2. Metoda ZeroJedynkowa.doc

Pierwszym warunkiem efektywnego posługiwania się metodą zero-jedynkową, a później i skróconą metodą zero-jedynkową, jest opanowanie sztuki przekładania zdań z języka naturalnego na język formalny. W tej części kursu nauczysz się właśnie budowania schematów zdań.

Od czego tu zacząć? Naturalnie od objaśnienia symboli, którymi przyjdzie nam się posługiwać.

Przede wszystkim w naszych schematach pojawią się symbole samych zdań. Zapewne doskonale pamiętasz, że na lekcjach matematyki, bardzo często pojawiały się symbole takie jak x, y z… Za wspomnianymi symbolami w istocie kryły się pewne wartości liczbowe, np. w równaniu 2 + x = 3, x zastępowało 1. W klasycznym rachunku zdań pojawią się symbole takie jak: p, q, r, s… i tak dalej, aż do końca alfabetu. Wspomniane symbole będą to tzw. zmienne zdaniowe, czyli symbole reprezentujące zdania w sensie logicznym. Zamiast np. pisać: „Jan jest studentem” napiszemy po prostu p. W miejsce zdania: „Zygfryd wypił pięć litrów wódki” możemy napisać q etc.

W budowanych przez nas schematach, poza wspomnianymi zmiennymi zdaniowymi, pojawią się symbole poszczególnych funktorów ekstensjonalnych, czyli spójników, za pomocą których będziemy łączyć zmienne zdaniowe i w ten sposób tworzyć schematy zdań złożonych. Jakie to spójniki i jakie symbole im odpowiadają?

Zgodnie z powyższym, gdybyśmy chcieli napisać schemat zdania: „Zygfryd wypił pięć litrów wódki i żyje” napisalibyśmy: p ^ q, zaś schemat zdania: „Jeśli Wiesiek spotkał Zygfryda, to będzie miał potężny ból głowy” wygląda następująco: p → q.

W schematach zdań pojawią się także nawiasy, które w istocie pełnić będą podobną rolę do tej, którą w języku naturalnym spełniają znaki przestankowe. Za ich pomocą nasze wypowiedzi można będzie zinterpretować w pożądany przez nas sposób.

Skoro już wiemy, jakie symbole będą przez nas używane, przejdźmy do przykładów.

Jeśli chcemy zbudować schemat jakiegokolwiek zdania złożonego, pierwszym rzędzie musimy wskazać zdania proste, z których jest ono zbudowane. Kolejnym krokiem będzie zidentyfikowanie spójników, które łączą wspomniane zdania proste. Naturalnie w miejsce zdań prostych wstawimy zmienne zdaniowe (p, q, r, s, t itd.), zaś w miejsce spójników stosowne symbole tychże spójników.

Witek się uśmiecha i pokazuje złote zęby.

Zdania proste to: „Witek się uśmiecha” oraz „(Witek) pokazuje złote zęby” („Witek” w drugim zdaniu jest podmiotem domyślnym, stąd też pozwoliłem sobie ująć go w nawias). Za pierwsze z wymienionych zdań podstawimy p, za drugie natomiast zmienną q. Póki co nasz schemat wygląda więc następująco: p i q. Pozostaje nam jeszcze zastąpienie spójnika „i” stosownym symbolem. „I” to naturalnie koniunkcja, której symbolem jest „ ^ ”. Skoro to wiemy, nasz schemat uzyska następującą postać:

p ^ q

Prawda, że proste?!

Inny przykład: „Zygfryd jest najedzony wtedy i tylko wtedy, gdy zje golonkę i schabowy”

Ponownie zacznijmy od tego, by zidentyfikować zdania proste. W powyższej wypowiedzi możemy wskazać aż trzy zdania proste:

Zygfryd jest najedzony – p

Zygfryd zje golonkę – q

Zygfryd zje kotlet schabowy – r

Nasz schemat wygląda zatem następująco:

p wtedy i tylko wtedy, gdy q i r

Zastąpmy teraz spójniki ich symbolami.

„wtedy i tylko wtedy, gdy” to równoważność, której symbolem jest „↔”, „i” to zaś, znana już nam doskonale z poprzedniego przykładu, koniunkcja.

Schemat powyższego zdania wygląda więc następująco:

p ↔ q ^ r

Nic strasznego, prawda?

Kolejny przykład: „Jan kocha Gosię ale Gosia nie kocha Jana”.

Jakie tym razem są nasze zdania proste:

Jan kocha Gosię – p

Jakie jednak jest drugie zdanie proste? Chciałoby się zapisać „Gosia nie kocha Jana”. W tym zdaniu jednak pojawia się pewnie spójnik – „nie”. Tym samym mamy do czynienia ze zdaniem złożonym. Widoczne to się stanie gdy zastąpimy wyraz „nie”, wyrażeniem „nieprawda, że”. Zamiast powiedzieć, że: „Gosia nie kocha Jana” można równie dobrze powiedzieć: „Nieprawda, że Gosia kocha Jana” i sens wypowiedzi pozostanie niezmieniony. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy drugim zdaniem prostym będzie więc:

Gosia kocha Jana – q

Na tym etapie rozważań nasz schemat wygląda więc następująco:

p ale nie q

Zastąpmy teraz spójniki ich symbolami. „Ale” to, jak wynika z tabelki, także koniunkcja czyli „ ^ ”, „nie” natomiast, to negacja, której odpowiada symbol „~”. Skoro to wiemy, możemy zbudować ostateczny schemat:

p ^ ~ q

Ponownie: nic strasznego!

Napiszmy teraz dwa zdania i zastanówmy się, jaka jest między nimi różnica.

1. Jeżeli Zygfryd nie dostanie wypłaty, to nie pójdzie na piwo.
2. Nie jest prawdą, że jeżeli Zygfryd dostanie wypłatę, to pójdzie na piwo.

Tak w pierwszym, jak i w drugim zdaniu, pojawiają się dwa zdania proste:

Zygfryd dostanie wypłatę – p

Zygfryd pójdzie na piwo – q

W obu zdaniach pojawia się także implikacja – „jeżeli…, to…”, której symbolem jest „→”, oraz negacje („nie”, „nieprawda, że”), których symbolem jest „~”.

Zastanówmy się, jak mógłby wyglądać schemat pierwszego zdania. Zdanie to zaczyna się od jeżeli, czyli pojawi się ponad wszelką wątpliwość strzałka implikacji. Teraz postawmy pytanie: jeżeli co? Odpowiedź: „Jeżeli Zygfryd nie dostanie wypłaty” czyli:

~p →

Koniecznie teraz musimy powiedzieć, co się stanie, jeśli nasz bohater nie dostanie wypłaty. W poprawnie zbudowanym schemacie nigdy bowiem, nie może być tak, że po którejś ze stron funktora dwuargumentowego nie pojawi się zmienna zdaniowa!!! Nasza odpowiedź brzmi: „Zygfryd nie pójdzie na piwo” czyli „~q”. Zapiszmy więc cały schemat:

~p → ~q

Zastanówmy się teraz nad schematem drugiego zdania. Zdanie to zaczyna się od zwrotu „Nie jest prawdą, że”. Ten zwrot to negacja, czyli „~”. Następnie pojawia się zdanie Zygfryd dostanie wypłatę, które implikuje zdanie Zygfryd pójdzie na piwo. Wspomniana implikacja wygląda więc następująco: p → q. Zastanówmy się teraz do czego odnosi się negacja, tylko do p, czy też do całej implikacji p → q. Oczywiście w przytoczonym zdaniu negujemy cała implikację p → q, a nie jedynie jej poprzednik „p”. Tym samym użyć musimy nawiasu:

~(p → q)

Gdybyśmy pominęli wspomniany nawias i napisali następujący schemat: ~ p → q, wówczas negacja odnosiłaby się jedynie do p i sens zdania byłby następujący: Jeżeli Zygfryd nie dostał wypłaty, to pójdzie na piwo (pewnie więc będzie pił na czyjś koszt). Zauważmy, że sens zdania całkowicie się zmienił.

Warto zatem zapamiętać: Jeżeli mamy do czynienia ze zwrotem typu: „Nieprawdą jest, że jeżeli…” strzałka implikacji koniecznie musi zostać ujęta w nawias, tak by negacja odnosiła się do całej implikacji, a nie jedynie do jej poprzednika. W sytuacji natomiast, gdy mamy do czynienia ze zwrotem typu: „Jeżeli nie jest prawdą, że…” negacja odnosi się tylko do poprzednika implikacji, czyli do tego, co znajduje się przed strzałką implikacji, a tym samym sama implikacja nie musi być ujmowana w nawias.

Często pojawia się pytanie czy np. w sytuacji: ~p → ~q nie można „wyciągnąć” negacji przed nawias i napisać ~( p → q). Odpowiedź na to pytanie powinna z wolna stawać się oczywista. Przypomnijmy sobie zanalizowane właśnie dwa zdania: Jeżeli Zygfryd nie dostanie wypłaty, to nie pójdzie na piwo oraz Nie jest prawdą, że jeżeli Zygfryd dostanie wypłatę, to pójdzie na piwo i postawmy pytanie, czy oba zdania głoszą to samo? Raczej nie: zgodnie z pierwszym zdaniem fakt, że Zygfryd nie pójdzie na piwo jest konsekwencją braku u niego gotówki. Drugie ze zdań głosi natomiast, że posiadanie przez Zygfryda pieniędzy nie prowadzi wprost do stanu upojenia alkoholowego ;). Skoro zatem oba zdania nie są tożsame, to również i ich schematy różnią się od siebie, a skoro tak jest, to nie można dowolnie „wyciągać” negacji przed nawias.

Największe kłopoty w przypadku budowania schematów zdań powodują z reguły nawiasy. Poświęćmy więc im kilka słów. Jak wspomnieliśmy, za pomocą nawiasów sugerujemy określony sposób rozumienia danej wypowiedzi. Gdybyśmy powiedzieli np. Jeżeli uda mi się ściągnąć na egzaminie to albo wpadnę i dostanę dwóję albo nie wpadnę i zdam egzamin.

Zidentyfikujmy ponownie zdania proste:

Uda mi się ściągnąć na egzaminie – p

Wpadnę na ściąganiu – q

Dostanę dwóję – r

Zdam egzamin – s

Znów, nasza wypowiedź zaczyna się od „jeżeli” czyli postawimy strzałkę implikacji. Następnie zapytamy o jej poprzednik, czyli: jeżeli co się stanie? Po udzieleniu odpowiedzi na to pytanie zauważymy, że początek naszego schematu wygląda następująco:

p →

To wszystko, co pojawi się za strzałką implikacji, będzie konsekwencją tego, że uda nam się ściągnąć (tego skutkiem) czyli śmiało możemy posłużyć się nawiasem, by fakt ten podkreślić:

p → [                        ]

Pytanie co napiszemy w nawiasie. Powiedzieliśmy: jeżeli uda nam się ściągnąć to staniemy przed alternatywą, albo wpadniemy i dostaniemy dwóję, albo nie wpadniemy i zdamy egzamin. Czyli jedno z dwojga:

(q ^ r) v (~ q ^ s)

Ostatecznie nasz schemat przyjmie następującą postać:

p → [(q ^ r) v (~ q ^ s)]

Podobnie, gdybyśmy powiedzieli: Jeżeli Zygfryd dostanie wypłatę, to jeśli spotka Zenka, to noc będzie długa.

p → (q → r)

Dlaczego nawias został postawiony w tym właśnie miejscu, a nie np. (p → q) → r?

Gdybyśmy tak właśnie postawili nawias, główną implikacją byłaby ta, która została postawiona przed r i schemat odczytalibyśmy następująco: „jeżeli, jeśli p, to q, to r”. Tym samym brzmienie naszego zdania też byłoby inne. Jedynie pierwszy schemat, w którym głównym funktorem jest implikacja pojawiająca się zaraz za p, odczytamy: „Jeżeli p, to jeśli q, to r” i po podstawieniu odpowiednich zdań za zmienne zdaniowe uzyskamy wypowiedź brzmiącą identyczne, z naszą wypowiedzią wyjściową.

Możemy to wytłumaczyć jeszcze inaczej. Zdanie głoszące, iż: Zygfryd dostanie wypłatę jest katalizatorem wszystkiego, co nastąpi później, warunkiem koniecznym by to mogło zajść. Skoro tak, skoro jest to przyczyna wszystkiego, co nastąpi później, należy to koniecznie umieścić przed nawiasem. Mówimy zatem Jeżeli Zygfryd dostanie wypłatę, to… i w tym miejscu zaczynamy formułować jakiś wniosek – mówimy o skutkach wypłaty Zygfryda – bierzemy więc kolejne zdanie śmiało w nawias. Nasz wniosek ponownie jednak jest w trybie warunkowym. Mówimy „jeśli” czyli stawiamy implikację. Tak implikacja, jest jednak konsekwencją pierwszej, zatem musi znaleźć się w nawiasie.

Dobrze, czas teraz przetrawić to, co zostało dotychczas napisane i pogimnastykować się samodzielnie. Odszukaj więc przykłady dotyczące budowania schematów zdań i… do dzieła!!!