Badanie funkcji
1. Monotoniczność funkcji
R – zbiór liczb rzeczywistych
Definicje
Funkcja f(x) rosnąca lub malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją monotoniczną na A.
Funkcja f(x) ściśle rosnąca lub ściśle malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją ściśle monotoniczną na A.
Twierdzenie (warunek wystarczający)
· Jeżeli f¢ (x) > 0 dla każdego x Î (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle rosnąca w tym przedziale.
· Jeżeli f¢ (x) < 0 dla każdego x Î (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle malejąca w tym przedziale.
Przykład
f(x) = x3+3x2-7
f¢ (x) =3x2 +6x =3x(x+2)
f¢ (x) =0 dla x=0 lub x=-2
f¢ (x) > 0 dla x Î (-¥, -2) È (0, +¥) –
funkcja jest ściśle rosnąca
f¢ (x) < 0 dla x Î (-2, 0) –
funkcja jest ściśle malejąca
2. Ekstremum lokalne
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0, d), że dla " x Î S jest spełniona nierówność:
f(x) £ f(x0)
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0, d) że dla " x Î S(x0, d) jest spełniona nierówność:
f(x) ³ f(x0)
Maksimum i minimum lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Ekstremum jest nazywane właściwym, gdy zamiast nierówności nieostrej jest spełniona jest nierówność mocna, tzn.:
f (x) < f (x0)
w przypadku maksimum właściwego, oraz
f (x) > f (x0)
w przypadku minimum właściwego.
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Twierdzenie (Fermata).
Jeżeli funkcja różniczkowalna f(x) ma w punkcie x0 ekstremum, to f ¢(x0) =0.
Przykład 1.
f(x) = x5
f ¢(x) = 5x4
f ¢(x)=0 Þ x=0
Ale w punkcie x0 =0 funkcja f(x) nie ma ekstremum.
Przykład 2.
f(x) = | x|
Pochodna tej funkcji w punkcie x=0 nie istnieje,
ale fmin = 0.
Wniosek 1.
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 i
f ¢(x0) ¹ 0, to funkcja f(x) nie ma w punkcie x0 ekstremum lokalnego.
Wniosek 2.
Funkcja f(x) może mieć ekstremum tylko w punktach, w których pochodna nie istnieje albo jest równa zero.
"x ÎDf dla którego f ¢(x)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f (x), a wszystkie punkty stacjonarne oraz punkty w których pochodna nie istnieje, nazywamy punktami krytycznymi.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum:
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0, jest różniczkowalna na jego sąsiedztwie i pochodna funkcji f (x) zmienia znak w sąsiedztwie tego punktu, to ma ona w tym punkcie x0 ekstremum właściwe i jest to:
· maksimum lokalne, gdy zmienia się znak + na -
· minimum lokalne, gdy zmienia się znak - na +
Jeśli pochodna funkcji f (x) ma stały znak w sąsiedztwie punktu x0, to funkcja f (x) w tym punkcie x0 ekstremum nie posiada.
Przykład 3.
Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:
f(x) = x3 -12x2 +36x +8
1. Df =R
2. f ¢(x) = 3x2 - 24x +36
3. Df ¢ =R
4. f ¢(x) = 0 Þ 3x2 -24x + 36 =0 Þ x2 - 8x + 12 =0
x1 = 2, x2 = 6
5. f ¢(x) > 0 Þ x2 - 8x + 12 > 0 Þ
x Î (-µ, 2) È (6, µ)
6. f ¢(x) < 0 Þ x2 - 8x + 12 < 0 Þ
x Î ( 2, 6)
x
(-µ, 2)
2
( 2, 6)
6
...
kubasrem