02.2 - Twierdzenie Tolle'a i Lagrange'a.pdf - Zadania - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

WydziałWILi,BudownictwoiTransport,sem.1

drJolantaDymkowska

TwierdzenieRolle’aiLagrange’a

Zad.1Sprawd¹,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaRolle’awpodanychprzedziałach:

1.1f(x)=x 3 +4x 2 −7x−10−1 6 x 6 2 1.2f(x)=lnsinx 6 6 x 6 5 6

1.3f(x)= 4 −arctg|x| −1 6 x 6 1

Zad.2Nieznajduj¡cpochodnejfunkcjif(x)=(x+1)(x−2)(x−4)(x−5)obliczilo±¢pierwiastkówrównania

f 0 (x)=0ipodajprzedziały,wktórychonele»¡.

Zad.3Sprawd¹,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaLagrange’awpodanychprzedziałach:

3.1f(x)=x−x 2 −2 6 x 6 1 3.2f(x)=arctgx0 6 x 6 1

Zad.4ZastosujtwierdzenieLagrange’adofunkcjif(x)=arctgxnaprzedziale −1, p 3 .Wyznaczodpowiednie

punkty.

Ró»niczkazupełna

x +arcsin 1 x 5.2f(x)=ln e 2 x +1 −2arctge x

5.3f(x)=(x 2 +9)arctg x 3 −3x

p x 2 − 1

Zad.6Oblicz,korzystaj¡czró»niczkizupełnej,przybli»on¡warto±¢wyra»enia:

6.1ln(1,02) 6.2 3 p 8,12 6.3arctg(1,01) 6.4e − 0 , 05

6.5arcsin(0,505) 6.6 1

p 8 , 99

WzórTaylora

Zad.7NapiszwzórTaylorarz¦dundlafunkcjif(x)wotoczeniupunktux 0 :

7.1f(x)=arcsinxn=1,x 0 =0 7.2f(x)=xcosxn=3,x 0 =0

7.3f(x)=x 2 x n=1,x 0 =1 7.4f(x)=ln(x 2 +x−2)n=2,x 0 =2

Zad.8NapiszwzórMaclaurinadlafunkcjif(x):

8.1f(x)=4sinxcosx 8.2f(x)=e 3 x 8.3f(x)= 1

p 1 −x

Zad.5Wyznaczró»ni czkiz upełnefunkcji:

5.1f(x)=

Zad.9NapiszwzórTayloradlafunkcjif(x)wotoczeniupunktux 0 :

9.1f(x)=cosxx 0 = 2 9.2f(x)=e 2 x x 0 =1 9.3f(x)= 1 x x 0 =−1

Zad.10Wielomianf(x)=x 4 −5x 3 +x 2 −3x+4przedstawjakosum¦pot¦gdwumianux−4.

Zad.11Oszacujbł¦dywzorówprzyblo»onych:

11.1e x 1+x+ x 2

2 + x 3

24 0 6 x 6 1

6 |x| 6 0,1

11.3 p 1+x1+ x 2 − x 2

8 |x| 6 1 4

6 + x 4

11.2tgxx+ x 3

02.2 - Twierdzenie Tolle'a i Lagrange'a.pdf