Dodatek A.
Dwójkowo i szesnastkowo

Podstawy arytmetyki poznaliśmy w tak zamierzchłej przeszłości, że trudno sobie wyobrazić co by było, gdybyśmy nie posiadali tej wiedzy. Gdy patrzymy na znaki 145, to natychmiast wiemy, że chodzi o liczbę „sto czterdzieści pięć”.

Zrozumienie sposobu funkcjonowania systemu dwójkowego i szesnastkowego wymaga innego spojrzenia na liczbę 145, a mianowicie postrzegania jej nie jako liczby, ale jako jej kodu.

Na początku wyobraź sobie powiązanie pomiędzy liczbą trzy a „3”. Cyfra „3” jest znaczkiem na papierze; liczba trzy jest ideą. Cyfra służy do reprezentowania liczby.

To rozróżnienie może być łatwiejsze do zrozumienia, jeśli uświadomimy sobie, że zarówno trzy jak i 3, |||, III oraz *** reprezentują tę samą ideę liczby trzy.

W systemie dziesiętnym (czyli, jak mówią matematycy, o podstawie 10) do reprezentowania wszystkich liczb używamy cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. Jak jest reprezentowana liczba 10?

Można sobie wyobrazić, że do reprezentowania liczby dziesięć używamy litery A, lub że używamy zapisu IIIIIIIIII. Rzymianie używali znaku X. W systemie arabskim, z którego obecnie korzystamy, do reprezentowania wartości wykorzystujemy cyfry i ich pozycje. Pierwsza (położona najbardziej na prawo) kolumna jest używana dla jedynek, a druga (w lewą stronę) jest używana dla dziesiątek. Tak więc liczba piętnaście jest reprezentowana jako 15 (czytaj: „jeden, pięć”), czyli jedna dziesiątka i pięć jedynek.

Pojawia się regularność, dzięki której można dokonać pewnej generalizacji:

1. System o podstawie 10 używa cyfr od 0 do 9.
2. Kolumny są potęgami dziesięciu: 1, 10, 100, itd.
3. Jeśli trzecia kolumna reprezentuje setki, to największą liczbą, jaką można zapisać w dwóch kolumnach, jest 99. Innymi słowy, w n kolumnach możemy reprezentować liczby od 0 do (10n–1). Tak więc, w trzech kolumnach możemy reprezentować liczby od 0 do (103–1), czyli od 0 do 999.

Inne podstawy

To, że korzystamy z podstawy 10, nie jest przypadkiem: w końcu mamy po dziesięć palców. Można sobie jednak wyobrazić inną podstawę. Używając reguł określonych dla podstawy 10, możemy opisać podstawę 8:

1.       System o podstawie 8 używa cyfr od 0 do 7.

2.       Kolumny są potęgami ośmiu: 1, 8, 64, itd.

3.       W n kolumnach możemy zapisywać liczby od 0 do 8n–1.

W celu rozróżniania liczb o różnych podstawach, podstawy zapisujemy jako indeks dolny tuż za ostatnią cyfrą liczby. Liczba piętnaście przy podstawie 10 jest zapisywana jako 1510 i odczytywana jako „jeden, pięć, dziesiętnie”.

Tak więc, reprezentując liczbę 1510 w systemie o podstawie 8, napisalibyśmy 178. Należy ją odczytywać jako „jeden, siedem, ósemkowo”. Zwróć uwagę, że można to odczytywać jako „piętnaście”, gdyż tę wartość reprezentuje.

Dlaczego 17? Jedynka oznacza jedną ósemkę, a siódemka oznacza siedem jedynek. Jedna ósemka plus siedem jedynek daje piętnaście. Weźmy piętnaście gwiazdek:

*****     *****

*****

Naturalnym działaniem będzie utworzenie dwóch grup: grupy dziesięciu gwiazdek i grupy pięciu gwiazdek. Dziesiętnie byłyby one reprezentowane jako 15 (jedna dziesiątka i pięć jedynek). Można także pogrupować gwiazdki następująco:

****      *******

****

to jest, jako osiem gwiazdek i siedem. W systemie ósemkowym zapisalibyśmy to jako 178, czyli jako jedną ósemkę i siedem jedynek.

Wokół podstaw

Liczbę piętnaście możemy w systemie dziesiętnym zapisywać jako 15, w systemie dziewiątkowym jako 169, w systemie ósemkowym jako 178, a czy w systemie siódemkowym jako 217. Dlaczego 217? W systemie siódemkowym nie ma cyfry 8. Aby wyrazić liczbę piętnaście, potrzebujemy dwóch siódemek i jednej jedynki.

Jak można to uogólnić? Aby zamienić liczbę o podstawie 10 na liczbę o podstawie 7, pomyśl o kolumnach: w systemie siódemkowym występują kolumny dla jedynek, siódemek, czterdziestek dziewiątek, trzysta czterdziestek trójek i tak dalej. Dlaczego takie kolumny? Ponieważ reprezentują 70, 71, 72, 74 i tak dalej.

Pamiętajmy, że dowolna liczba podniesiona do zerowej potęgi (na przykład 70) równa się 1, każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi (na przykład 71) równa się samej sobie, każda liczba podniesiona do drugiej potęgi równa się wynikowi przemnożenia jej przez siebie (72 = 7*7 = 49), a każda liczba podniesiona do trzeciej potęgi odpowiada dwutrzykrotnemu przemnożeniu jej przez siebie (73 = 7*7*7 = 343).

Wykonaj tabelę:

Pierwszy wiersz reprezentuje numer kolumny. Drugi wiersz reprezentuje potęgę siódemki. Trzeci wiersz reprezentuje wartość dziesiętną każdej liczby w drugim wierszu.

Aby zamienić wartości dziesiętne na liczby siódemkowe, postępuj zgodnie z poniższą procedurą: sprawdź liczbę i zdecyduj, której kolumny użyć jako pierwszej. Jeśli liczbą jest na przykład 200, wiemy, że kolumna 4 (343) będzie zawierała 0 i nie musimy się nią martwić.

Aby dowiedzieć się, ile 49-ek jest w liczbie 200, podzielimy 200 przez 49. Otrzymujemy 4, więc w kolumnie trzeciej umieszczamy cyfrę 4 i sprawdzamy resztę z dzielenia: 4. W liczbie 4 nie ma żadnej siódemki, więc w kolumnie siódemek umieszczamy cyfrę 0. W liczbie cztery są cztery jedynki, więc w kolumnie jedynek umieszczamy cyfrę 4. Odpowiedzią jest 4047.

W tym przykładzie cyfra 4 w trzeciej kolumnie reprezentuje wartość dziesiętną 196, a cyfra 4 w pierwszej kolumnie reprezentuje wartość 4. 196+4 = 200. Tak więc 4047 = 20010.

Przejdźmy następnego przykładu.

Aby zamienić liczbę 968 na liczbę szóstkową:

Sprawdź, czy wiesz, dlaczego kolumny reprezentują takie wartości. Pamiętaj, że 63 = 6*6*6 = 216.

Aby wyznaczyć reprezentację liczby 986 w systemie szóstkowym, zaczniemy od kolumny 5. Ile 1296-tek mieści się w 986? Żadna, więc w kolumnie 5. zapisujemy 0. Jeśli Ppodzielimyenie 968 przez 216, dajeto otrzymamy 4 z resztą 104. W kolumnie 4. znajdzie się cyfra 4. To jest, ta kolumna będzie reprezentować 4*216 (864).

Musimy teraz wyrazić pozostałą wartość (968-864 = 104). Podzielenie 104 przez 36 daje 2 z resztą 32. Kolumna trzy będzie zawierać cyfrę 2. Podzielenie 32 przez 6 daje 5 z resztą 2. Tak więc otrzymujemy liczbę 42526.