obwody RLC.pdf

(354 KB) Pobierz
Uk³ady z³o¿one z elementów biernych
9
WYKŁAD 2
Układy złożone z elementów biernych
Bierne elementy elektroniczne to :
opór R:
u =
(
t
)
Ri
(
t
)
indukcyjność L:
u
( =
t
)
L
di
(
t
)
dt
i pojemność C:
u
(
t
)
=
q
=
1
∫
i
(
t
)
dt
C
C
Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze
źródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część
rzeczywistą wyrażenia: u(t)=U 0 e j ω t , gdzie U 0 oznacza amplitudę napięcia , a ω =2 πν -
częstotliwość kołową
1 . Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać:
i(t)=I 0 e j ω t .
R
~
u(t)
L
C
Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :
u
(
t
)
=
Ri
(
t
)
+
L
di
(
t
)
+
∫
i
(
t
)
dt
dt
C
Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I 0
otrzymujemy:
U 0 ==+
I
ZRjL jC
ω
+
ω
o
Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w
niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z R =R , indukcyjności: Z L =j ω L
oraz pojemności: Z C =1/j ω C. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla
prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują
prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może
4706970.017.png
 
10
być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu
impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową : Z W = Z 1 +Z 2 +...+Z n , analogiczny
jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji :
1/Z W =1/Z 1 +1/Z 2 +...+1/Z n .
Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek
reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego ϕ między
napięciem i natężeniem.
Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej :
Z
Im(Z)
Rezystancja opisuje zdolność obwodu do
zamiany energii elektrycznej na ciepło: = 1 2 0
I R
2
,
φ
Re(Z)
natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do
magazynowania energii elektrycznej, odpowiednio: E
C = 1 2
u t
( ) - w polu elektrycznym
2
pojemności oraz E
L = 1 2
Li t
() w polu magnetycznym indukcyjności.
2
Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne.
Rzeczywiste konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości
pasożytnicze oznaczone na rysunku poniżej indeksem p:
opór R
R
⇒
opornik
indukcyjność L
L p
C p
R p
⇒
cewka
L
C p
pojemność C
R d
⇒
kondensator
R p
L p
C
- a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości
pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.
1 Tutaj
oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
j =−1
4706970.018.png 4706970.019.png
11
Obwód drgający
Rozważmy obwód złożony z szeregowo połączonych: indukcyjności, pojemności i
oporu. Kondensator został naładowany do napięcia
U C0 , po czym zamknięto wyłącznik. Ruch ładunku w
obwodzie opisuje równanie :
R
∫ i
(
)
dt
Ri
(
t
)
+
L
di
(
t
)
+
=
0
,
dt
C
L
które łatwo można przekształcić w liniowe równanie
różniczkowe drugiego stopnia :
C
d
2
i
(
2
t
)
di
(
t
)
1
L
+
R
+
i
(
t
)
=
0
.
dt
dt
C
Zakładamy, że rozwiązanie ma postać wykładniczą :
. Podstawiając je do powyższego równania różniczkowego otrzymujemy
równanie algebraiczne:
α
L
αα
2
++=0 , którego pierwiastki mają wartość:
R C
1
=− RR 4
+ − LC
L
2
RR LC
L
− −
2
4
α 1
oraz α 2
=−
. Rozwiązanie równania ruchu
2
2
ładunku w obwodzie jest kombinacją liniową
rozwiązań z α 1 i α 2 :
natężenie [mA]
,
przy czym wartości amplitud A 1 i A 2 możemy
wyznaczyć z warunków początkowych :
i
it Ae
()
= +
α
1
t
Ae
α
2
t
Układ antyoscylacyjny
L=2 mH, C=1 nF, R=5kΩ
U C0 =5 V
1
2
1
00 1
== + ⇒ =− ,
A A
2
,
A
1
A 2
0.5
di
dt
U
U
= + =
Ri
LA
( )
αα
− ⇒=
,
A
C
0
C
0
11 2
1
L
( )
αα
−
t
=
0
1
2
0
Przypadki :
0
2
4
6
8
10
• Jeżeli RL
jest liczbą
rzeczywistą i rozwiązania mają charakter
dwuwykładniczy :
2
4≥ , wtedy RLC
2
−
4
czas [ µ s]
ti =
(
)
A
(
e
α −
1
t
e
α
2
t
)
, a więc po
natężenie [mA]
Układ drgający :
L=2 mH, C=1 nF, R=300 Ω
U C0 =5 V
wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika .
2
• Gdy RL
2 4− C jest liczbą
urojoną i rozwiązania mają charakter oscylacyjny
2
4< , wtedy RL
0
U
−
R
t
:
i
(
t
)
=
C
0
e
2
L
sin(
ω
t
)
2 , gdzie częstotliwość
-2
L
ω
x
x
1
R
2
0
10
20
30
oscylacji
ω
=
−
.
czas [ µ s]
x
LC
4
L
2
e
jx
−
e
−
jx
2 Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości :
sin
x
=
.
2
j
()=
it Ae t
()
4706970.001.png 4706970.002.png 4706970.003.png 4706970.004.png
12
• W szczególnym przypadku, gdy R=0 otrzymujemy drgania niegasnące [ 3] :
it U CL
()
=
C
0
sin( )
ω 0
t
, gdzie częstotliwość oscylacji : ω 0
= LC .
Filtr rezonansowy szeregowy.
Obecnie będziemy analizowali pracę
szeregowego układu RLC, do którego dołączono
napięciowe źródło sygnału przemiennego o
częstotliwości ω. Ze wzoru na dzielnik napięcia
otrzymujemy napięcie na poszczególnych elementach :
C
L
u we (t)
u
we
(
)
R
u wy (t)
j
ω
1
C
jLu t
Rj L
ω
ω
()
u
(
t
)
=
,
ut
()
=
we
,
C
R
+
j
ω
L
+
L
++
1
j
ω
C
jC
ω
u
(
t
)
=
u
(
t
)
=
Ru
we
(
t
)
WY
R
R
+
j
ω 1
L
+
j
ω
C
Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (tzw. transmitancja układu )
wynosi:
U
wy
=
R
,
( ) 2
U
U WY /U WE
we
R
2
+
ω −
L
1
ω
C
L = 2 mH, C = 1 nF
1,
a przesunięcie fazowe między sygnałem
wejściowym i wyjściowym :
R=50 Ω
0, 8
R=300 Ω
12
/
ω
2
LC
−
1
0,6
ϕ
=
arctan
ω
RC
0,4
Układ ten nazywany jest filtrem
rezonansowym szeregowym. Pasmo jego
przepuszczania zlokalizowane jest w okolicach
częstotliwości ω 0
0,2
0,0
= LC .
10
3
10
4
ν g1
1 0 5
ν g2
1 0
6
10
7
10 8
częstotliwosc [Hz]
Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od
ν g1 do ν g2 ,, nazywanych częstościami
granicznymi. Dla częstości granicznych
zachodzi równość :
faza [rad]
-
π/2
- π /4
UU
wy
we = 12 , oraz : ϕ= 4 .
L=2 mH, C=1 nF
π /4
R=300 Ω
R=50 Ω
π/2
10 3
10 4
ν g1
10 5
ν g2
10 6
10 7
częstotliwość [Hz]
[ 3 ] Ponieważ w rzeczywistym obwodzie zawsze występuje dodatnia rezystancja (np.
pasożytnicza), aby uzyskać R=0 do obwodu należy wprowadzić rezystancję ujemną, którą jest
np. wzmacniacz albo inny odpowiedni element elektroniczny.
t
4706970.005.png 4706970.006.png 4706970.007.png 4706970.008.png 4706970.009.png 4706970.010.png 4706970.011.png 4706970.012.png
13
Dla częstotliwości ω 0
= / LC moduły napięć na poszczególnych elementach obwodu mają
1
odpowiednio wartości :
U
C =
U
R
L
C
,
U
L =
U
R
0
L
C
,
U R =U 0 .
a impedancja obwodu wynosi R . Dla tej częstotliwości znika łączna impedancja elementów
reaktancyjnych, a napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne.
Zjawisko to nosi nazwę rezonansu, a ω 0 to częstotliwość rezonansowa . W rezonansie
amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia
wejściowego. Wielkość:
Q
===
0
U
U
L
U
UR
C
1
L
C
,
0
nazywana jest dobrocią obwodu 4 . Inna postać dobroci :
U
U
j L
R
ω π
2
1 2 0
IL
IR T
2
2
π
E
P
Q
== = =
0
L
0
L
T
1 2 0
2
Ogólna definicja : Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie
rezonansowym (E L ) do mocy traconej w nim ( P) w ciągu jednego okresu drgań (T) .
Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o
wysokiej dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji
i transformowania sygnałów o określonej częstotliwości.
Filtr rezonansowy równoległy :
1
−
1
R
jC
+
jL
ω
u(t)
wy () ()
=
−
1
1
C
L
u wy (t)
Rj C jL
+ +
ω
ω
Dla częstotliwości rezonansowej ω 0
= / LC
1
napięcie wyjściowe osiąga wartość minimalną.
.
4 Wykazać (to co widać na rysunkach na poprzedniej stronie), że Q=ω 0 /∆ω, gdzie ∆ω jest
szerokością połówkową charakterystyki układu rezonansowego, czyli funkcji
f(ω)=|u C (ω,t)/u(ω,t)|.
0
ω
ut ut
4706970.013.png 4706970.014.png 4706970.015.png 4706970.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin