Fizyka - wykł.9 Ruch harmoniczny, fale (M. Krasiński).pdf - Fizyka Teoria - mcz2

Wykład9

FizykaI(Informatyka2005/06)

06122005

c MariuszKrasi«ski2005

Spistre±ci

1Ruchharmonicznywymuszonyc.d. 1

1.1Dynamicznyeliminatordrga«...................................... 1

2FALE 2

2.1Dwajw¦dkarze.............................................. 2

2.2Równaniefali............................................... 3

2.3Pr¦dko±¢fazowa............................................. 4

3Falastoj¡ca 4

3.1Falestoj¡cenastrunie.......................................... 6

3.2Falestoj¡cenawodzie.......................................... 6

3.2.1Sejsze............................................... 7

3.2.2Falastoj¡caaprzypływy..................................... 7

3.2.3Tsunami.............................................. 7

4Pr¦dko±¢grupowa

UWAGA!Cz¦±¢rysunkówwymagawłasnor¦cznegodopisaniaoznacze«!

1Ruchharmonicznywymuszonyc.d.

1.1Dynamicznyeliminatordrga«

Równaniaruchudlaukładupowy»ejmaj¡posta¢:

2FALE

m 1 a 1 =−k 1 x 1 +k 2 (x 2 −x 1 )+F 0 cos(!t) (1)

m 2 a 2 =−k 2 (x 2 −x 1 ) (2)

Rozwi¡zanieukładurówna«(1),(2)przedstawionoponi»ej

Dodajopisynawykładzie

2FALE

2.1Dwajw¦dkarze

(dopiszoznaczenia)

Drgania¹ródłaopisujerównanie

y(x=0,t)=Acos(!t) (3)

Corejestrujeobserwator?

y(x,t)=?

Drganiawmiejscugdziestoiobserwatormo»naopisa¢przypomocyrównania(3)aledlaobserwatoramusimy

wrównaniu(3)zamieni¢czas(dlaczego?)

t!t−t

(4)

otrzymuj¡cwychyleniewpunkcieowspółrz¦dnejxrówne

y(x,t)=Acos[!(t−t)] (5)

gdzie

t= x

(6)

Podstawiaj¡c(6)do(5)otrzymamywi¦crównaniedrga«wmiejscuxgdziestoiobserwator

t− x

!t−! x

y(x,t)=Acos

=Acos

(7)

2FALE

Poniewa»

v =

v = 2

vT = 2

torównanie(7)przyjmujeostateczn¡posta¢

y(x,t)=Acos

!t− 2

=Acos(!t−kx) (8)

gdzie

k= 2

(9)

nazywamyliczb¡falow¡

2.2Równaniefali

Liczymypochodnecz¡stkowewychyleniaywzgl¦dem

•poło»eniax

@x = @

@x (Acos(!t−kx))=Aksin(!t−kx)

@x 2 = @

@x (Aksin(!t−kx))=−Ak 2 cos(!t−kx)=−k 2 y (10)

•orazczasut

@t = @

@t (Acos(!t−kx))=−A!sin(!t−kx)

@t (−A!sin(!t−kx))=−A! 2 cos(!t−kx)=−! 2 y (11)

Przyrównuj¡cwychylenieywyliczonezrówna«(10)i(11)otrzymujemy

@t 2 = @

@ 2 y

@x 2

k 2 = @ 2 y

! 2

@t 2

albozapisuj¡cinaczej

@x 2 = k 2

@ 2 y

@t 2

(12)

! 2

gdzie

" 2

2 T

# 2

k 2

! 2 =

= 1

v 2

(13)

Ostateczniewi¦crównanie(12)przyjmujeposta¢

@x 2 = 1

@ 2 y

@t 2

(14)

v 2

Wtrzechwymiarachrównanie(14)maposta¢

@x 2 + @ 2 U

@y 2 + @ 2 U

@z 2 = 1

@ 2 U

@t 2

(15)

v 2

gdziewychylenieoznaczonojakoUdlaunikni¦ciapomyłkizewspółrz¦dn¡y.

Równanie(15)mo»nazapisa¢wbardziejzwartejpostaci

r 2 U= 1

v 2

@ 2 U

@t 2

(16)

@ 2 y

@ 2 U

3FALASTOJCA

gdziewyra»enie

@x 2 + @ 2

@y 2 + @ 2

@z 2

nazywasi¦operatoremLaplace’aalbolaplasjanem

Rozwi¡zanierównaniafalowego(16)wtrzechwymiarach,wprzypadkufalipłaskiej,maposta¢

U(~r)=Acos(!t− ~ k·~r) (17)

gdzie ~ knazywasi¦wektoremfalowym.

2.3Pr¦dko±¢fazowa

Chcemydowiedzie¢si¦jakprzemieszczasi¦fazafali

y=Acos(!t−kx)

Jakocharakterystycznypunktwybieramyjedenzgrzbietów

k t

Je±litro±nietoxte»ro±nie-czylifalaporuszasi¦zgodniezkierunkiemosix(wtymprzypadkuwprawo).

Wielko±¢

y=max)cos(!t−kx)=1)!t−kx=0)x= !

v f = !

jestpr¦dko±ci¡przemieszczaniasi¦fazyczylipr¦dko±ci¡fazow¡.

Analogiczniemo»emypokaza¢,»erównanie

y=Acos(!t+kx)

opisujefal¦,któraporuszasi¦przeciwniedokierunkuosix(wtymprzypadkuwlewo).

Jesttak,poniewa»dlagrzbietufalizachodz¡relacje

y=max)cos(!t+kx)=1)!t+kx=0)x=− !

k t

3Falastoj¡ca

(dodajopisy!)

Cosi¦staniekiedywpewnymmiejscu,owspółrz¦dnejxspotkaj¡si¦dwieidentycznefale,biegn¡cezprzeciwnych

stron?

Faleteopisujemyrównaniami

y 1 (x,t)=Acos(!t−kx) (18)

r 2 = @ 2

3FALASTOJCA

y 2 (x,t)=Acos(!t+kx) (19)

Dodaj¡cdrganiawywołaneprzezfale(18)i(19)wdowolnympunkciexotrzymujemy

y w (x,t)=y 1 (x,t)+y 2 (x,t)=Acos(!t−kx)+Acos(!t+kx)

y w (x,t)=2Acos

!t−kx+!t+kx

cos

!t−kx−!t−kx

iostatecznie

y w (x,t)=2Acos(!t)cos(−kx)=[2Acos(kx)]cos(!t) (20)

Wyra»eniewnawiasiekwadratowymrównania(20)

A 0 (x)=2Acos(kx)

zale»ywył¡cznieodpoło»enia(x)anieodczasu(t)!Jesttowi¦camplitudadrga«wypadkowych,zale»naod

poło»enia.Wychyleniewdowolnympunkciexmo»nawi¦copisa¢równaniem

y w (x,t)=A 0 (x)cos(!t)

AmplitudaA 0 (x)mo»e,naprzykład,wniektórychpunktachby¢zawszerównazero

A 0 (x)=0=2Acos(kx)

Jesttakdlapunktówowspółrzednychspełniaj¡cychwarunek

kx N =(2N+1)

(21)

k= 2

wi¦cwykorzystuj¡cpowy»sz¡zale»no±¢wrównaniu(21)otrzymamy»eamplitudadrga«b¦dzierównazerow

miejscach,którychwspółrz¦dnex N spełniaj¡zale»no±¢

x N =(2N+1)

czyli

x N =(2N+1)

(22)

Odległo±¢mi¦dzydwomakolejnymi(N,N+1)takimipunktami,zgodniez(22),wynosi

x N+1 −x N =[2(N+1)+1]

4 −(2N+1)

4 =

(23)

Interpretacjanawykładzie

dopiszoznaczenia!

gdzieNjestliczb¡naturaln¡.

Poniewa»z(9)wiemy,»e

Fizyka - wykł.9 Ruch harmoniczny, fale (M. Krasiński).pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: