ekstrema.pdf

(90 KB) Pobierz
ekstrema.dvi
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwi¡zania zada«
1
autor: mgr in».Agnieszka Herczak
RACHUNEK RÓ›NICZKOWY cz.2.
BADANIE FUNKCJI
1 TROCH† TEORII
1.1 Monotoniczno±¢
Niech funkcja f ( x ) b¦dzie ró»niczkowalna (ma pochodn¡) w przedziale ( a,b ). Je»eli dla
ka»dego x 2 ( a,b ) zachodzi
f 0 ( x )=0, to funkcja jest w tym przedziale stała
f 0 ( x ) > 0, to funkcja jest w tym przedziale rosn¡ca.
f 0 ( x ) < 0, to funkcja jest w tym przedziale malej¡ca.
1.2 Wypukło±¢
Niech funkcja f ( x ) posiada drug¡ pochodn¡ w przedziale ( a,b ). Je»eli dla ka»dego x 2 ( a,b )
zachodzi
f 00 ( x ) > 0, to funkcja jest w tym przedziale wypukła.
f 00 ( x ) < 0, to funkcja jest w tym przedziale wkl¦sła.
1.3 Punkty przegi¦cia
Niech funkcja f ( x ) posiada drug¡ pochodn¡ w przedziale ( a,b ). Funkcja ma punkt przegi¦cia
w punkcie x 0 gdy spełnia podane ni»ej warunki
1. f 00 ( x 0 )=0
2. zmienia w punkcie x 0 wypukło±¢ czyli
albo f 00 ( x ) < 0 dla otoczenia x<x 0 i f 00 ( x ) > 0 dla otoczenia x>x 0 . (rys.1)
albo f 00 ( x ) > 0 dla otoczenia x<x 0 i f 00 ( x ) < 0 dla otoczenia x>x 0 .
Rysunek 1: funkcja f ( x )=3 x 3 , x 0 =0 jest punktem przegi¦cia
659865953.002.png
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwi¡zania zada«
2
1.4 Ekstrema lokalne
Funkcja mo»e mie¢ ekstrema tylko w punktach w których jej pochodna równa si¦ zero albo w
punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
Do badania istnienia ekstremów wykorzystujemy jeden z podanych ni»ej warunków
wystarczaj¡cych.
Pierwszy warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum
Niech funkcja f ( x ) b¦dzie okre±lona na przedziale ( a,b ). Wówczas je»eli
a)
1. f 0 ( x 0 )=0
2. f 0 ( x ) > 0 dla otoczenia x<x 0 i f 0 ( x ) < 0 dla otoczenia x>x 0
to funkcja f ( x ) osi¡ga w punkcie x 0 maksimum lokalne .
Rysunek 2: funkcja z maksimum lokalnym w punkcie x =0
b)
1. f 0 ( x 0 )=0
2. f 0 ( x ) < 0 dla otoczenia x<x 0 i f 0 ( x ) > 0 dla otoczenia x>x 0
to funkcja f ( x ) osi¡ga w punkcie x 0 minimum lokalne .
Drugi warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum
Niech funkcja f ( x ) b¦dzie okre±lona na przedziale ( a,b ). Wówczas je»eli
a)
1. f 0 ( x 0 )=0
2. f 00 ( x 0 ) < 0
to funkcja f ( x ) osi¡ga w punkcie x 0 maksimum lokalne .
b)
1. f 0 ( x 0 )=0
2. f 00 ( x 0 ) > 0
to funkcja f ( x ) osi¡ga w punkcie x 0 minimum lokalne .
2 TROCH† PRZYKŁADÓW
2.1 Przykład - monotoniczno±¢
Zbadaj monotoniczno±¢ funkcji
f ( x )= 2 x 2
x +1
Rozwi¡zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzin¦ funkcji f ( x )
x +1 6 =0, czyli x 6 = − 1.
659865953.003.png
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwi¡zania zada«
3
Krok.2.
Obliczam pochodn¡ funkcji f ( x )
f 0 ( x )= 4 x ( x +1) − 2 x 2 · 1
( x +1) 2
( x +1) 2 = 2 x ( x +2)
( x +1) 2
Krok.3.
Badam kiedy funkcja jest rosn¡ca
f 0 ( x ) > 0 () 2 x ( x +2)
( x +1) 2 > 0
mianownik jest dodatni (bo mamy ( x +1) 2 ), wi¦c mianownik nie ma wpływu na znak
pochodnej, zatem nasza nierówno±¢ przybiera posta¢
2 x ( x +2) > 0
rysuj¦ wykres paraboli y =2 x ( x +2) by rozwi¡za¢ nierowno±¢
Rysunek 3: parabola 2 x ( x +2) ma miejsca zerowe x =0 oraz x = − 2
Zatem f 0 ( x ) > 0 dla x 2 ( −1 ; − 2) _ x 2 (0;+ 1 ), czyli w tych przedziałach funkcja jest
rosn¡ca.
Krok.4.
Badam kiedy funkcja jest malej¡ca korzystaj¡c z powy»szego rysunku
f 0 ( x ) < 0 dla x 2 ( − 2 , 0) , ale uwaga !!! musimy spojrze¢ na dziedzin¦ i wył¡czy¢ z tego
przedziału punkt x = − 1, który nie nale»y do dziedziny.
Zatem f 0 ( x ) < 0 dla x 2 ( − 2 , − 1) _ ( − 1 , 0) czyli w tych przedziałach funkcja jest malej¡ca.
2.2 Przykład - wypukło±¢
Zbadaj wypukło±¢ i znajd¹ punkty przegi¦cia funkcji
f ( x )= 2 x 2
x +1
Rozwi¡zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzin¦ funkcji f ( x )
x +1 6 =0, czyli x 6 = − 1.
Krok.2.
Obliczam pochodn¡ funkcji f ( x )
= 2 x 2 +4 x
659865953.004.png
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwi¡zania zada«
4
f 0 ( x )= 4 x ( x +1) − 2 x 2 · 1
( x +1) 2
( x +1) 2 = 2 x ( x +2)
( x +1) 2
Krok.3.
Obliczam drug¡ pochodn¡ funkcji f ( x ) - druga pochodna funkcji f(x) to pochodna pierwszej
pochodnej ( f 0 ( x )) 0
2 x 2 +4 x
( x +1) 2
!
0
= (4 x +4) · ( x +1) 2 − (2 x 2 +4 x ) · 2( x +1)
( x +1) 4
f 00 ( x )=( f 0 ( x )) 0 =
=
przekształcam licznik do najprostszej postaci, mianownik zostawiam bez zmian poniewa»
odpowiada nam to, »e jest on dodatni i nie b¦dzie miał wpływu na znak drugiej pochodnej
f 00 ( x )= ( x +1)(4( x +1) 2 − 4 x ( x +2))
( x +1) 4
= 4( x +1)
( x +1) 4
Krok.4.
Badam kiedy funkcja jest wypukła tzn. kiedy f 00 ( x ) > 0
( x +1) 4 > 0
jak wcze±niej zauwa»yli±my mianownik jest dodatni, zatem
f 00 ( x ) > 0 () 4( x +1)
f 00 ( x ) > 0 () 4( x +1) > 0
x +1 > 0
x> − 1
zatem dla x> − 1 funkcja jest wypukła.
Krok.5.
Badam kiedy funkcja jest wkl¦sła tzn. kiedy f 00 ( x ) < 0 - korzystam z powy»szych rachunków
( x +1) 4 < 0
f 00 ( x ) < 0 () 4( x +1) < 0 () x< − 1
f 00 ( x ) < 0 () 4( x +1)
zatem dla x< − 1 funkcja jest wkl¦sła.
Krok.6. Szukam punktów przegi¦cia tzn. rozwi¡zuj¦ równanie f 00 ( x )=0
Z powy»szych rachunków wida¢, »e
f 00 ( x )=0 () 4( x +1)=0 () x = − 1
ale punkt x=-1 nie nale»y do dziedziny, wi¦c nie funkcja nie ma punktu przegi¦cia.
2.3 Przykład - punkty przegi¦cia
Znajd¹ punkty przegi¦cia funkcji
f ( x )=3 x 3
Rozwi¡zanie.
Krok.1.Wyznaczam dziedzine i obliczam potrzebne pochodne
D = R, f 0 ( x )=9 x 2
= 2 x 2 +4 x
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwi¡zania zada«
5
f 00 ( x )=18 x
Krok.2.Wyliczam punkt ”podejrzany o bycie punktem przegi¦cia”
f 00 ( x )=0 () 18 x =0 () x =0
krok.3. Sprawdzam co si¦ dzieje z wypukło±ci¡ w otoczeniu znalezionego punktu x 0 =0.
f 00 ( x ) < 0 () 18 x< 0 () x< 0 funkcja wklesla dla x< 0
f 00 ( x ) > 0 () 18 x> 0 () x> 0 funkcja wypukla dla x> 0
Zatem wida¢ i» funkcja zmienia wypukło±¢ w punkcie x 0 =0, st¡d jest onpunktem przegi¦cia.
2.4 Przykład - ekstrema z Pierwszego warunku
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f ( x )= x
x 2 +4
Rozwi¡zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzin¦ funkcji f ( x )
x 2 +4 6 =0 poniewa» x 2 +4 > 0 dla ka»dego x 2 R , zatem dziedzina D = R .
Krok.2.
Obliczam pochodn¡ funkcji f ( x )
f 0 ( x )= x 2 +4 − 2 x 2
( x 2 +4) 2
= 4 − x 2
( x 2 +4) 2
Krok.3.
Szukam punktów ”podejrzanych o ekstremum”
f 0 ( x )=0 ()
( x 2 +4) 2 =0 () 4 − x 2 =0 () ( x 1 =2 _ x 2 = − 2)
Krok.4.
Badam znak pochodnej
f 0 ( x ) < 0 () 4 − x 2 < 0 mianownik nie ma wplywu bo jest dodatni
Rysuje wykres paraboli y =4 − x 2 by rozwiazac nierowno±¢
Rysunek 4: badamy znak pochodnej
Miejsca zerowe x = − 2, x =2, wyznaczaj¡ nam przedziały. Zaznaczam przedziały w których
pochodna f’(x) jest dodatnia (rysuj¦ strzałk¦ w góre na znak »e funkcja f(x) wtedy ro±nie),
4 − x 2
659865953.005.png 659865953.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin