10.pdf

10Macierzeprzekształce«

Deﬁnicja10.1 Niech B =( v 1 ,...,v n )i C =( w 1 ,...,w m )b¦d¡odpowied-

niobazamiprzestrzeniliniowych V i W nadciałem F .

Dladanegoprzekształcenialiniowego ' : V ! W okre±lmyfunkcj¦ A :

{ 1 ,...,m }×{ 1 ,...,n }! F wzorami:

' ( v j )=

m X

A ( i,j ) · w i j =1 ,...,n.

i =1

Funkcj¦ A nazywamy macierz¡przekształcenia'wbazach B oraz C iozna-

czamyprzez M CB ( ' ).

Warto±cimacierzy A oznaczamytradycyjnie A ( i,j )= a ij ,aj¡sam¡

zapisujemyjako A =[ a ij ] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n lub

A =

a 11 a 12 ... a 1 n

a 21 a 22 ... a 2 n

. . ... .

a m 1 a m 2 ... a mn

Deﬁnicja10.2 Liczb¦ ij ,gdzie i,j =1 ,...,n ,dan¡wzorem

(

0gdy i 6 = j

1gdy i = j

ij =

nazywamy delt¡Kroneckeraoindeksie ( i,j ).

Przykład10.3 1.Macierz¡przekształceniazerowegowdowolnychba-

zachjestmacierzzerowa A =[0] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n .

2.Wdowolnejbazieprzestrzeni V (takiejsamejdladziedzinyiobrazu)

M (id V )= I =[ ij ].

3.Wbazach( v 1 ,...,v n )przestrzeni V oraz(1)ciałaFfunkcjonałliniowy

' : V ! F mamacierz[ ' ( v 1 ) ... ' ( v n )].

4.Macierz¡przekształcenia ' ij opisanegowstwierdzeniu9.15wdanych

bazachjest[ ik jl ] 1 ¬ k ¬ m, 1 ¬ l ¬ n .

5.Wdowolnejbazieprzestrzeni V (takiejsamejdladziedzinyiobrazu)

macierz¡homotetii(jednokładno±ci)oskali 2 F ,czyliprzekształce-

nia V 3 v 7! · v 2 V ,jest I =[ ij ].

6.Wprzestrzeni C R macierz¡mno»eniaprzez 2 C ,czyliprzekształce-

< −=

= <

nia C 3 z 7! z 2 C ,wbazie(1 ,i )jest

7.Macierz¡pochodnejwielomianudziałaj¡cejz R [ x ] n wsiebie,wbazie

(1 ,x,...,x n ),jest[( i − 1) ij ] 1 ¬ i ¬ n +1 , 1 ¬ j ¬ n +1

Stwierdzenie10.4 Niechprzestrzenieliniowe U,V,W nadtymsamymcia-

łem F maj¡bazyodpowiednio A , B , C orazwymiary,tak»eodpowiednio,

p,n,m .

Załó»my,»eprzekształcenialiniowe ' : V ! W i : U ! V maj¡

nast¦puj¡cemacierzewpowy»szychbazach

M CB ( ' )=[ a ij ] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n i M BA ( )=[ b jk ] 1 ¬ j ¬ n, 1 ¬ k ¬ p .

Je»elimacierz¡przekształcenialiniowego ' : U ! W wbazach A i

C jest M CA ( ' )=[ c ik ] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ k ¬ p ,to

c ik =

n X

a ij b jk i =1 ,...,m, k =1 ,...,p.

j =1

Dowód: Dla k =1 ,...,p otrzymujemy

n X

A ( LT )

n X

m X

( ' )( u k )= '

b jk · v j

b jk · ' ( v j )=

b jk ·

a ij · w i

j =1

i =1

m X

n X

b jk a ij

A · w i .

i =1

j =1

St¡ddla i =1 ,...,m, k =1 ,...,p zachodz¡równo±ci

c ik =

n X

a ij b jk .

j =1

Deﬁnicja10.5 Macierz M BA = M BA (id V ),gdzie A , B s¡bazamiprze-

strzeni V wymiarusko«czonego,nazywamy macierz¡przej±ciaodbazy A

dobazy B .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: