lista11alg08.pdf

(63 KB) Pobierz
406204608 UNPDF
Algebraliniowazgeometri¸aanalityczn¸a
Lista11:Przestrzenie liniowe (c.d.). Przeksztalcenia liniowe.
1.Ktore z podanych zbiorow sa podprzestrzeniami przestrzeni liniowejV(nad cialemR) ?:
a)V=R
2 ,W 1 ={(x,y)2R
2 :x 2 +y= 0},W 2 ={(x,y)2R
2 : 3x+ 2y= 0},
W 3 ={(x,x+ 2) :x2R}.
b)V=R
3 ,W 1 ={(x,y,z)2R
3 : 3x+y= 0 i 2y−3z= 0},
3 : 3x+y= 0 lub 2y−3z= 0},
W 3 ={(x,x+ 2y,5y) :x,y2R}, W 4 ={(2x,3x−2y,|x|+y) :x,y2R}.
c)V=R n ,W 1 ={(x 1 ,x 2 ,...,x n )2R n : P n i=1 x i i = 0},
W 2 ={(x 1 ,x 2 ,...,x n )2R
n : P n i=1 x 3 i = 0}.
d)V=R 2 [x],W 1 ={P(x)2R 2 [x] :P(1) = 0},W 2 ={P(x)2R 2 [x] :P 0 (5) = 0},
W 3 ={P(x)2R[x] : st(P) = 1},W 4 ={a 2 x 2 +a 1 x+a 0 :a 0 ,a 2 2Ria 1 2Q}.
e)V=M 2×2 ,W 1 ={A2M 2×2 : det(A)0}, W 2 ={A2M 2×2 :A+A T = 0},
ab
cd
ab
cd
W 3 =
2M 2×2 :b+ 2c= 0
,W 4 =
2M 2×2 :a+c= 0 ib2Z
.
f)V=C(R),W 1 ={f2C(R) :f(1) =f(6) = 0},W 2 ={f2C(R) : (sinf)(0) = 0},
W 3 ={f2C(R) : istnieje pochodnaf 0 (2)}.
3 ,
b) 2x 3 +ax+ 12lin{x 3 + 2x,x 3 + 3x+ 1,x 3 + 3}wR 3 [x],
c)
8 a
−2 5
2lin
1 3
2 1
,
2 1
−2 1
,
−3 11
18 1
wM 2×2 .
3.Znalezc generatory podanych przestrzeni liniowych:
a)V={(x−4y,2x+ 3y+ 4z,x+y−z,2y−z) :x,y,z2R},
b)V={(x,y,z,s,t)2R
n :
a)B={(a,2−a),(a+ 2,3)},n= 2;
b)B={(1,2,1),(a,0,−a),(−a,3,1)},n= 3;
c)B={(1,1,1,1),(1,a,a 2 ,a 3 ),(1,2,4,8),(1,3,9,27)},n= 4.
4 :x 2 +y 2 +z 2 +t 2 = 0},
c)V={(3x,2x−y,y+ 2z,x+y+z) :x,y,z2R},
d)V={(x,y,z,s,t)2R
5 : 3x+2y+3z−t= 2x+y+z+2s+t= 5x+4y+7z−4s−5t= 0},
e)V= lin{(3,2,1),(1,2,−1)},
f)V= lin{(−1,−2,5,6),(−1,−3,9,−9),(2,1,2,3),(3,2,1,2)},
g)V={P2R 3 [x] :P(0) + 2P(1) = 3P 0 (−1)},
h)V={P2R 2 [x] :P(x) =−P(−x) dla kazdegox2R},
i)V={A2M 2×2 :A−A T = 0}.
6.Podany zbior wektorow liniowo niezaleznych uzupelnic do bazy przestrzeniV:
a){(3,2,1),(4,3,6)},V=R 3 ,
b){(3,2,1,1),(5,2,7,8)},V=R
2 1 3
−1 3 0
,
3 3 1
1 5 2
,
1 2 0
4 3 2
,V=M 2×3 .
1
W 2 ={(x,y,z)2R
n : P n i=1 x i = 0 i P n i=1 ix i =n},
W 3 ={(x 1 ,x 2 ,...,x n )2R
2.Wyznaczyc wszystkie wartosci parametrua, dla ktorych:
a) (a,10,7)2lin{(1,2,3), (3,−2,1)}wR
5 : x 4 = y 5 = 3z= t 8 },
c)V={P2R 4 [x] :P(1) + 2P 0 (0) =P 0 (1) + 2P 00 (0) = 0}.
4. Wyznaczyc wszystkie wartosci parametrua, dla ktorych zbior wektorowBjest baza
przestrzeniR
3 :x+ 2y=z},
b)V={(x,y,z,t)2R
5.Znalezc baze i wymiar przestrzeni liniowej:
a)V={(x,y,z)2R
4 ,
c){x 2 + 1,x 3 +x−3,x 4 + 2x−1,x 2 +x+ 2},V=R 4 [x],
d)
4 ,v= (6,2,5,−3),B={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)},
c)V=R 2 [x],v=−x 2 −3x+ 10,B={2x 2 +x+ 3,2x 2 + 2x−1,3x 2 + 2x+ 1},
d)V=M 2×3 ,v=
2 ,v= (1,4),B={(2,5),(2,9)},
0 4 0
0 0 0
2 6 1
3 1 2
3 0 0
0 0 0
,
0 0 2
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 2 2
0 0 0
4 3 0
.
B=
,
,
,
,
,
8.Ktore z podanych przeksztalcen sa liniowe?:
a)':R
2 !R
3 ,'(x,y) = (2x,3x+ 2y,2x−y),
3 ,'(x,y,z) = (x+y−z,2y+z,x−3z 2 ),
c)':R 2 [x]!R
3 !R
2 ,'(ax 2 +bx+c) = (3a+b,|b|−c);
d)':R 3 [x]!R
4 ,'(P) = (P(0),2P 0 (1),3P 00 (2)),
y 2x−y
2x3x+ 2y
e)':R
3 !M 2×2 ,'(x,y,z) =
.
9. Znalezc wzor przeksztalcenia liniowego':R
3 !R
2 wiedzac, ze'(2,1,3) = (12,−15),
'(2,4,−1) = (−3,11) i'(1,1,1) = (4,−4).
10.Znalezc bazy i wymiary jadra i obrazu przeksztalcenia liniowego:
a)':R
3 !R
3 ,'(x,y,z) = (2x−3y,3x+ 2y+z,13y+ 2z),
b)':R
5 !R
3 ,'(x,y,z,s,t) = (x+y+t,y−z+s,2x+ 3y+s+ 2t),
ab
cd
c)':M 2×2 !R
3 ,'
= (7a−22b+ 9c−13d,2a+ 3b−c+ 2d,3a−2b+c−d),
4 ,'(P) = (P(0),P(0) + 2P(1),P(1)),
e)':R 3 [x]!R 2 [x],'(P)(x) = 2(x+ 1)P 00 (x) +P 0 (x).
11.Znalezc wymiary jadra i obrazu przeksztalcenia liniowego:
a)':R
3 !R
4 ,'(x,y,z) = (x−y+ 2z,2x+y+z,4x−y+ 5z,−x−5y+ 4z),
b)':R
4 !R
3 ,'(x,y,z,t) = (x+y−z+t,2x+y+z−t,y−3z+ 3t),
c)':R
4 !R
4 ,'(x,y,z,t) =x−2y−4z+ 3t,3x+ 2z+ 5t,x+y+ 3z+t,5x−y+z+ 9t).
7.Znalezc wspolrzedne wektoravw bazieBprzestrzeniV:
a)V=R
b)V=R
b)':R
d)':R 2 [x]!R

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin