11.2 - Funkcje wielu zmiennych.pdf - Zadania - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

WydziałWiLi,Budownictwo,sem.2

drJolantaDymkowska

Funkcjewieluzmiennych-pochodnecz¡stkowe

Zad.1Napodstawiedeﬁnicjiobliczy¢pochodnecz¡stkowerz¦dupierwszegofunkcjifwpunkcieP:

1.1f(x,y)=x 2 +y 2 ,P(1,2) 1.2f(x,y)=ysinx,P(0,)

Zad.2Obliczy¢pochodnecz¡stkowerz¦dupierwszego:

2.1f(x,y)=x 4 +y 4 −4x 2 y 2 2.2f(x,y)=8+y x

2.3f(x,y)=ln(x 2 +y 2 ) 2.4f(x,y)=arctg y x

2.5f(x,y)=(1+xy) y 2.6f(x,y)=sin 2 y x +cos 2 x y

2.7f(x,y)=e − y 2 x 2.8f(x,y)=arcsin(xy 2 )+ln(3x−y)

2.9f(x,y,z)=xy 2 z 3 −ysinz 2.10f(x,y,z)=x yarctgz

2.11f(x,y,z)= y x

2.12f(x,y,z)= p xy(3x+2z)

p yz

Zad.3Obliczy¢pochodnecz¡stk owerz¦d upierwszegowpunkcieP:

3.1f(x,y)=x+y− p x 2 +y 2 ,P(3,4) 3.2f(x,y)=y 2 sin3x,P(0,)

3.3f(x,y,z)=xy 2 +yz 2 +xz,P(1,−1,1)

Zad.4Obliczy¢pochodn ecz¡stk owerz¦dudrugiego:

4.1f(x,y)= p x 2 +y 2 4.2f(x,y)=xye xy

4.3f(x,y)=e y sinx 4.4f(x,y)=arctg x+y

4.5f(x,y)=ln(4x 2 +2y 4 +1) 4.6f(x,y)=xsin(x+y)+e y

4.7f(x,y,z)=x y +z 4.8f(x,y,z)=zcos(x 2 +y 2 )

Zad.5Sprawdzi¢,czyfunkcjauspełniarównanie:

5.1u(x,y)=ln(e x +e y ), @u

@x + @u

@y =1

5.3u(x,y)=2cos 2 y− x 2 , 2 @ 2 u

@x 2 +2 @ 2 u

@x@y =0

@x 2 + @ 2 u

@x@y =0

5.4u(x,y)=xsiny+ysinx, @ 2 u

@x 2 + @ 2 u

@y 2 =−u

@y =(x+y+lnu)u

5.6u(x,y,z)= p x 2 +y 2 +z 2 , @u

@x +y @u

2 +

+ @u

2 =1

5.7u(x,y,z)= x y

z y , x @u

@x +y @u

@y +z @u

@z =0

Zad.6Napisa¢równaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(x,y)wpunkcieP 0 :

6.1f(x,y)=x y , P 0 (2,4,16)

6.2f(x,y)=yln(2+x 2 y−y 2 ), P 0 (2,1,z 0 )

6.3f(x,y)= arcsinx

− 1 2 ,

p 3

2 ,−1

6.4f(x,y)=e xcosy , P 0 1,, 1 e

6.5f(x,y)=sinxcosy, P 0 4 , 4 , 1 2

5.2u(x,y)=arctg(2x−y), @ 2 u

5.5u(x,y)=x y y x , x @u

arccosy , P 0

Zad.7Napisa¢równaniepłaszczyznystycznejdopowierzchniz=x 4 −3y 2 ,którajestrównoległadopłaszczyzny

:4x+12y−z−5=0.

Zad.8Napisa¢równaniepłaszczyznystycznejdopowierzchniz=1+x 2 +y 2 ,którajestprostopadładoprostej

l:3x=2y=z.

Zad.9Wyznaczy¢ró»niczkizupełnefunkcji:

9.1f(x,y)=ln(y+ p x 2 +y 2 ) 9.2f(x,y)=tg y 2

9.3f(x,y)=e x 2 +y 2

9.4f(x,y,z)=(xy) z

Zad.10Obliczy¢df(1,0),je»elif(x,y)=ln(x 2 +y 2 ).

Zad.11Obliczy¢df(1,2,1),je»elif(x,y,z)= z

x 2 +y 2 .

Zad.12Korzystaj¡czró»niczkizupełnejobliczy¢warto±¢przybli»on¡wyra»enia:

12.1 p (1,06) 2 +(1,97) 3 12.21,95e 0,02

12.30,98ln1,01 12.4(1,03) 3,01

12.5arctg 0,02

1,99

12.6ln( p 1,04+ 4 p 0,96−1)

(1, 01) 3 +(2,99) 2 12.8sin28 cos61

12.9 p (1,04) 1,99 +ln(1,02) 12.101,002·(2,003) 3 ·(2,996) 3

12.7 (1,01) 3 −(2,99) 2

11.2 - Funkcje wielu zmiennych.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: