7.pdf
(
93 KB
)
Pobierz
729609164 UNPDF
7Liniowaniezale»no±¢wektorów
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
F
.
Definicja7.1
Układwektorów(
v
i
)
i
2
I
zprzestrzeni
V
nazywamy
układem
liniowoniezale»nym
,je»elijedyn¡kombinacj¡liniow¡układu(
v
i
)
i
2
I
równ¡
jestta,którejwszystkiewspółczynnikis¡równe0,czyligdy
X
!
(LI)
8
(
a
i
)
i
2
I
a
i
·
v
i
=
=
)8
i
2
I
a
i
=0
,
i
2
I
gdzie
8
i
2
I
a
i
2
F
oraz
]
{
i
2
I
;
a
i
6
=0
}
<
1
.
Układemliniowozale»nym
nazywamytaki,któryniejestliniowonieza-
le»ny.
Wprzypadkuukładusko«czonego(
v
1
,...,v
n
)warunek(LI)mo»naza-
pisa¢wpostaci
8
a
1
,...,a
n
2
F
(
a
1
·
v
1
+
...
+
a
n
·
v
n
=
=
)
a
1
=
...
=
a
n
=0)
.
Stwierdzenie7.2
Układwektorówjestliniowozale»nywtedyitylkowte-
dy,gdyjedenzjegowektorówjestkombinacj¡liniow¡pozostałychwektorów
tegoukładu.
Dowód:
)
)Je»eliukład(
v
i
)
i
2
I
jestliniowozale»ny,toistniejetaki
układ(
a
i
)
i
2
I
skalarówzciała
F
,sko«czonypodzbiór
{
i
1
,...,i
n
}
I
oraz
takie
k
2{
1
,...,n
}
,»e
a
i
=0dla
i
2{
i
1
,...,i
n
}
,
a
i
k
6
=0oraz
X
a
i
·
v
i
=
a
i
1
·
v
i
1
+
...
+
a
i
n
·
v
i
n
=
.
i
2
I
Przekształcaj¡cotrzymujemy
a
i
k
·
v
i
1
+
...
+
−
a
i
k
−
1
a
i
k
·
v
i
k
−
1
+
−
a
i
k
+1
a
i
k
·
v
i
k
+1
+
...
+
−
a
i
n
a
i
k
·
v
i
n
=
X
i
2
I
\{
i
k
}
−
a
i
a
i
k
·
v
i
czyli
v
i
k
jestkombinacj¡liniow¡pozostałychwektorówukładu.
(
)Załó»my,»edlapewnego
k
2
I
wektor
v
k
jestkombinacj¡liniow¡
pozostałychwektorówukładu(
v
i
)
i
2
I
.Istniej¡wi¦ctakieskalary
a
i
2
F
,
i
2
I
\{
k
}
,»e
v
k
=
X
i
2
I
\{
k
}
a
i
·
v
i
.
Przyjmuj¡c
a
k
=
−
1
6
=0otrzymujemyst¡d
X
a
i
·
v
i
=
i
2
I
1
v
i
k
=
−
a
i
1
i
niewszystkieskalarys¡równe0.Zatemukład(
v
i
)
i
2
I
jestliniowozale»ny.
Przykład7.3
1
Układ(
v
)jestliniowoniezale»nywtedyitylkowtedy,gdy
v
6
=
—wynikatozestwierdzenia5.4(1).
2
Układzawieraj¡cywektor
jestliniowozale»ny.
Istotnie,je»eli
v
k
=
dlapewnego
k
2
I
to,kład¡c
a
k
=1oraz
a
i
=0
dla
i
6
=
k
,otrzymujemy
X
a
i
·
v
i
=
X
i
2
I
\{
k
}
0
·
v
i
+1
·
=
,
i
2
I
cowrazz
a
k
=1
6
=0dajezale»no±¢układu(
v
i
)
i
2
I
.
3
Układzawieraj¡cydwawektoryrównejestliniowozale»ny.
Istotnie,wystarczywybra¢współczynniki1
,
−
1
2
F
przydwóchrównych
wektorachi0przypozostałychorazskorzysta¢zestwierdzenia5.4.(2).
4
Dwawektory
u,v
2
V
s¡
równoległe
,cozapisujemy
u
k
v
,je»eliktóry±
znichjestiloczynemdrugiegoprzezskalar.
Układ(
u,v
)jestliniowozale»nywtedyitylkowtedy,gdy
u
k
v
.
Istotnie,je»eliukładjestliniowozale»ny,toistniej¡
a,b
2
F
,nierówne
jednocze±nie0,spełniaj¡cewarunek
a
·
u
+
b
·
v
=
.Je»eli
a
6
=0,to
u
=
−
b
a
·
v
,
awi¦c
u
k
v
.Analogiczniedla
b
6
=0.
Naodwrót,je»eliistnieje
c
2
F
takie,»e
u
=
c
·
v
,to(
−
1)
·
u
+
c
·
v
=
oraz
−
1
6
=0,sk¡dukład(
u,v
)jestliniowozale»ny.
Przykład7.4
1
Wprzestrzeni
F
n
okre±lmywektory
e
i
=(0
,...,
0
,
1
|{z}
i
,
0
,...,
0)
, i
=1
,...,n
.Układ(
e
1
,...,e
n
)jestliniowoniezale»ny.
2
Wprzestrzeni
F
[
x
]układ(
x
n
)
n
2
N
[{
0
}
=(1
,x,x
2
,x
3
,...
)jestliniowo
niezale»ny.
3
Wprzestrzeni
C
([0
,
2
])układ(1
,
sin
x,
sin2
x,
sin3
x,...
)jestliniowo
niezale»ny.
Stwierdzenie7.5
1.Podukładukładuliniowoniezale»negojestukła-
demliniowoniezale»nym.
2.Nadukładukładuliniowozale»negojestukłademliniowozale»nym.
3.Ka»dyukładliniowozale»nyzawierasko«czonypodukładliniowoza-
le»ny.
Dowód:
2
1.Niech
J
I
.Podukład(
v
i
)
i
2
J
układuliniowoniezale»nego(
v
i
)
i
2
I
jest
jestliniowoniezale»ny.
Istotnie,niech(
a
i
)
i
2
J
b¦dzietakimukłademskalarówzciała
F
(prawie
i
2
I
\
J
otrzymujemy
P
i
2
I
a
i
·
v
i
=
.Namocyniezale»no±ciukładu
(
v
i
)
i
2
I
otrzymujemy,»e
a
i
=0dlawszystkich
i
2
I
,awi¦ctak»etych
zezbioru
J
.
2.Niech
J
I
.Nadukład(
v
i
)
i
2
J
układuliniowozale»nego(
v
i
)
i
2
I
jest
jestliniowozale»ny.
Istotnie,zestwierdzenia7.2istnieje
k
2
I
b¦dzietakie,»e
v
k
jest
kombinacj¡liniow¡układu(
v
i
)
i
2
I
\{
k
}
Uzupełniaj¡ct¦kombinacj¦do
kombinacjiliniowejukładu(
v
i
)
i
2
J
\{
k
}
poprzezprzyj¦cie
a
i
=0dla
i
2
J
\
I
widzimy,»e
v
k
jestkombinacj¡liniow¡układu(
v
i
)
i
2
J
\{
k
}
.Na
mocystwiedzenia7.2układ(
v
i
)
i
2
J
jestwi¦cliniowozale»ny.
3.Je»eliukładjestliniowozale»ny,tojedenzjegowektorówmo»naprzed-
stawi¢wpostacikombinacjiliniowejpozostałych.Budujemypodukład
danegoukładubior¡ctenustalonywektoritylkotezpozostałych,przy
którychwspółczynnikizciała
F
s¡ró»neodzera.Jestichsko«czenie
wiele(definicjakombinacjiliniowej),atakotrzymanyukładjestlinio-
wozale»ny,bonadaljedenzjegowektorówjestkombinacj¡liniow¡
pozostałych.
3
wszystkichrównych0),»e
P
i
2
J
a
i
·
v
i
=
.Przyjmuj¡c
a
i
=0dla
Plik z chomika:
sandra.kubiak1
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Camera
E-booki
Encyklopedie komputerowe
Filmy
GPS
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin