PAc5.pdf

PRZYK Š AD 1

LINIE PIERWIASTKOWE

² Transmitancja otwartego uk“adu sterowa-

nia z rys. 1 dana jest wzorem

D ( s ) = k¢ 1

s (2+ s ) 3 ;k¸ 0 :

Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny uk“adu sterowania.

² Wyznacz przebieg linii pierwiastkowych

uk“adu zamkniƒtego.

² Przy jakiej warto–ci wmocnienia k uk“ad

ten osi¡ga ’granicƒ stabilno–ci’?

² Dla jakiego wzmocnienia k transmitancja

uk“adu zamkniƒtego charakteryzuje siƒ

podw ó jnym biegunem s = ¡ 0 : 5?

k¢ ˜ G 0 ( s )= k¢ N ( s )

² Transmitancja uk“adu otwartego nie po-

siadaj¡c sko«czonych zer ( m =0)ma

cztery ( n =4)bieguny: p 1 =0oraz

p 2 = p 3 = p 4 = ¡ 2.

² Linie pierwiastkowe d¡»¡ zatem ku czte-

rem asymptotom o k¡tach § 45 ± i § 135 ± .

² Pocz¡tkowy punkt owych asymptot

¾ ® =(3 ¢ ( ¡ 2) ¡ 0) = 4= ¡ 1 : 5 :

² Ten fragment linii pierwiastkowych, w

kt ó rym przebiegaj¡ one wzd“u» osi rzeczy-

wistej, zajmuje odcinek [-2, 1]. Mo»emy

oczekiwa¢ dw ó ch punkt ó w odej–cia linii

pierwiastkowych od tej osi.

² Punkty odej–cia wyznaczamy, rozwi¡zu-

j¡c r ó wnanie

N ( s ) D 0 ( s ) ¡N 0 ( s ) D ( s )=0

przy czym:

N ( s )=1oraz D ( s )= s (2+ s ) 3 :

² Rozwa»ane r ó wnanie ma posta¢

(2+ s ) 2 (1+2 s )=0 :

St¡d otrzymujemy punkty odej–cia:

s d 1 = ¡ 0 : 5oraz s d 2 = ¡ 2 :

Jak “atwo zauwa»y¢ (por. rys. 2)

s d 2 = p 2 ; 3 ; 4 :

Rysunek 2: Przyk“ad 1: linie pierwiastkowe.

² Krytyczn¡ warto–¢ wzmocnienia ¯ k , przy

kt ó rej uk“ad zamkniƒty znajduje siƒ na

’granicy stabilno–ci’, wyznaczymy na

podstawie r ó wnania charakterystycznego

tego uk“adu:

k + s (2+ s ) 3 = k +8 s +12 s 2 +6 s 3 + s 4 =0 :

² Analizuj¡c pierwsz¡ kolumnƒ stosownej

tablicy Routha skojarzonej z tym r ó w-

naniem

s 4 1 12 k

s 3 6 8

s 2 10 : 6667 k

s 1 8 ¡ 0 : 5625 k

s 0 k

stwierdzamy, i» uk“ad zamkniƒty jest sta-

bilny przy

0 <k< ¯ k =14 : 222 :

² Pulsacjƒ niet“umionych drga« ! n dla

krytycznej warto–ci ¯ k =14 : 222oblicza-

my w oparciu o pomocnicze r ó wnanie,

uzyskane z badanej tablicy Routha:

¯ ks 2 +10 : 10 : 6667=0 :

Na tej podstawie, otrzymujemy

! n =2 = p 3rad ¢ s ¡ 1 :

² Wzmocnienie, przy kt ó rym transmitan-

cja uk“adu zamkniƒtego posiada podw ó j-

ny rzeczywisty biegun

s = s d 1 = ¡ 0 : 5

obliczamy ze wzoru (warunku amplitu-

dowego)

¯ ¯ ¯ ¯ s = ¡ 0 : 5

k = 1

=1 : 6875 :

˜ G 0 ( s )

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: