Ćwiczenia z analizy matematycznej.pdf

(791 KB) Pobierz
158027473 UNPDF
WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ–ZADANIA
INDUKCJAMATEMATYCZNA
1.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a)1+2+3+...+n= n(n+1)
2
b)1 2 +2 2 +3 2 +...+n 2 = n(n+1)(2n+1)
6
c)(1+2+3+...+n) 2 = n 2 (n+1) 2
4
d)1 2 −2 2 +3 2 −4 2 +...+(−1) n−1 n 2 =(−1) n−1 n(n+1)
2
e)1·2+2·3+3·4+...+n·(n+1)= n(n+1)(n+2)
g) P n k=1 1
h) P n k=1 1
n+1
i) P n k=1 1
2n+1
(3k−2)(3k+1) = n
1 2 − 1
j) P n k=1 1
k) P n k=1 2k−1=n 2
l) P n k=1 (2k−1) 3 =n 2 (2n 2 −1)
m) P n k=1 (4k−3)=n(2n−1)
n)(1+2+...+n) 2 =1 3 +2 3 +...+n 3
(n+1)(n+2)
2.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a)5|n 5 −n
b)2|n 2 +n
c)19|(5·2 3n−2 +3 3n−1 )
d)30|n 5 −n
e)6|n 3 −n
f)6|n 3 +5n
3.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a) 1 p 1 + 1 p 2 +...+ 1 p n p n
b)2 n >n
c) P n k=2 1 k 2 <1
n
1
n
2
n
n−1
d)(a+b) n =a n +
a n−1 b+
a n−2 b 2 +...+
ab n−1 +b n
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
3
f)2·1 2 +3·2 2 +4·3 2 +...+n(n−1) 2 +(n+1)n 2 = n(n+1)(n+2)(3n+1)
12
k(k+1) = n
(2k−1)(2k+1) = n
3n+1
k(k+1)(k+2) = 1 2
158027473.016.png 158027473.017.png
e)(1+x 1 )(1+x 2 )...(1+x n )1+x 1 +x 2 +...+x n przyzało»eniu:
x 1 ,x 2 ,...,x n 0
Wniosek:nierówno±¢Bernoulliego(1+x) n 1+nx.
f)x 1 +x 2 +...+x n nje±lix 1 ,x 2 ,...,x n >0,x 1 x 2 ...x n =1
Wniosek:
x 1 ,x 2 ,...,x n >0) x 1 +x 2 +...+x n
n p x 1 x 2 ...x n
x 1 + 1 x 2 +...+ 1 x n
g)a n +b n (a+b) n ,a,b0
h)(a+b) n 2 n (a n +b n ),a,b0
i) P 2n k=1 (−1) k+1 k=−n
j)(n+1) n <n n+1 dlan3
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
n n p x 1 x 2 ...x n
x 1 ,x 2 ,...,x n >0) n
1
158027473.018.png
‚ WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ ZADANIA
CI � GILICZBOWE
1.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
a)a n = 3+ p n
1− 3n , b)b n = p n+2− p n, c)c n = 1
p 4 n 2 +3n− 2n , d)d n =
3 n−2 ,
e)e n = q 3n−2
p 1+2n 2 − p 1+4n 2
p
p n 2 +5−n
p
n+10 , f)f n =
n ,g)g n =
n 2 −1−n, h)h n =
n 2 +5+n ,
p
n 2 +n−n , j)j n = (3− p n) 2
5 +4n , k)k n = p 2n− 1− p n+7,l)l n = 1
i)i n =
p n 2 + 6 −n ,
m)m n = p 9n 2 +1−3n,n)n n =
p 3n 2 +5−n
p 4n 2 +9
2n+1 , p)p n = 2+ p n
3n+1 , o)o n =
1−2n .
2.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
a)a n = 4 n− 1 +5
2 2 n −7 ,b)b n = 3 2
n
· 2 n +1 −1
3 n +1 −1 ,c)c n = 5·3 2 n −1
4·9 n +7 ,d)d n = 4·3 n +2 +2·4 n
5·2 n +4 n +2 ,
e)e n = 4−6 n
8 n −16 n ,f)f n = 2 n +(−2) n
2 2 n , g)g n = 1−7·3 2 n
4·9 n +7 ,h)h n = 3 n +5 n
6 n −2 n .
3.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
a)a n = 1+ 1 n
−2n
,b)b n = n 2 +6
n 2
, c)c n = n+5
2n+1
3n+2
, d)d n = 1+ 2 n
n
,
e)e n = 1− 1 n
n
, f)f n = 1+ 1 n 2 n
n 2
,g)g n = n+2
n
, h)h n = 1− 1 n 2 n
,
i)i n = 1− 4 n
−n+4
,j)j n = n 2 +2
n 2
,k)k n = 2n+5
n
3n−4
, l)l n = n 2 +3
2n 2 +5
,
m)m n = n
2n
, n)n n = n−1
2n 2 +1
n
, o)o n = 1+ 4
3n+7
2n 2 −4
,p)p n = 3n+2
n 2 +1
n
.
n−6
n+2
n 2 +3
3n+1
d)d n = n p 2·3 n +4·7 n , e)e n = n p 3n+sinn, f)f n = n q 1 2 n +2n,
5·7 7 +7·5 n , c)c n = n q 1 3 n +n,
g)g n = n p e n +3 n , h)h n = n p
2n+n 2 , i)i n = n p
j)j n = n p 10 n +9 n +8 n , k)k n = n q 1 2 n + 2 3 n + 3 5 n ,l)l n = n p 2 n +(−1) n .
n 2 +5n−10,
5.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
4) p 3n 2 +2n−5−n p 3;5)
n 2 +1 ; 2) 5n 2 +n−3
p n 2 +1+ p n
15n 2 −7 ; 3) p n+2 − p n;
3n+2 ;
7) 3 p
n 3 +5n−n; 8) p n( p n+2− p n);9)( 3n+2
10+n ) 4 ;
n ; 12) 3 p nsin(n!)
n ;
13)(−1) n+1 ( 2 3 ) n ; 14)(− 3 5 ) n ; 15)(− 5 3 ) n ;
16) 3 n +1 +2 n +1
2n−1 ; 11) sinn
3 n +2 n ; 17) 2 n +(−1) n
2 n +1 ; 18) 3·2 2 n +2 −10
5·4 n +4 +3 ;
19)( 3 2 ) n · 2 n +1 −1
3 n +1 −1 ; 20) (−2) n +3 n
(−2) n +1 +3 n +1 ; 21) 2 n +2n!
3 n +5 ;
22) (n+1)!+(n+2)!
n!+(n+3)! .
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
p n 2 +4
4.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
a)a n = n p n +3 n +(3,14) n ,b)b n = n p
n − 3 p n 2 +8 ; 6) 3 q n+1
1) 10000n
10) (−1) n
158027473.019.png 158027473.001.png 158027473.002.png 158027473.003.png 158027473.004.png 158027473.005.png 158027473.006.png
6.Obliczy¢graniceci¡g ó w:
1) n p
2 n +3 n ; 2) n p
4 n +6 n ; 3) n q
3 n +( 1 2 ) n +9 n ; 4) nsin2 n
p n 2 +n ;8) 1+ 5 n n ;
n 2 +1 ;
9) n+9
n
p n 2 +sinn+n ;6) n+sinn
n ; 10) 1− 1 n n ;11) 1− 3 n 2 n ; 12) n
n ; 7) 1
p n 2 +1 + 1
p n 2 +2 + 1
p n 2 +3 +...+ 1
n ;
n 2 +2
2n 2 +1
n
n+1
;14) ln(1+ 6 n )
13)
; 15)n(ln(n+1)−lnn).
1
n
7.Znale„¢punktyskupieniaci¡gu,wskaza¢granicƒg ó rn¡idoln¡:
1)1− 1 n ; 2)(−1) n−1 (2+ 3 n ); 3)1+ n
n+1 cos n 2 ;
4)1+2(−1) n+1 +3(−1) n ( n− 1)
2 ;5){ 1 2 , 1 2 , 1 4 , 3 4 , 1 8 , 7 8 ,..., 1 2 n , 2 n −1
2 n ,...}.
8.Korzystaj¡czde nicjigranicyci¡guwykaza¢,»e:
n+1 =1
b.ci¡ga n ={0,1,0,1,...}niemagranicy
c.ci¡ga n ={(−2) n }niemagranicy
d.lim n!1 ( p n 2 +1−n)=0
e.ci¡ga n ={(−1) n + (−1) n +1
n }niemagranicy
n 3 +1 )=0
g.lim n!1 (−1) n
n =0
h.lim n!1 x n =atolim n!1 |x n |=|a|.Czyimplikacjaprzeciwnajestprawdziwa?
9.Ci¡gi{a n },{b n }okre–lamynastƒpuj¡co:a 1 =a,b 1 =b,a n+1 = a n +b n
2 ,b n+1 = a n +1 +b n
2 .
Pokaza¢,»eje–liobaci¡gis¡zbie»ne,tolim n!1 a n =lim n!1 b n .
10.Wykaza¢,»eje–li{a n }jestci¡giemzbie»nym,tolim n!1 (a n+1 −a n )=0.Czytwierdzenie
odwrotnejestprawdziwe?
11.Czymozliwejest,»e:
•prawiewszystkiewyrazyci¡gus¡mniejszeod3ijestniesko«czeniewielewyraz ó w
ciaguwiƒkszychod4
•prawiewszystkiewyrazyci¡gus¡ujemneijest1000wyraz ó wci¡gudodatnich
•jestniesko«czeniewielewyraz ó wci¡gunieparzystychiniesko«czeniewielewyraz ó w
ciagupodzielnychprzez4
•jestniesko«czeniewielewyraz ó wci¡gu,kt ó res¡liczbamiwymiernymiiprawie
wszystkiewyrazyci¡gus¡postacin p 2,gdzienjestliczb¡naturaln¡?
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
5) 2n
a.lim n!1 n
f.lim n!1 ( 2n
158027473.007.png 158027473.008.png 158027473.009.png 158027473.010.png
 
12.Pokaza¢,»e:
1)lim n!1 n p n=1;
2)lim n!1 1 n p n! =0;
3)lim n!1 a n
n! =0.
13.Pokaza¢,»epodaneci¡gis¡zbie»ne:
q
2+ p 2+...+ p 2;
1)a n =(1+ 1 n ); 2)(1+ 1 2 )(1+ 1 4 )...(1+ 1 2 n );3)
2 + sin2
2 2 +...+ sinn
2 n ;5) cos1!
1·2 + cos2!
2·3 +...+ cosn!
n(n+1) ;6)1+ 1 2 2 + 1 3 2 +...+ 1 n 2 .
14.Korzystaj¡czwarunkuCauchy’egopokaza¢,»enastƒpuj¡ceci¡ginies¡zbie»ne:
1)x k =1+ 1 2 +...+ 1 k ;
2)x n =1+ 1
ln2 + 1
ln3 +...+ 1
lnn .
15.Pokaza¢,»eje–lia n !0orazci¡g{b n }jestograniczony,toa n b n !0.
16.Skonstruowa¢przyk“adci¡gu,kt ó ry:
a)niemapunkt ó wskupienia;
b)madok“adniejedenpunktskupienia,aleniejestzbie»ny;
c)maniesko«czeniewielepunkt ó wskupienia;
d)majakopunktyskupieniawszystkieliczbywymierne(rzeczywiste).
17.Wykaza¢zbie»no–¢iobliczy¢granicƒnastƒpuj¡cychci¡g ó wokre–lonychrekurencyjnie:
a)a 1 = p c,a n+1 = p c+a n ;
b)b 1 =0,b 2 =1,b n = 1 2 (b n−1 +b n−2 ).
3
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
4) sin1
158027473.011.png 158027473.012.png 158027473.013.png 158027473.014.png 158027473.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin