opisane poziomy kwantowe!.pdf

FIZYKA

KWANTOWA

iwiedza 2007

Fizyka statystyczna. Joanna ROPKA, Bartłomiej WRÓBEL http://www.ftj.agh.edu.pl/~wolny/

1. Promieniowanie termiczne. Katastrofa w nadfiolecie.

Promieniowanie wysyłane przez ciało ogrzane do pewnej temperatury

nazywane jest promieniowaniem termicznym (cieplnym lub temperaturowym) .

Wszystkie ciała emitują takie promieniowanie do swojego otoczenia, a także z tego otoczenia je

absorbują. Jeśli na początku ciało ma wyższą temperaturę niż jego otoczenie, ciało to będzie się

oziębiać, ponieważ szybkość wypromieniowywania przez nie energii będzie przewyższała szybkość

jej absorpcji. Gdy zostanie osiągnięta równowaga termodynamiczna, wtedy szybkość emisji będzie

równa szybkości absorpcji.

Materia w stanie skondensowanym (ciała stałe, ciecze) emituje promieniowanie o widmie ciągłym.

Szczegóły tego widma są prawie niezależne od rodzaju substancji, z której zbudowane jest ciało,

natomiast zależą one silnie od temperatury ciała. W zwykłych temperaturach większość ciał jest dla

nas widoczna nie dlatego, że ciała te wysyłają światło, ale dlatego, że je odbijają lub rozpraszają.

Jeśli na takie ciało nie pada światło, to jest ono niewidoczne. Jednak gdy ciała mają wysoką

temperaturę, wtedy świecą własnym światłem. Możemy je widzieć, jak się żarzą w ciemnym pokoju.

Ale nawet w temperaturach tak wysokich jak kilka tysięcy kelwinów ogromna część, bo ponad 90%

emitowanego promieniowania cieplnego jest dla nas niewidzialna, należy ona bowiem do obszaru

widma promieniowania elektromagnetycznego zwanego podczerwienią. Dlatego też ciała, które

świecą własnym światłem muszą być bardzo gorące.

Szczegółowa postać widma promieniowania termicznego wysyłanego przez gorące ciało zależy w

pewnym stopniu od składu tego ciała. Z doświadczeń wynika, że istnieje klasa rozgrzanych ciał, które

emitują promieniowanie o widmie mającym charakter uniwersalny.

Są one nazywane ciałami doskonale czarnymi, tzn. ciałami, których powierzchnie absorbują

całe promieniowanie nań padające.

Nazwa taka wydaje się bardzo odpowiednia, ponieważ ciała te nie odbijają światła i wobec tego

można je uznać za czarne (nie należy mylić z ciałami o kolorze czarnym).

Jak w praktyce realizujemy ciała doskonale czarne? Robi się pudło z bardzo małym otworkiem i

wnętrze tego pudła pokrywa się sadzą (sadza ma bardzo dobre własności pochłaniania

promieniowania). Wówczas promieniowanie wpadające w ten otworek odbija się wielokrotnie od

powierzchni wewnętrznej pudła, a ponieważ ma ona bardzo mały współczynnik odbicia, więc po

kilkunastu odbiciach promieniowanie zostaje zaabsorbowane przez pudło.

Dla metalowego pudła wyścielonego sadzą, obserwuje się otwór i mierzy rozkład widmowy

promieniowania, który jest jednakowy dla wszystkich ciał doskonale czarnych. Nie zależy ono ani od

składu chemicznego, ani od wymiarów geometrycznych. Fakt ten można wyjaśnić opierając się na

klasycznych rozważaniach równowagi termodynamicznej. Jednakże na gruncie samych tylko

rozważań termodynamicznych nie można wyznaczyć dokładnego kształtu krzywej opisującej widmo

promieniowania.

Rozkład widmowy promieniowania ciała doskonale czarnego charakteryzuje funkcja

zwana zdolnością emisyjną ciała, zdefiniowana w ten sposób, że wielkość jest równa

energii promieniowania o częstotliwości leżącej w przedziale od do , wysyłanego w

ciągu jednostki czasu przez jednostkę powierzchni ciała mającego temperaturę bezwzględną

T .

Otrzymaną doświadczalnie zależność

od oraz od T przedstawia rysunek 1.:

Fizyka statystyczna. Joanna ROPKA, Bartłomiej WRÓBEL http://www.ftj.agh.edu.pl/~wolny/

rysunek 1.

Całka ze zdolności emisyjnej po wszystkich częstotliwościach jest równa całkowitej energii

wyemitowanej w ciągu jednostki czasu z jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego o

temperaturze T . Jest ona zwana całkowitą zdolnością emisyjną R T :

Ze wzrostem temperatury wielkość R T gwałtownie wzrasta. Stanowi to treść prawa Stefana :

gdzie ( = 5,6710 -8 W/m 2 K 4 ) jest stałą Stefana - Boltzmanna .

Ze wzrostem temperatury T widmo promieniowania ulega przesunięciu w stronę krótszych długości

fali. Fakt ten wyraża prawo przesunięć Wiena

gdzie C = 2898

jest długością fali, dla której

ma w danej temperaturze T wartość

maksymalną.

Wszystkie podane wyżej stwierdzenia pozostają w zgodzie z prostymi faktami doświadczalnymi

omawianymi uprzednio, a mianowicie gdy temperatura ciała wzrasta, wtedy ilość emitowanego

promieniowania gwałtownie wzrasta, a długość fali promieniowania odpowiadająca maksymalnej

zdolności emisyjnej - maleje (kolor rozgrzewanych przedmiotów zmienia się od czerwonego do

niebiesko-białego).

Fizyka statystyczna. Joanna ROPKA, Bartłomiej WRÓBEL http://www.ftj.agh.edu.pl/~wolny/

Klasyczna teoria promieniowania ciała doskonale czarnego.

Rozważmy pudło (ciało doskonale czarne) emitujące promieniowanie. Fale elektromagnetyczne są

falami poprzecznymi. Wektor pola elektrycznego E jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali,

a ponieważ kierunek rozchodzenia się rozważanej składowej jest prostopadły do odbijającej ścianki,

więc wektor E jest równoległy do tej ścianki. Na powierzchni metalowej ścianki nie może jednak

występować równoległe do niej pole elektryczne, bowiem ładunki elektryczne zawsze mogą

przemieścić się w taki sposób, że zneutralizują to pole. Dlatego też, w przypadku rozważanej

składowej promieniowania, wartość E na ściance x = 0 musi być zawsze równa zeru. Fala stojąca w

płaszczyźnie prostopadłej do x musi zatem mieć węzeł na tej ściance. Fala ta musi także mieć węzeł

na powierzchni x = a . Podobne rozważania stosują się także do pozostałych dwóch kierunków.

Warunki te nakładają ograniczenia na możliwe długości fal, a więc i na częstotliwości promieniowania

elektromagnetycznego zawartego we wnęce.

Spróbujmy podejść do zagadnienia w taki sposób, na jaki pozwalał poziom wiedzy pod koniec XIX w.

Dobrze była wówczas rozwinięta termodynamika, znano równania stanu gazu oraz sposób

opisywania układów termodynamicznych. Zastosujmy tę wiedzę dla opisania gazu, którym jest gaz

fotonów.

Należy tu jeszcze przypomnieć

zasadę ekwipartycji energii, która mówi, że na każdy składnik energii zależny od kwadratu

pędu i położenia przypada kT //2 energii

( k - stała Boltzmanna). Każda fala stojąca niesie ze sobą średnią energię: . Żeby policzyć całą

energię emisyjną musimy pomnożyć energię jednej fali przez liczbę fal, które mogą w takim pudle

powstać. Innymi słowy musimy uwzględnić gęstość promieniowania.

Rozważmy najpierw jedynie samą składową x , tzn. przeanalizujemy uproszczony, nie mający

odpowiednika w rzeczywistości przypadek jednowymiarowej wnęki o długości a .

Ponieważ we wnęce powstają fale stojące, więc musi być spełniony warunek

Na ten obszar przypada 1 stan, ale fale elektromagnetyczne mogą mieć dwa kierunki polaryzacji,

czyli w tym obszarze realizowane są dwie fale. Zatem gęstość stanów

Rozpatrzmy rezonator trójwymiarowy. Aby policzyć gęstość stanów dla danej częstotliwości, należy

skonstruować w przestrzeni wektora falowego powierzchnie stałej energii, którą jest sfera o promieniu

. Jeden stan przypada na odległość c /2 a w przestrzeni jednowymiarowej, więc w przestrzeni

trójwymiarowej będzie to ( c /2 a ) 3 . Wraz z objętością sfery określonej dla dodatnich , daje to:

tyle drgań może się zrealizować w pudle rezonansowym o wymiarze a.

Fizyka statystyczna. Joanna ROPKA, Bartłomiej WRÓBEL http://www.ftj.agh.edu.pl/~wolny/

Zdolność emisyjna na jednostkę objętości T

Jest to wzór Rayleigha - Jeansa dla promieniowania ciała doskonale czarnego.

Wzór ten poprawnie opisuje wartości eksperymentalne tylko dla małych .

Zasadniczo jednak nie zgadza się z eksperymentem. Fakt ten nazwano "katastrofą w

nadfiolecie", gdyż ciała wypromieniowałyby całą energię w zakresie nadfioletu.

Teoria Plancka promieniowania we wnęce.

Planck stwierdził, że w przypadku promieniowania ciała doskonale czarnego średnia energia fal

stojących jest funkcją częstotliwości. Stwierdzenie to było w jawnej sprzeczności z prawem

ekwipartycji energii, które średniej energii przypisuje wartość niezależną od częstotliwości.

Na podstawie obliczeń dla oscylatorów Planck oszacował, że do opisu promieniowania należy brać

układ o wartościach energii odpowiednio skwantowanych, a nie ciągłych. Odkrył, że dla małej różnicy

między kolejnymi wartościami energii otrzymuje się , natomiast dla dużego wartość

średnia energii . Ponieważ pierwszy z tych wyników był potrzebny dla małych częstotliwości, a

drugi dla dużych, więc Planck musiał przyjąć, że jest rosnącą funkcją :

gdzie h = 6,6310 -34 Js jest stałą Plancka.

Wyrażenie na , które uzyskał Planck to:

Ponieważ

(dla

), więc w granicy

tej

;

z kolei

dla

czyli wyniki pokrywają się z

obserwacjami.

Wyrażenie na gęstość energii promieniowania ciała doskonale czarnego, otrzymane przez Plancka i

zwane wzorem Plancka na rozkład widmowy promieniowania ciała doskonale czarnego, ma

postać :

Wielki wkład Plancka do teorii zjawisk fizycznych można przedstawić w postaci następującego

postulatu:

Dowolny obiekt fizyczny o jednym stopniu swobody, którego "współrzędna" jest sinusoidalną

funkcją czasu (a więc wykonuje proste drgania harmoniczne), może mieć tylko taką energię

całkowitą, która spełnia związek

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: