WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH

Seminarium semestr zimowy 2000/2001

Prowadzący: dr inż. Wojciech Krzysztofik

Michał Zubrzycki (95466)

Zadanie Z1/13

1.      Treść zadania

Korzystając z twierdzenia Parsevala i własności symetrii transformaty Fouriera sprawdzić ortogonalność dwóch funkcji próbkujących f1(t) i f2(t) w przedziale nieskończonym -¥<t<¥.

,                                            tw. Parsevala: .

,                                          ,    

2.      Wprowadzenie teoretyczne

Dwie funkcje są ortogonalne, jeśli jeden sygnał f1(t) nie zawiera żadnej składowej drugiego sygnału f2(t). Czyli dwie funkcje f1(t) i f2(t) są ortogonalne w przedziale (t1, t2), jeżeli:

.

Dla układu funkcji f1(t), f2(t), ...,fn(t) wzajemnie ortogonalnych mamy:

3.      Rozwiązanie

              Aby sprawdzić, czy funkcje są ortogonalne, należy policzyć całkę:

i sprawdzić, czy dla k¹m wynosi 0, a dla k=m wynosi (zgodnie z treścią zadania).

              Zamiast liczyć tę całkę, można skorzystać z twierdzenia Parsevala. Do tego potrzebne mi są transformaty fouriera funkcji f1(t) i f2(t).

              Aby policzyć te transformaty korzystam z twierdzenia o symetrii tranformaty fouriera:

Wiedząc, że transformatą impulsu prostokątnego jest funkcja samplująca:

(łatwo to wyprowadzić metodą pochodnych), można znaleźć transformatę funkcji samplującej korzystając z twierdzenia o symetrii:

korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu:

i wiedząc, że znajduję transformaty zadanych funkcji:

teraz korzystając z twierdzenia Parsevala można obliczyć całkę iloczynu f1 i f2 dla k=m:

czyli dla k=m otrzymuję:

              Jest to wynik odpowiadający funkcjom ortogonalnym.

              Teraz korzystając z twierdzenia Parsevala obliczam całkę iloczynu f1 i f2 dla k¹m:

              czyli dla k¹m otrzymuję:

              Czyli funkcje f1(t) i f2(t) są ortogonalne.

3