Przestrzen Topologiczna.pdf

0.1 Przestrzenie topologiczne

0.1.1 Bazy igenerowanie topologii

Przestrze« topologiczna , to para ( X; T ) zªo»ona ze zbioru X i z pewnej

rodziny T jego podzbiorów (zwanych zbiorami otwartymi ). O rodzinie T

zakªadamy,»ejestona:

(1 ) zamkni¦tazewzgl¦dunaoperacj¦braniadowolnychsum:

[

U2T ( 8UT ) ;

(2 ) zamkni¦tazewzgl¦dunaoperacj¦braniasko«czonychprzeci¦¢,tzn.

W2T ( 8WT ; # W < 1 ) ;

; = ; wskazuje,»e ; oraz X s¡zawszezbiorami

otwartymi.Topologi¦ f; ;X g nazywamytopologi¡ trywialn¡,najsªabsz¡ lub

antydyskretn¡ ,za±rodzin¦2 X { topologi¡ dyskretn¡ .

Topologi¦ T 1 nazwiemy sªabsz¡ odtopologii T 2 ,gdy T 1 T 2 ,za± topo-

logi¡generowan¡ nazbiorze X przezrodzin¦zbiorów G 2 X nazwiemy

najsªabsz¡ z topologii zawieraj¡cych G . Rodzin¦ U nazwiemy baz¡ topolo-

gii T , gdy dowolny zbiór otwarty W 2T mo»na zapisa¢ w postaci

; = X ,

U 1 dla

pewnej U 1 U . Zbiór E X nazwiemy otoczeniem punktu x 0 2 X ,

za± x 0 - punktem wewn¦trznym zbioru E , zapisuj¡c ten fakt symbolem

x 0 2 int( E )lub x 0 2 int T ( E ),gdyistnieje W 2T taki,»e x 0 2 W E .

Okre±lonywtensposóbzbiórint( E )nazwiemy wn¦trzem zbioru E .

Zadanie0.1. Niech T cf = T cf ( Z ):= f;g[f E Z :#( Z n E ) < @ 0 g dla

ustalonegozbioru Z .Wykaza¢,»ejesttorodzinazbiorówotwartychwpewnej

topologii(ÿ co-nite topology" ), któraniejestdyskretnagdyzbiór Z jestnie-

sko«czony.Znale¹¢pewn¡minimaln¡(wzgl¦demrelacji )rodzin¦generuj¡c¡

dlatejtopologiiipewn¡ró»n¡od T cf baz¦.Okre±li¢te»,jakwygl¡daoperacja

braniadomkni¦ciazbioru A Z wtejtopologii(wzale»no±ciodmocyzbioru

A ). Analogicznie, zamieniaj¡c warunek #( Z n E ) < @ 0 na #( Z n E ) ¬ @ 0

otrzymamytopologi¦"ko-przeliczaln¡" T cc .

Zadanie0.2. Wykaza¢, »eprzeci¦cia sko«czonejilo±ci zbiorów nale»¡-

cychdorodziny G 2 X tworz¡rodzin¦(oznaczmyj¡symbolem G

d )stanowi¡c¡

baz¦topologiigenerowanejprzez G .

coprzykonwencji:

R tworz¡ baz¦ topologii?

Opisa¢ topologi¦ T left generowan¡ przez t¦ rodzin¦. Analogicznie, T left [ ; ]

-generowana przez f ( 1 ;t ) \ [ ; ] ; t 2

g nazywana bywa lewostronn¡

topologi¡ naprzedziale[ ; ].Jakiezbiorys¡tuotwarte?

Zadanie 0.4. Opisa¢topologie T d (odp. T arrL ÿ lewejstrzaªki ")gene-

rowanena R przezrodziny E 1 := f [ a;b ]: a < b g (odp. E 2 := f ( a;b ]: a < b g ).

Zadanie 0.5. Opisa¢wn¦trzazbioru A wtopologiach T cf , T d oraz T arrL .

Zadanie 0.6. Gdytopologia T 1 jestsªabszaodtopologii T 2 ,ustali¢in-

kluzjemi¦dzywn¦trzamiint T j ( E )ustalonegozbioruwzgl¦demtychtopologii.

Zadanie 0.7. Wykaza¢, »e operacja brania wn¦trza zbioru ma nast¦-

puj¡ce wªasno±ci: int(int( E )) = int( E ) ; int( E \ F ) = int( E ) \ int( F ) oraz

int( E ) [ int( F ) int( E [ F ),przyczymostatniainkluzjamo»eby¢ostra.

Rodzin¦ W T nazwiemy baz¡ otocze« (otwartych) punktu x 0 , gdy

[ W 2W) x 0 2 W ika»deotoczenie x 0 zawierapewienzbiór U 2W ].

Zbiór F X nazwiemy domkni¦tym ,gdy F c := X n F 2T . Domkni¦-

cie zbioru A X ,oznaczanesymbolem A ,lubcl( A ),czyte»cl T ( A ),jestto

najmniejszydomkni¦tynadzbiórzbioru A .Podzbiór D przestrzeni X nazwie-

my g¦stym ,gdy D = X .

Brzegiem topologicznymzbioru A nazywamyzbiórFr( A ):= A \ X n A .

Punkt x 0 jest punktem skupienia zbioru E , gdy x 0 2 E nf x 0 g . S¡-

siedztwo punktu x 0 tozbiórpostaci U nf x 0 g ,gdzie x 0 2 int( U ).

Szczególne znaczenie odgrywaklasa przestrzeni Hausdora (tzw. T 2 -

przestrzeni), wktórychdowolne dwaró»nepunkty( x;y 2 X; x 6 = y )mo»na

rozdzieli¢przezzbioryotwarte U;W wtymsensie,»e x 2 U; y 2 W; U \ W = ; .

Zadanie 0.8. Opisa¢ topologi¦ T 2 -przestrzeni, w której ka»dy punkt

masko«czon¡baz¦otocze«.

Zadanie 0.9. Wykaza¢,»egdy B jestbaz¡topologii T ,tobaz¡otocze«

punktu x jestrodzina B x := f W 2B : x 2 W g .Naodwrót:gdy D = X idla

x 2 D mamy A x T { bazy otocze« punktów x , to sprawdzi¢, czy zawsze

rodzina

A x musiby¢baz¡dla T (por.zad.0.24).

x 2 D

Zadanie 0.3. Czy przedziaªy ( 1 ;t ) ; t 2

Zadanie0.10. Czy X

x 2 D U x ,gdy D = X idla x 2 D x 2 U x 2T

x otocze« punktu x . Wykaza¢, »e x 62 cl T ( A ) wtedy i tylko

wtedygdyistniejeotoczenie W 2B x tegopunkturozª¡cznezezbiorem A .

Zadanie0.12. Gdyka»des¡siedztwopunktu x 0 mapunktywspólneze

zbiorem A ,to x 0 jest punktemskupieniazbioru A .Wykaza¢,»ewprzestrzeni

Hausdorajedyniezbioryniesko«czoneposiadaj¡punktyskupienia.Ponadto

doª¡czenie do zbioru A wszystkich jego punktów skupienia daje domkni¦cie

zbioru A .Zbada¢punktyskupieniawprzypadkutopologii: T cf orazdyskretnej.

Zadanie0.13. Zbada¢odpowiednikiwªasno±cizzadania0.7dlaopera-

cjidomkni¦ciazbioruidlaoperacjibraniazbiorupunktówskupienia.Ponadto

wykaza¢,»egdy U jestzbioremotwartym,to U \ A U \ A = U \ A .

0.1.2 Przestrzeniemetryczne, rodzinysemimetryk

R + zwanasemimetryk¡,speªniapostulaty: d ( x;x )=0,

d ( x;y )= d ( y;x )oraz d ( x;z ) ¬ d ( x;y )+ d ( y;z )(nierówno±¢trójk¡ta).Zast¡-

pieniewarunku d ( x;x )=0przez d ( x;y )=0 , x = y dajedenicj¦ metryki .

Topologi¡ (semi)metryki d nazwiemytopologi¦generowan¡przezrodzin¦

B = f B d ( x;r ): x 2 X;r > 0 g wszystkichkul.Przypomnijmy,»ekula B ( x;r )

lub B d ( x;r ),tozbiór f y 2 X : d ( x;y ) < r g .Ozbiorach,którezawieraj¡si¦w

jakiej±kulimówimy,»es¡ ograniczone .Topologia metryzowalna ,totopo-

logia, któr¡mo»naokre±li¢przezpewn¡metryk¦. Topologia naturalna w

przestrzeni R k lub C k ,totopologia metryki euklidesowej

d (( a 1 ;:::;a k ) ; ( b 1 ;:::;b k ))=

j b 1 a 1 j 2 + ::: + j b k a k j 2 :

Topologi¡rodzinysemimetryk f d j g j 2 J jesttopologiagenerowanaprzez

wszystkiekulepostaci B d j ( x;r ),gdzie x 2 X;r > 0 ;j 2 J .

Zadanie0.14. W przestrzeni metrycznej baz¡ otocze« punktu x 0 jest

f B ( x 0 ;r ): r 2 D g ,oile D (0 ; + 1 ) ; inf D =0.

Zadanie0.11. (Lokalna charakteryzacjadomkni¦cia)Ustalmy

dowolnie baz¦ B

Najprostszym,podstawowymprzykªademprzestrzenitopologicznychs¡ prze-

strzenie metryczne (ogólniej: semimetryczne ), czyli pary ( X;d ), gdzie

funkcja d : X X !

Zadanie 0.15. Dla j =1 ; 2niech T j b¦dzietopologi¡metryki d j na X j .

Gdy F : X 1 ! X 2 jest izometri¡ , tzn. d 1 ( x;y ) = d 2 ( F ( x ) ;F ( y )) 8 x;y {

wykaza¢,»edlapodzbiorów A przestrzeni X 1 mamyint T 2 F ( A ) F (int T 1 ( A )),

arówno±cizachodz¡gdyizometriatajestsuriekcj¡,czyligdy F ( X 1 )= X 2 .

Zadanie 0.16. Domkni¦cie kuli: B d ( x;r ) mo»e by¢ mniejsze od tzw.

\kulidomkni¦tej",czyliod B d ( x;r ):= f y : d ( x;y ) ¬ r g .Poda¢przykªad.

Zadanie 0.17. Czyka»dypodzbiórniepustyustalonegozbiorujestkul¡

opromieniu1wzgl¦dempewnejmetrykiprzyjmuj¡cejjedynie3warto±ci?

Zadanie 0.18. Wykaza¢,»epodzbiór E jestograniczonywsemimetryce

d wtedyitylkowtedy,gdywielko±¢diam( E ):=sup f d ( a;b ): a 2 E 3 b g ,czyli

tzw. ±rednica zbioru E jestliczb¡sko«czon¡.

g n =1 , za±

E 0 := E [f 0 g .Zbioryterozwa»amyztopologi¡naturaln¡,czylipochodz¡c¡

odmetryki d ( s;t ):= j t s j .Jakiezbiorys¡otwartewtychprzestrzeniachijak

wygl¡daint( A )dla A E 0 ,odp.dla A E (rozwa»y¢przypadki).

Zadanie 0.20. Wykaza¢, »e przestrze«zsemimetryk¡ d mawªasno±¢

Hausdorawtedyitylkowtedy,gdy d jestmetryk¡.Ponadtowarunektenjest

te»równowa»nydomkni¦to±cijejwszystkichsko«czonychpodzbiorów.

Zadanie 0.21. Wykaza¢,»etopologii T cf niemo»nazdeniowa¢przez

»adn¡semimetryk¦.

Zadanie 0.22. Wprowad¹myfunkcj¦odlegªo±ciodzbioru:dist d ( x;E ):=

inf f d ( x;e ): e 2 E g .Przyu»yciutejfunkcjiopisa¢operacjetopologiczne:wn¦-

trza,brzeguidomkni¦cia.Wykaza¢np.,»e E = f x 2 X :dist d ( x;E )=0 g .

Zadanie 0.23. Wprowadzi¢ mo»emy nast¦puj¡cetrzypoj¦ciaodlegªo-

±cimi¦dzyograniczonymipodzbiorami A;B przestrzeni X zmetryk¡ d :Niech

dist( A;B ):=inf f d ( a;b ): a 2 A;b 2 B g , l ( A;B ):=sup f dist( a;B ): a 2 A; g

oraz ( A;B )= d ( A;B ):=max f l ( A;B ) ; l ( B;A ) g .Tylkojednaztychwiel-

ko±ciokre±lasemimetryk¦.Wykaza¢,»e -takzwana odlegªo±¢Hausdora

jestmetryk¡narodziniepodzbiorówdomkni¦tychiograniczonych.

Zadanie 0.19. Niech E b¦dzie zbiorem wyrazów ci¡gu f 1 n

Q k

niech U n + q := f x + q : x 2 U n g b¦dzieprzesuni¦ciemrównolegªym zbioru

U n otenwektor.Czyotrzymamywtensposóbbaz¦topologii-bior¡crodzin¦

B 0 := f U n + q : n 2 N ; q 2 Q n g (je±litak,tojakiejtopologii?).

Zadanie0.25. Wzbiorze X liczbzespolonych z takich,»e = z 6 =0lub

z =0okre±lmyfunkcj¦ d ( z;w )równ¡ j z w j gdy = z = w 0orazrówn¡ j z j + j w j

gdypunkty z;w le»¡wdwuró»nychpóªpªaszczyznach.Sprawdzi¢,»ejestto

metryka,którejtopologiajesttakasama,jaktopologiametrykieuklidesowej,

chocia» jej kule maj¡ do±¢ nietypow¡ posta¢. Zinterpretowa¢ mo»na d ( x;y )

jakonajkrótsz¡drog¦ª¡cz¡c¡tepunktywsytuacji,gdys¡topunktymiasta

przedzielonegorzek¡,naktórejznajdujesi¦tylkojedenmost(ozaniedbywalnej

dªugo±ci)usytuowanywpunkciezero.Rzek¡jesto±rzeczywista.( = z =cz¦±¢

urojonaliczby z 2

Zadanie0.26. Gdysemimetryki d j s¡ÿsilnierównowa»ne"wtymsen-

sie, »e dla pewnych staªych C 1 ;C 2 > 0 mamy C 1 d 1 ¬ d 2 ¬ C 2 d 1 , wykaza¢,

»e generuj¡ one jednakowe topologie, takie same rodziny zbiorów ograniczo-

nych,klasyci¡gówCauchy'egoirównowa»nemetrykiHausdora.Jakierelacje

zachodz¡mi¦dzytopologiamimetrykspeªniaj¡cychwarunek d 1 ¬ d 2 ?

1+ d utworzonezmetryki d s¡równie»metrykamiideniuj¡topologi¦tak¡,

jakmetryka d .

Zadanie0.28. Niech F : R + ! R + b¦dzie funkcj¡ subaddytywn¡:

F ( s + t ) ¬ F ( s )+ F ( t ),niemalej¡c¡,tak¡,»e F (0)=0 ;F ( t ) > 0 8 t > 0.Gdy d

jestmetryk¡naprzestrzeni X ,wykaza¢,»erównie» d 1 := F d jestmetryk¡.

Gdyponadtopochodnaprawostronna F 0 + (0) jest > 0,to topologie metryk d

oraz d 1 s¡takiesame.

j f ( x ) g ( x ) j .

Czy jest to metryka? Narysowa¢ sum¦ mnogo±ciow¡ wykresów funkcjiz kuli

f f : X ( f;r ) < 1 2

g ,gdy r ( t )=

t;X =[0 ; 1].

Zadanie0.24. Niech U b¦dzie dowolnie wybranym otwartym (w to-

pologii naturalnej), ograniczonym otoczeniem zera w przestrzeni R k . Niech

U n := f x 2

R k : nx 2 U g idlawektoraowspóªrz¦dnychwymiernych: q 2

C).

Zadanie0.27. Wykaza¢,»epewnefunkcjeograniczone-np.min f d; 1 g

lub d

Zadanie0.29. W przestrzeni M ( X ) funkcji ograniczonych, o warto-

±ciach rzeczywistych na zbiorze X niech X ( f;g ) := sup x 2 X

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: