolumn¦macierzy A 2 M mn mo»nazapisa¢
nast¦puj¡co
2
a 1 j
a 2 j
. . .
a mj
3
h
i
6 6 6 6 4
7 7 7 7 5
R i =
a i 1 a i 2 ... a in
, C j =
itraktowa¢jakowektoryodpowiednioz F n oraz F m .
Macierz A mo»eby¢uwa»anazaukładwektorów( R 1 ,...,R m )zprze-
strzeni F n lubzaukładwektorów( C 1 ,...,C n )zprzestrzeni F m .
Zbiór M mn ( F )mo»nawi¦cuto»sami¢z F mn .
Stwierdzenie11.2 Zbiór M mn ( F ),zdziałaniamidodawaniamacierzyi
mno»eniamacierzyprzezskalaropisanymijakwprzestrzeni F mn ,jestprze-
strzeni¡liniow¡nadciałem F .
Układmacierzy( E ij ) i =1 ,...,m,j =1 ,...,n ,gdzie E ij =[ ik jl ] 1 ¬ k ¬ m, 1 ¬ l ¬ n ,
jestbaz¡przestrzeni M mn ( F ).
Definicja11.3 Macierzzprzestrzeni M nn nazywamy macierz¡kwadratow¡
stopnian .
Macierz¡jednostkow¡ ( stopnian )nazywamymacierz I n =[ ij ] 1 ¬ i,j ¬ n .
Główn¡przek¡tn¡ macierzy A =[ a ij ] 2 M nn nazywamywektor( a 11 ,a 22 ,...,a nn ).
Macierzkwadratow¡ A =[ a ij ] 2 M nn nazywamy:
• macierz¡diagonaln¡ ,gdy a ij =0dla i 6 = j ,
1
• macierz¡górn¡trójk¡tn¡ ,gdy a ij =0dla i > j ,
• macierz¡doln¡trójk¡tn¡ ,gdy a ij =0dla i < j .
Definicja11.4 Niech A =[ a ij ] 2 M mn , B =[ b jk ] 2 M np . Iloczynemma-
cierzyAiB nazywamytak¡macierz C = A · B =[ c ik ] 2 M mp ,»e
c ik =
n X
a ij b jk i =1 ,...,m, k =1 ,...,p.
j =1
Uwaga2 Macierz A mo»napomno»y¢przezmacierz B zprawejstrony
tylkowtedy,gdyilo±¢kolumnmacierzy A jestrównailo±ciwierszymacierzy
B .Istnienieiloczynu A · B niegwarantujeistnieniailoczynu B · A .
Nawetje»eli A i B s¡macierzamikwadratowymitegosamegostopnia,
tonaogół A · B 6 = B · A ,czylinawetwzbiorze M nn mno»eniemacierzowe
niejestprzemienne.
Bezpo±redniozdefinicjimno»eniamacierzowegoistwierdzenia10.4wy-
nika
Wniosek11.5 Je»eli U,V,W s¡przestrzeniamiliniowymisko«czonegowy-
miarunadciałem F obazachodpowiednio A , B , C ,za± ' : V ! W i
: U ! V —przekształceniamiliniowymi,to
M CA ( ' )= M CB ( ' ) · M BA ( )
Definicja11.6 Niech B b¦dziebaz¡przestrzeni V F ,przyczymdim V =
n .Dlawektora v 2 V macierz C B ( v ) 2 M n 1 ,którejkolejnymiwyrazami
s¡współrz¦dnewektora v wbazie B ,nazywamy macierz¡współrz¦dnych
wektorav wbazie B .
Przykład11.7 1.Je»eli V = F n irozwa»amywniejbaz¦kanoniczn¡
E =( e 1 ,...,e n ),to
C E (( v 1 ,...,v n ))=
2
6 4
v 1
. . .
v n
3
7 5 .
2.Je»eli ' : V ! W jestprzekształceniemliniowym, B =( v 1 ,...,v n )—
baz¡ V ,a C =( w 1 ,...,w n )—baz¡ W ,to C C ( ' ( v j ))jest j –t¡kolumn¡
macierzy M CB ( ' ).
Wniosek11.8 Je»eli ' : V ! W jestprzekształceniemliniowym, B =
( v 1 ,...,v n )—baz¡ V ,a C =( w 1 ,...,w n )—baz¡ W ,to
M CB ( ' ) · C B ( v )= C C ( ' ( v )) dla v 2 V.
2
Wszczególno±ci,je»eli A jestbaz¡przestrzeni V ,to
M BA · C A ( v )= C B ( v ) dla v 2 V.
Uwaga3 Je»eli ' : R n ! R m jestprzekształceniemliniowym,za± A —
jegomacierz¡wbazachkanonicznych,to
' ( v )= A · v,
je»eliuto»sami¢wektor v zmacierz¡ C E ( v )zgodniezprzykładem11.7.
Stwierdzenie11.9 Dladowolnychmacierzy A 2 M mn , B,B 0 2 M np , C 2
M pq i a 2 F spełniones¡warunki:
1. A · ( B · C )=( A · B ) · C
2. A · ( B + B 0 )=( A · B )+( A · B 0 )oraz( B + B 0 ) · C =( B · C )+( B 0 · C )
3. A · I n = A oraz I m · A = A
4. a ( A · B )=( aA ) · B = A · ( aB )
Dowód: Niech A =[ a ij ], B =[ b jk ], B 0 =[ b 0 jk ], C =[ c kl ].
1.Je»eli D = B · C =[ d jl ] 2 M nq oraz E = A · B =[ e ik ] 2 M mp ,to
d jl =
p X
b jk c kl oraz e ik =
n X
a ij b jk .
k =1
j =1
Zatemmacierze A · ( B · C )i( A · B ) · C maj¡tesamewyrazyoindeksie
il ,gdzie i =1 ,...,m , l =1 ,...,q ,gdy»
0
1
n X
n X
p X
n X
p X
p X
n X
p X
@
A c kl =
a ij d jl =
a ij
b jk c kl =
a ij b jk c kl =
a ij b jk
e ik c kl .
j =1
j =1
k =1
j =1
k =1
k =1
j =1
k =1
2.Wyrazoindeksie ik macierzy A · ( B + B 0 ),gdzie i =1 ,...,m , k =
1 ,...,n ,wynosi
n X
( a ij ( b jk + b 0 jk ))=
n X
n X
a ij b 0 jk ,
a ij b jk +
j =1
j =1
j =1
codowdzipierwszejrówno±ci;drugajestanalogiczna.
3.Wyrazoindeksie ik macierzy A · I n ,gdzie i =1 ,...,m , k =1 ,...,n ,
wynosi
n X
a ij jk = a ik 1= a ik
j =1
ijestrównywyrazowimacierzy A otymsamymindeksie.Analogicznie
I m · A = A .
3
4.Wyrazoindeksie ik ,gdzie i =1 ,...,m , k =1 ,...,p ,jesttakisamw
ka»dejzmacierzy,bowynosi
0
1
n X
n X
n X
@
A =
a
a ij b jk
(( aa ij ) b jk )=
( a ij ( ab jk )) .
j =1
j =1
j =1
Definicja11.10 Przestrze«liniow¡( V,F, + , · )wrazdziałaniem ,które
jestwewn¦trznewzbiorze V ,nazywamy algebr¡(zjedno±ci¡)nadciałem
F ,gdytrójka( V, + , )jestpier±cieniem(zjedno±ci¡)orazspełnionyjest
warunek
8 v,w 2 V 8 a 2 F a · ( v w )=( a · v ) w = v ( a · w ) .
Wniosek11.11 Dla n 2 N przestrze«liniowa M nn ( F )wrazzdziałaniem
mno»eniamacierzowegostanowialgebr¦zjedno±ci¡nadciałem F .
Definicja11.12 Macierzkwadratow¡ A 2 M nn ( F )nazywamy macierz¡
nieosobliw¡ (lub odwracaln¡ ),je»eliistniejemacierz A − 1 2 M nn ( F )taka,»e
A · A − 1 = A − 1 · A = I n .
Zbiórwszystkichmacierzynieosobliwychstopnia n owyrazachzciała F
oznaczmyprzez GL ( n,F )inazywamy ogóln¡grup¡liniow¡ stopnia n nad
F .
Przykład11.13 1.Macierz[ a ] 2 M 11 jestnieosobliwawtedyitylko
wtedy,gdy a 6 =0.Wówczas[ a ] − 1 =[ 1 a ].
"
#
a b
c d
2.Macierz
2 M 22 jestnieosobliwawtedyitylkowtedy,gdy
"
# − 1
" d
ad − bc
#
a b
c d
− b
ad − bc
ad − bc 6 =0.Wówczas
=
− c
ad − bc
a
ad − bc
.
Wniosek11.14 Zbiór GL ( n,F )zdziałaniemmno»eniamacierzowegosta-
nowigrup¦.
Dowód: Zgodniezdefinicj¡macierzynieosobliwejistwierdzeniem11.9
wystarczypokaza¢,»emno»eniemacierzowejestdziałaniemwewn¦trznym
wzbiorze GL ( n,F ).Takjestwistocie,bodla A,B 2 GL ( n,F )zachod zi
równo±¢( A · B ) − 1 = B − 1 · A − 1 ,zatem A · B 2 GL ( n,F ).
Stwierdzenie11.15 1.Macierzizomorfizmujestnieosobliwa.
2.Macierzprzej±ciaodbazydobazyjestnieosobliwa.
4
729609168.002.png 729609168.003.png 729609168.004.png 729609168.005.png
 
Wniosek11.16 Niech V , W b¦d¡przestrzeniamiliniowymiwymiarusko«-
czonegonadciałemF.Niech A , B b¦d¡bazamiprzestrzeni V , C , D —bazami
przestrzeni W ,za± ' : V ! W —przekształceniemliniowym.Wówczas
M DA ( ' )= M DC · M CB ( ' ) · M BA .
Wszczególno±ci,gdy ' jestendomorfizmemprzestrzeni V ,to
M AA ( ' )= M − 1
BA · M BB ( ' ) · M BA .
Definicja11.17 Macierz¡transponowan¡ domacierzy A =[ a ij ] 2 M mn
nazywamymacierz A T =[ a ji ] 2 M nm .
Macierzkwadratow¡ A nazywamy:
• macierz¡symetryczn¡ ,gdy A T = A ,
• macierz¡antysymetryczn¡ (lub sko±niesymetryczn¡ ),gdy A T = − A .
Stwierdzenie11.18 Dladowolnychmacierzy A,A 0 2 M mn , B 2 M np i
a 2 F spełniones¡warunki:
1.( A + A 0 ) T = A T + A 0 T
2.( aA ) T = aA T
3.( A · B ) T = B T · A T
4.
A T T
= A
5.je»eli m = n imacierz A jestnieosobliwa,to
A T − 1
= A − 1 T
Dowód: Niech A =[ a ij ] 2 M mn , A =[ a 0 ij ] 2 M mn , B =[ a jk ] 2 M np ,
a 2 F .Wówczas:
1.Wyrazoindeksie ji macierzy( A + A 0 ) T jestrówny a ji + a 0 ji .
2.Wyrazoindeksie ji macierzy( aA ) T jestrówny aa ji .
3.Wyrazoindeksie ki macierzy( A · B ) T jestrówny P n j =1 b kj a ji .
4.Wynikazdefinicji.
5.Wynikaz(3)ifaktu I T = I .
Wniosek11.19 Zbiórmacierzysymetrycznych(odp.antysymetrycznych)
stopnia n tworzypodprzestrze«liniow¡przestrzeni M nn ( F ).
5
729609168.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin