klucz_final_matematyka.pdf

IX Dolno ś l ą ski Konkurs Matematyczny

ETAP FINAŁOWY

„zDolny Ś l ą zak Gimnazjalista” 2008/2009

Schemat punktowania

1. Zakładamy, Ŝe x ¹ 0, y ¹ 0 i x ¹ y . MnoŜąc obie strony równania przez xy ( x – y )

otrzymujemy: y ( x – y ) – x ( x – y ) = xy , czyli xy – y 2 – x 2 + xy = xy czyli x 2 + y 2 = xy .

MnoŜąc obie strony przez 2 otrzymujemy:

2 x 2 + 2 y 2 = 2 xy

x 2 + y 2 + x 2 – 2 xy + y 2 = 0

x 2 + y 2 + ( x – y ) 2 = 0

Ostatnia równość jest spełniona jedynie wówczas, gdy x = y = x – y = 0, ale to jest

sprzeczne z wcześniej sformułowanymi załoŜeniami. Nie istnieje para liczb spełniająca to

równanie.

Punktacja

· (1 pkt) Zapisanie załoŜeń: x ¹ 0, y ¹ 0 i x ¹ y

· (1 pkt) PomnoŜenie obu stron równania przez xy ( x – y ) i doprowadzenie do postaci :

y ( x – y ) – x ( x – y ) = xy

(1 pkt) Doprowadzenie do postaci x 2 + y 2 = xy

(1 pkt) Przekształcenie do postaci x 2 + y 2 + ( x – y ) 2 = 0

· (1 pkt) Analiza otrzymanej równości (jest spełniona jedynie wówczas, gdy x = y = x

– y = 0)

(1 pkt) Porównanie z załoŜeniami i wniosek, Ŝe nie istnieje para liczb spełniająca to

równanie.

2. Rozwiązanie przeprowadźmy w kilku krokach:

> n 30 jest liczbą 29-cyfrową, więc n < 10.

> suma cyfr liczby n 30 jest równa 99, więc n = 3 lub n = 6 lub n = 9

> odrzucamy n = 6, bo n 30 jest nieparzysta

> 3 30 ma w rozwinięciu dziesiętnym cyfrę jedności równą 9

> n = 9.

Punktacja

· (1 pkt) Ustalenie, Ŝe n < 10.

(1 pkt) Obliczenie sumy cyfr liczby n 30

(1 pkt) Ustalenie, Ŝe n = 3 lub n = 6 lub n = 9

(1 pkt) Odrzucenie n = 6

· (1 pkt) Obliczenie, Ŝe 3 30 ma w rozwinięciu dziesiętnym cyfrę jedności równą 9

· (1 pkt) Odpowiedź: n = 9.

3. Szukana liczba ma postać: 100 M + 10 x + y . Zachodzi równość

100 M + 10 y + x = 0,9(100 M + 10 x + y )

100 M + 10 y + x = 90 M + 9 x + 0,9 y

10 M + 9,1 y – 8 x = 0

80 x – 100 M = 91 y

Lewa strona dzieli się przez 10, więc prawa teŜ, a to znaczy, Ŝe y = 0

80 x – 100 M = 0

4 x = 5 M

Prawa strona dzieli się przez 5, więc lewa teŜ, a to oznacza, Ŝe x = 5

5 M = 20

M = 4

Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest 450.

(1 pkt) Zapisanie szukanej liczby w postaci 100 M + 10 x + y .

· (1 pkt) Zapisanie równości 100 M + 10 y + x = 0,9(100 M + 10 x + y )

· (1 pkt) Doprowadzenie do postaci 80 x – 100 M = 91 y

(1 pkt) Analiza otrzymanej równości i stwierdzenie, Ŝe 4 x = 5 M

(1 pkt) Ustalenie, Ŝe x = 5 i M = 4

(1 pkt) Odpowiedź (Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest 450).

4. PrzedłuŜmy odcinek XP do przecięcia się z okręgiem w

punkcie T oraz odcinek YP do przecięcia się z okręgiem

w punkcie W . Łuki, na których opierają się kąty wpisane

AXT i WYB wypełniają cały półokrąg i jeszcze po części

na siebie nachodzą. Mamy więc

AXP +

PYB =

AXT +

WYB , ale

AXT = 0,5 ·

AOT ,

WYB = 0,5 ·

WOB , więc

AXP +

PYB =

= 0,5(

AOT +

WOB ) = 0,5(

AOW +

WOT +

WOB ) = 0,5(180º +

WOT ) = 90º + 0,5 ·

WOT >

> 90º

Punktacja

(1 pkt) Sporządzenie rysunku z oznaczeniami.

(1 pkt) Uzupełnienie półokręgu do pełnego okręgu i poprowadzenie przedłuŜeń

odcinków XP i YP

· (1 pkt) Zapisanie związków:

AXT = 0,5 ·

AOT i

WYB = 0,5 ·

WOB

(1 pkt) Przekształcenie do postaci:

AXP +

PYB = 0,5(

AOW +

WOT +

WOB )

(1 pkt) Wykorzystanie faktu, Ŝe

AOW +

WOB = 180º

· (1 pkt) Wniosek, Ŝe

AXP +

PYB > 90º

5. W trójkącie prostokątnym o

przyprostokątnych a i b i

przeciwprostokątnej c mamy:

( a – b ) 2

0, czyli a 2 – 2 ab + b 2

Punktacja

●

0, a

poniewaŜ a 2 + b 2 = c 2 , więc mamy c 2

2 ab . Wykorzystując ponownie a 2 + b 2 = c 2 otrzymujemy c 2 + c 2

a 2 + b 2 + 2 ab , czyli 2 c 2

( a + b ) 2 , a stąd a + b

c 2 .

Mamy więc

= (

) (

)

= (

)

= 2

Punktacja

· (1 pkt) Zapisanie nierówności ( a – b ) 2

(1 pkt) Doprowadzenie do nierówności c 2

2 ab .

c 2 .

· (1 pkt) Zapisanie stosunku obwodów w postaci

(

(1 pkt) Doprowadzenie do nierówności a + b

) (

)

· (1 pkt) Wykorzystanie nierówności a + b £ c 2 .

· (1 pkt) Wyłączenie 2 za nawias i skrócenie.

6. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a .

Rozpatrzmy dwie moŜliwości:

1º Istnieje ściana sześcianu, do której naleŜą trzy

wierzchołki czworościanu.

Wówczas moŜna przyjąć, Ŝe te trzy wierzchołki

wyznaczają podstawę ostrosłupa, której pole jest równe

1 a 2 , zaś wysokość jest równa a , czyli objętość kaŜdego z

takich czworościanów jest równa 3

1 · 2

1 a 2 · a = 6

1 a 3 .

2º Nie istnieje ściana sześcianu, do której naleŜą trzy wierzchołki czworościanu.

Przyjmujmy, Ŝe do kaŜdej ściany sześcianu naleŜy co najwyŜej jeden wierzchołek

czworościanu. Niech A będzie jednym z wierzchołków czworościanu. NaleŜy on do

trzech ścian sześcianu: ABCD , ABFE , ADHE . Na trzy pozostałe wierzchołki

czworościanu pozostają tylko dwa punkty: G i C .

Wobec tego istnieje ściana sześcianu, do której naleŜą dwa wierzchołki czworościanu.

Niech będzie nią ABCD .

a) Niech będą one końcami krawędzi sześcianu – np. A i B . Wówczas trzeci

wierzchołek czworościanu nie moŜe być Ŝadnym z punktów C , D , E , F (byłby to trzeci

wierzchołek na jednej ścianie sześcianu). Tak więc moŜe być nim jedynie G , a

czwartym – H , ale punkty A , B , G , H leŜą na jednej płaszczyźnie. Ten przypadek nie

moŜe więc zajść.

b) Niech będą one końcami przekątnej ściany ABCD – np. A i C . Trzeci wierzchołek

musi leŜeć na ścianie EFGH . Jeśli jest nim E lub G , to czwartym musi być H lub F i

wówczas mamy to, co w 1º. Niech więc trzecim będzie H . Wówczas czwartym moŜe

być jedynie F .

V ACFH = a 3 – V ABCF – V ADCH – V HEFA – V HGFC = a 3 – 4 · 3

1 · 2

1 · a · a · a = a 3 – 3

2 a 3 =

1 a 3 .

= 3

Największa objętość ma ten z ostrosłupów, którego dwa wierzchołki są końcami

przekątnej jednej ściany, a dwa pozostałe – końcami przekątnej skośnej to tej i leŜącej na

równoległej ścianie.

(1 pkt) Za kompletność rozwaŜanych przypadków.

· (1 pkt) Za spostrzeŜenie, Ŝe wszystkie czworościany opisane w przypadku 1º mają tę

samą objętość i obliczenie tej objętości.

· (1 pkt) Za wyeliminowanie moŜliwości, Ŝe do kaŜdej ściany sześcianu naleŜy co

najwyŜej jeden wierzchołek czworościanu.

(1 pkt) Za rozpatrzenie przypadku 2º a)

· (1 pkt) Za rozpatrzenie przypadku 2º b)

· (1 pkt) Za porównanie objętości i odpowiedź

Punktacja

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: