Zadania_Matma_IV.pdf
(
164 KB
)
Pobierz
913762 UNPDF
Cwiczenia z rachunku prawdopodobienstwa { zadania
PWSZ - Elblag
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1
Niech 6= ; bedzie przestrzenia zdarzen elementarnych dla pewnego ekspe-
rymentu losowego, jego podzbiory A nazywamy zdarzeniami. Udowod-
nic, ze w algebrze zdarzen zachodza:
prawa rozdzielnosci
A\ (B[C) = A\B[A\C
A[B\C = (A[B) \ (A[C)
prawa de Morgana
(A[B)
{
= A
{
\B
{
(A\B)
{
= A
{
[B
{
oraz
A[A\B = A
A\ (A[B) = A.
Uwaga. A, B, C sa zdarzeniami.
Zadanie 2
Uproscic wyrazenia
(A[B)\(A
{
[B
{
) ; (A[B)\(A
{
[B) ; (A[B)\(A[B
{
)\(A
{
[B) ;
gdy A, B, C sa zdarzeniami ustalonej przestrzeni .
Zadanie 3
Na rysunkach przedstawiono obwody elektryczne.
1
Niech A
i
oznacza zdarzenie polegajace na tym, ze przepali sie i{ty ele-
ment. Opisz zdarzenie, ze z zacisku poczatkowego Z
p
przeplynie prad do
zacisku koncowego Z
k
(dla kazdego ukladu), uzywajac zdarzen A
i
.
(a)
(b)
A
1
Z
p
t
A
1
A
2
Z
k
Z
p
Z
k
A
2
(c)
A
2
A
4
Z
p
t
A
1
Z
k
A
3
A
5
(d)
A
1
A
4
A
5
Z
p
t
A
2
Z
k
A
3
A
6
A
8
A
7
(e)
A
1
A
2
Z
p
t
A
5
A
6
Z
k
A
3
A
4
2
t
t
t
t
t
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 4
Sciany drewnianego szescianu pomalowano na stalowy kolor, a nastepnie
pocieto go na 1000 takich samych szescianikow, ktore potem dobrze wymie-
szano. Oblicz prawdopodobienstwo, ze losowo wybrany szescianik ma
(a) 2 sciany w tym samym stalowym kolorze, a 4 pozostale sa w kolorze
wnetrza,
(b) wszystkie swoje sciany w tym samym kolorze.
Zadanie 5
Cyfry 1, 2, 3, ::: , 9 zapisane sa na roznych kartkach. Wybieramy losowo
(bez zwracania) po kolei dwie z nich i zapisujac je w kolejnosci losowa-
nia (od lewej do prawej), tworzymy liczbe dwucyfrowa. Jakie jest praw-
dopodobienstwo, ze bedzie to liczba
(a) podzielna przez 2,
(b) podzielna przez 3?
Zadanie 6
Losowo wybrany numer telefoniczny zawiera 7 cyfr. Jakie jest prawdopodo-
bienstwo, ze
(a) wszystkie cyfry sa rozne,
(b) numer sklada sie tylko z cyfr nieparzystych,
(c) kazda cyfra nieparzysta wystapi w numerze tylko raz,
(d) kazda cyfra nieparzysta wystapi w numerze co najmnej raz?
3
Zadanie 7
Rzucamy dwiema kostkami szesciennymi (klasycznymi). Oblicz prawdopo-
dobienstwo, ze iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest
(a) podzielny przez 2,
(b) podzielny przez 5.
Zadanie 8
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w losowo wzietej permutacji ciagu liczb
(1; 2;:::;n), liczby parzyste nie zmienia swojej starej pozycji?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 9
Uczestniczysz w turnieju szachowym, w ktorym wystepuje 7 szachistow lep-
szych od ciebie i 8 slabszych. Zawodnikow podzielono losowo na 4 cztero{
osobowe grupy. Jakie jest prawopodobienstwo, ze przejdziesz do drugiej
rundy, jezeli z kazdej grupy do dalszej rundy przechodzi tylko zwyciezca
grupy? Jak zmienia sie twoje szanse, gdy do drugiej rundy przechodzi z
kazdej grupy pierwszy i drugi szachista?
Zadanie 10 (Paradoks kawalera de Mere )
Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki
przy rzucie 4 kostek, czy co najmniej raz dwoch jedynek na obu kostkach
przy 24 rzutach obu kostek?
Zadanie 11 (Zadanie Samuela Pepysa )
Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej jednej szostki
w 6 rzutach kostka, co najmniej dwoch szostek w 12 rzutach, czy co najmniej
trzech szostek w 18 rzutach?
4
Zadanie 12 (Paradoks kawalera de Mere )
Jest to przyklad wyboru wlasciwego modelu dla opisu zjawiska. Przy rzucie
trzema kostkami sume 11 i 12 oczek mozna otrzymac na tyle samo sposobow.
Dlaczego czesciej wypada suma 11 oczek?
Zadanie 13
Wsrod dziesieciu losow trzy sa wygrywajace. Kupilismy 5 losow. Obliczyc
prawdopodobienstwo, ze wsrod nich znajduje sie:
(a) jeden los wygrywajacy,
(b) dwa losy wygrywajace,
(c) trzy losy wygrywajace.
Zadanie 14
Winda jedzie 8 osob, a kazda moze wysiasc na jednym z dziesieciu poziomow.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na pewnym pietrze wysiadzie wiecej niz
jedna osoba?
Zadanie 15*
Zestaw sniadaniowy sklada sie z 6 kubkow i 6 talerzykow, z ktorych po dwa
sa odpowiednio w kolorach bialych, czerwonych i oletowych. Gospodyni
losowo ustawila je na stole. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze kazda para
(kubek/talerzyk) jest roznokolorowa?
Zadanie 16*
(a) W m ponumerowanych urnach umieszczono w sposob losowy n jed-
nakowych kul. Obliczyc prawdopodobienstwo tego, ze w pierwszej
urnie jest n
1
kul, w drugiej n
2
kul, ::: , w m{tej urnie n
m
kul, gdzie
n
1
+ n
2
+ + n
m
= n i n
j
0.
(b) W m urnach (bez numeracji, tzn. ich porzadek jest nieistotny) umiesz-
czono w sposob losowy n jednakowych kul. Obliczyc prawdopodobien-
stwo tego, ze dla zadanego zbioru parami roznych liczb fk
1
;k
2
;:::;k
m
g,
gdzie 0 k
j
i k
1
+k
2
++k
m
= n, liczebnosci kul w urnach pokrywaja
sie z k
j
.
Jak zmieni sie problem, gdy kule ponumerujemy (pokolorujemy na rozne
kolory)?
5
Plik z chomika:
elzit
Inne pliki z tego folderu:
Tabelki z rozkladem T-studenta.zip
(825 KB)
kwadraty.zip
(178 KB)
Zadania_Matma_IV.pdf
(164 KB)
001.pdf
(1162 KB)
Inne foldery tego chomika:
Dokumenty
Elektronika i energoelektronika
Informatyka
Język angielski
Metody numeryczne i symulacje komputerowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin