TWIERDZENIE FOURIER’A. Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej i przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach k×f, gdzie f=1/T, natomiast k=1,2,3,..., jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: 1) w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna: ò½f(t)½dt<¥. 2) w każdym przedziale o długości T f-cja f(t) ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów. 3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice: lewostronna i prawostronna. Postać trygonometryczna szeregu Fourier’a: f(t) = A0 + k=1S¥Amk×sin(kw0+ak), gdzie Amk – amplituda k-tej harmonicznej; ak – faza początkowa k-tej harmonicznej. f(t) = C0/2 + k=1S¥(Bksinkw0 + Ckcoskw0); Bk = Amkcosak; Ck = Amksinak; Amk = Ö(Bk2+Ck2); ak = arctg(Ck/Bk).
WŁASNOŚCI FUNKCJI.
Funkcje przemienne: Wartość średnia za okres jest równa zero. 0òTf(t)dt=0; 0òTf(t)dt = (C0/2)T = 0; C0=0. Funkcje przemienne nie posiadają w szeregu Fourier’a składowej stałej. Rys.1.
Funkcje parzyste: f(-t)=f(t); Bk=0, dla k=1,2,3,... .Są to funkcje symetryczne względem osi rzędnych.. Rys.2.
Funkcje nieparzyste: f(-t)=-f(t); C0=0, Ck=0 dla k=1,2,3,... . Jest symetryczna względem początku ukł. współrzędnych. Rys.3.
Funkcje asymetryczne: f(t+T/2) = -f(t). Kształt jest taki sam, ale rzędne różnią się znakiem. C0=0; B2k=0; C2k=0; k=1,3,5,... . Istnieją Bk,Ck dla k=1,3,5,... .Rys.4.
SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW C0, BK I CK W SZEREGU FOURIER’A. C0 = (2/T)0òTf(t)dt; Ck = (2/T)0òTf(t)coskw0tdt dla k=1,2,3,..; Bk = (2/T)0òTf(t)sinkw0tdt dla k=1,2,3,... .
SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW C0, BK I CK W SZEREGU FOURIER’A W ZALEŻNOŚCI OD WŁASNOŚCI FUNKCJI.
1) Funkcja parzysta: Bk=0; Ck = (4/T)0òT/2 f(t)coskw0tdt dla k=1,2,3,...
2) Funkcja nieparzysta: Bk = (4/T)0òT/2 f(t)sinkw0tdt dla k=1,2,3,...; Ck=0.
3) Funkcja asymetryczna: Bk = (4/T)0òT/2 f(t)sinkw0tdt dla k=1,3,5,...; Ck = (4/T)0òT/2 f(t)coskw0tdt dla k=1,3,5,... .
4) Funkcja parzysta asymetryczna: Bk=0; Ck = (8/T)0òT/4 f(t)coskw0tdt dla k=1,3,5,... .
5) Funkcja nieparzysta asymetryczna: Bk = (8/T)0òT/4 f(t)sinkw0tdt dla k=1,3,5,...; Ck=0.
TW. PARSEVALA. Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność: (1/T)0òTf(t)g(t)dt = k=-¥S¥ fk×gk* = k=-¥S¥ fk*×gk.
CHARAKTERYSTYKA ODKSZTAŁCENIA.
1) Współczynnik szczytu: Jest to stosunek wartości maksymalnej do skutecznej: s=Amax/Ask; dla sinusoidy: Ask=Amax/Ö2, s=Ö2; dla prostokąta: Amax=A; Ask=A; s=1.
2) Współczynnik kształtu: Jest to stosunek wartości skutecznej do wartości średniej z modułu: k=Ask/Aśr; dla sinusoidy: Aśr = 2Amax/p; k = (Amax/Ö2)(p/2Amax) = 1,11; dla prostokąta: k = A/A = 1.
3) Współczynnik zawartości harmonicznych: Jest to stosunek wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięci z niego składowej stałej: dla sinusoidy: h=0; dla prostokąta: A0=0; Ask=A; h=0,43.
4) Współczynnik odkształcenia: Jest to stosunek wartości skutecznej I harmonicznej do wartości skutecznej całego przebiegu: k0 = ½A1½/Ask; dla sinusoidy: k0=½A½/½A½=1; dla prostokąta: k0 = 4/pÖ2 = 0,9.
5) Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej: Jest to stosunek wartości skutecznych k-tej harmonicznej do I harmonicznej: hk = ½Ak½/½A1½.
ZASADA SUPERPOZYCJI.
Funkcje wymuszające rozwiniemy w szereg Fouriera, otrzymując dla napięcia u: u=U0+k=1S¥Umk(kw0+juk) oraz dla prądu i: i=I0+k=1S¥Imk(kw0+jik). Uwzględniając skończoną liczbę harmonicznych możemy źródło napięcia u przedstawić w postaci szeregowego połączenia źródeł odpowiadających poszczególnym harmonicznym. Podobnie źródło prądu zastępujemy połączeniem równoległym. W celu obliczenia odpowiedzi obwodu stosujemy zas. superpozycji, pozostawiając w poszczególnych źródłach tylko jedną harmoniczną tego samego rzędu i przyrównując do zera wielkości źródłowe odpowiadające pozostałym harmonicznym. Obliczenia przeprowadzamy kolejno dla harmonicznych wszystkich uwzględnianych rzędów i wyznaczone w ten sposób odpowiedzi chwilowe sumujemy.
WPŁYW INDUKCYJNOŚCI I POJEMNOŚCI NA WYŻSZE HARMONICZNE PRĄDU I NAPIĘCIA. Indukcyjność: Rozpatrzmy cewkę liniową o indukcyjności L: Imk/Im1=(Umk/kw0L)(w0L/Um1) = (Umk/Um1)(1/k), przy czym dla wyższych harmonicznych k>1, a zatem Imk/Im1<Umk/Um1. Indukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia. Pojemność: Rozpatrzmy kondensator liniowy o pojemności C. Imk/Im1=(Umk×kw0C)(Um1×w0C) = k(Umk/Um1)>Umk/Um1. Pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu.
MOC PRĄDÓW ODKSZTAŁCONYCH.
Moc czynna dwójnika równa się sumie mocy wytworzonej przez składowe stałe U0, I0 oraz mocy czynnych poszczególnych harmonicznych prądu i napięcia tego samego rzędu: P=U0I0+...
jaskula19