rozd4.pdf

(325 KB) Pobierz
QPrint
4. CIġGýOĺĘ
oznacza pewien przedziaþ (ograniczony lub nie, otwarty lub do-
mkniħty lub pþotwarty z jednej strony). Niech
Niech R
:f bħdzie pewnĢ funkcjĢ rze-
R
czywistĢ.
Definicja. Mwimy, Ňe funkcja jest
, jeŇeli dla dowol-
nego 0
> istnieje 0
> taka, Ňe dla dowolnego
− I
(
;
+
)
mamy
|
(
)
− |
(
)
; krtko
>
0
>
0
(
−
;
+
)
I
:
|
(
)
−
(
)
|
;
jest to tzw.
JeŇeli funkcja jestciĢgþa w dowolnym punkcie
, to mwimy, Ňe s
.
Twierdzenie. s
(
)
(
=1
))
(
)
(
)
(
)
=
:
(
)
(
(
)
(
1
sj
Dowd. ZaþŇmy, Ňe funkcja jest ciĢgþa w punkcie w sensie CauchyÓego i
niech
(
=1
,
Chcemy sprawdzię, Ňe
. WeŅmy 0
(
)
(
)
> i
niech 0
> bħdzie taka, jak w definicji CauchyÓego. PoniewaŇ
, zatem istnie-
.
ZaþŇmy teraz, Ňe jest ciĢgþa w punkcie w sensie Hejnego. Chcemy spraw-
dzię warunek CauchyÓego. Rozumujemy nie wprost. PrzypuĻęmy, Ňe istnieje 0
−
;(
+
)
dla 0
0 >
takie, Ňe dla dowolnego 0
> istnieje punkt
(
)
(
−
;
+
)
I
taki, Ňe
|
(
(
−
))
(
)
|
>
. BiorĢc
= , dostajemy punkt
1
+
−
1
;
1
I
taki,
0
Ňe
(|
)
−
(
)
|
>
0
. Mamy wiħc ciĢg
taki, Ňe
; sprzecz-
(
)
(
)
noĻę.
WþasnoĻci funkcji ciĢgþych
WþasnoĻci (1)Î(4) wynikajĢ natychmiast ze stosownych wþasnoĻci ciĢgw.
1. s R
s
2.
:
R
s
+
s
3.
:
R
s
s
4.
:
R
sj
(
)
0
s
35
i piszemy krtko
je 0 takie, Ňe
56269535.004.png 56269535.005.png 56269535.006.png
5.
:
sj R
sjj
:
R
s
:
=
)
j
o s
sss
Dowd bħdzie podany pŅniej.
Z wþasnoĻci 1Î6 wynika (Ęwiczenie), Ňe:
7. sjss
8. s
:
:
R
s
[
]
<
(
)
(
)
(
(
);
(
))
s
(
)
(
)
=
jj
sjs sjj )
( s jj
Niech
:
=
{
[
;
]
:
(
)
<
}
. OczywiĻcie
[
]
oraz, wobec ciĢgþoĻci ,
jeŇeli
0 , to
[ 0
0
+]
dla pewnego 0
> . Niech
sup
: = . JeŇeli
ɴ
, to wobec ciĢgþoĻci
(
, a stĢd
)
(
)
(
)
. W szczeglnoĻci,
<
. Nie moŇe byę
(
)
<
, bo wtedy nie byþoby supremum zbioru . Ostatecz-
nie
(
)
=
j
jsssjj
sýatwo sprawdzię (Ęwiczenie), Ňe jeŇeli ±
Przykþad zastosowania wþasnoĻci Darboux.
:
R
R
, to ±
(
)
. IstniejĢ wiħc
punkty
, R , takie, Ňe
,
<
(
)
<
0
,
(>
)
0
. Teraz na podstawie wþasnoĻci
Darboux, istnieje
takie, Ňe
0
(
;
)
( 0 =
)
0
.
9. j sss
[:
;
]
R
s
([
;
])
=
[
;
]
jjjj ]
[ s
Dowd. Niech
= ( +
:
sup
([
;
])
) i niech
)( 1
= bħdzie taki,
[
;
]
( . Na podstawie twierdzenia BolzanoÎWeierstrassa istnieje podciĢg
zbieŇny =1
)
(
. Niech
. OczywiĻcie
0
. Wobec ciĢgþoĻci w
[ 0
;
]
punkcie 0 mamy
(
, a stĢd
)
(
0
)
= . Analogicznie traktujemy
( 0
)
= (Ęwiczenie).
:
inf
([
;
])
Granica funkcji
jest koıcem prze-
dziaþu . Mwimy, Ňe ma w punkcie s (gdzie
Definicja. Niech
:
R
i niech
lub
;[
−
+
]
36
6.
Ňe
;[
+
]
), jeŇeli dla dowolnego ciĢgu
(
=1
takiego, Ňe
> ( N
) i
, mamy
(
)
; piszemy wtedy
lim
(
)
=
+
oczywiĻcie nie moŇna liczyę granicy prawostronnej w prawym koıcu przedziaþu .
Ponadto, jeŇeli −
=
, to granica jest zawsze prawostronna i piszemy
=
(
Analogicznie, mwimy, Ňe ma w punkcie s (gdzie
]
;[
+
), jeŇeli dla dowolnego ciĢgu
(
=1
takiego, Ňe
< ( N
) i
, mamy
(
)
; piszemy wtedy
=
−
(
)
oczywiĻcie nie moŇna liczyę granicy lewostronnej w lewym koıcu przedziaþu . Po-
nadto, jeŇeli +
=
, to granica jest zawsze lewostronna i piszemy
=
(
JeŇeli w punkcie ma obie granicy jednostronne i sĢ one rwne, to mwimy,
Ňe ma w punkcie i piszemy
=
(
)
;
rwnowaŇnie: dla dowolnego ciĢgu
(
=1
takiego, Ňe
( N
) i
( .
MoŇemy teraz podaę inne (rwnowaŇne) okreĻlenie granicy funkcji w punkcie
(definicjħ granicy funkcji wedþug CauchyÓego)
)
Definicja. Niech
:
R
i niech
. Funkcja ma w punkcie
jeŇeli dla dowolnej liczby 0
> , istnieje pewna liczba 0
> , Ňe dla wszystkich , ta-
kich, Ňe
|
−|
<
, speþniona jest nierwnoĻę
|
(
)
−|
<
.
Twierdzenie.
s
=
(
)
(
)
jjsjjjss
s
Klasyfikacja punktw nieciĢgþoĻci
. PrzypuĻęmy, Ňe nie jest ciĢgþa w punkcie
Wtedy mamy nastħpujĢce moŇliwoĻci:
Niech
:
R
i niech i
37
−
lim
− )
−
lim
lim
+ )
lim
, mamy
lim
j
Obie granicy jednostronne
lim
(
)
,
lim
(
)
istniejĢ i sĢ skoıczone. W
−
+
szczeglnym przypadku, gdy
lim
(
)
= +
lim
(
)
=
moŇemy funkcjħ uciĢglię
−
zmieniajĢc jej wartoĻę w punkcie na (punkt jest wtedy tzw. nieciĢgþoĻciĢ usu-
walnĢ funkcji ), np.
(
)
=
1
dla
0
, 0
.
=
0
dla
=
0
j
Obie granicy jednostronne
lim
(
)
,
lim
(
)
istniejĢ, ale jedna z nich jest
−
+
1
dla
0
nieskoıczona, np.
(
)
=
, 0
.
=
0
dla
=
0
j
KtraĻ z granic jednostronnych
lim
(
)
,
lim
(
)
nie istnieje, np.
−
+
sin
1
dla
0
(
)
=
, 0
.
=
0
dla
=
0
Twierdzenie.
:
R
s
lim
(
)
=
sup{
(
)
:
,
<
}
,
−
lim
(
)
=
inf{
(
)
:
,
>
}
.
+
sjjs
lim
(
)
lim
(
)
sssj
−
+
lim
(
)
(
)
lim
(
)
−
+
jj
ssjjsj
jjjj
Dowd. Jest oczywiste, Ňe −
s )
(
lim
−
(
)
sup{
(
)
:
,
<
}
=
:
, oraz Ňe
− . Niech teraz
(
)
,
< WeŅmy 0
. Z definicji supremum wyni-
>
ka, Ňe istnieje punkt
< taki, Ňe
)
(
> −
−
. Niech 0 bħdzie takie, Ňe
dla 0
. Wtedy
(
)
−
(
)
>
−
dla 0
, co dowodzi, Ňe
)
(
−
.
38
56269535.007.png 56269535.001.png
W analogiczny sposb dowodzimy, Ňe
lim
(
)
=
inf{
(
)
:
,
>
}
.
+
JeŇeli nie jest ciĢgþa w punkcie , wtedy mamy np.
− , co
= −
lim
(
)
<
(
)
oznacza, Ňe zbir )
ma ádziurħÑ
(
[
− . Podobnie, gdy =
;
(
))
(
)
< +
lim
(
)
= , to mamy dziurħ
+
( +
(
);
]
.
WþasnoĻci granic funkcji
10.
=
(
)
lim
(
(
))
=
0
11.
lim
(
)
=
lim
(
)
=
lim
(
(
)
+
(
))
=
+
j
sjj
−
12.
lim
(
)
=
lim
(
)
=
lim
(
(
)
(
))
=
j
sjj
0
13.
lim
(
)
=
lim
(
)
=
j
(
)
0
lim
(
)
=
jsjj 0
0
(
)
Takie same wyniki dotyczĢ rwnieŇ granic jednostronnych.
Ęwiczenia.
lim 0
sin
=
1
.
lim 0
−
1
=
1
.
39
lim
56269535.002.png 56269535.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin