aislab-cf(1).pdf

(1083 KB) Pobierz
Wydzia³ Elektryczny
Laboratorium Teorii Sterowania
Wydział Elektryczny
Zespół Automatyki (ZTMAiPC)
LABORATORIUM TEORII STEROWANIA
Ćwiczenie 2
CF
Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
1. Cel ćwiczenia
Zapoznanie się z charakterystykami częstotliwościowymi podstawowych członów
dynamicznych.
Przeprowadzenie pomiarów charakterystyk częstotliwościowych członów zrealizowanych w
formie obwodów elektrycznych.
Nabycie umiejętności wyznaczania parametrów transmitancji członów na podstawie
charakterystyk częstotliwościowych.
2. Podstawy teoretyczne
Jedną z podstawowych metod określania właściwości układów dynamicznych jest wyznaczanie
ich charakterystyk częstotliwościowych. Charakterystyka częstotliwościowa opisuje odpowiedź
układu na wymuszenie harmoniczne (sinusoidalne) o częstotliwości zmieniającej się w określonym
zakresie (charakter fizyczny sygnału wejściowego i wyjściowego może być różny).
Sygnał harmoniczny jest szczególnie przydatny jako sygnał testowy z kilku powodów:
każdy sygnał (skończony lub okresowy) może być wyrażony jako suma sygnałów sinusoidalnych
o różnych częstotliwościach (rozkład sygnału na szereg Fouriera),
odpowiedź stacjonarnego stabilnego układu liniowego na wymuszenie sinusoidalne jest sinusoidą
o tej samej częstotliwości,
przebieg sinusoidalny jest łatwy do wygenerowania,
sygnały robocze w wielu układach są (przynajmniej w pewnym zakresie) harmoniczne.
Dwa pierwsze fakty wskazane powyżej oraz zasada superpozycji sprawiają, że odpowiedź
liniowego układu stacjonarnego na dowolne wymuszenie można wydedukować na podstawie jego
charakterystyki częstotliwościowej (dla przykładu, jakość sygnału wyjściowego wzmacniacza audio
ocenia się na podstawie jego charakterystyki częstotliwościowej, chociaż sygnały dźwiękowe nie są
sinusoidalne). Przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza w praktyce więcej informacji na
temat zachowania się układu w różnych warunkach niż pojedyncza charakterystyka czasowa (np.
odpowiedź impulsowa), chociaż w sensie teoretycznym są one równoważne.
2.1. Charakterystyka amplitudowa i fazowa
Jeżeli na wejście liniowego układu dynamicznego podamy sygnał sinusoidalny
x
(
t
)
X
m
cos(
t
x
)
(2.1)
to po zaniknięciu procesów przejściowych na wyjściu układu otrzymamy również sygnał sinusoidalny
y
(
t
)
Y
m
cos(
t
y
)
(2.2)
f [rad/s], ale w ogólności o innej amplitudzie i fazie
( Rys.2.1) , przy czym zmiana amplitudy i fazy sygnału po przejściu przez układ jest różna dla różnych
Ćwiczenie 2 (CF) – Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
- 1 -
o tej samej częstotliwości kołowej (pulsacji)
 
Laboratorium Teorii Sterowania
. Jeżeli zmiany amplitudy i fazy zarejestruje się dla wejściowego sygnału harmonicznego o
częstotliwości nastawianej w szerokim zakresie (teoretycznie w zakresie 0
), to otrzymamy
charakterystyki częstotliwościowe układu:
  charakterystyka amplitudowa A (
) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do
amplitudy sygnału wejściowego ( wzmocnienie układu) w funkcji częstotliwości
:
A
(
)
m
X
(
)
(2.3)
(
)
m
  charakterystyka fazowa
) jest to przesunięcie fazowe (podawane w stopniach lub radianach)
sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości
(
:
(
)
x
(
)
y
(
)
(2.4)
) ma wartość ujemną .
Jednostki wzmocnienia zależą od tego, w jakich jednostkach wyrażane są wartości sygnałów. Jeżeli
wielkością wyjściową jest np. temperatura, a wejściową napięcie, to wzmocnienie może być
podawane w [
Jeżeli sygnał wyjściowy jest opóźniony w stosunku do wejściowego (jak na Rys.2.1) , to
przesunięcie fazowe
(
C/V].
Przy zdejmowaniu charakterystyki częstotliwościowej amplituda sygnału wejściowego jest zwykle
utrzymywana na stałym poziomie X m (
)= X m =const.
x ( t )
LINIOWY UKŁAD
DYNAMICZNY
G ( s )
y ( t )
X m
Y m
x ( t )
y ( t )
t ϕ
=
/
T /2
0
t
t y =
y /
t x =
x /
Rys.2.1. Sygnał harmoniczny przed i po przejściu przez liniowy układ dynamiczny.
Przesunięcie fazowe
= t ϕ
/( T /2)
180
jest ujemne
2.2. Związek charakterystyk częstotliwościowych z transmitancją układu
Jeżeli znany jest model matematyczny liniowego układu dynamicznego w postaci transmitancji
operatorowej G ( s ), to na podstawie G ( s ) można wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe układu.
W tym celu określa się tzw. transmitancję widmową :
G
(
j
)
G
(
s
)
|
Y
(
j
)
(2.5)
s
j
X
(
j
)
Transmitancja widmowa jest szczególnym przypadkiem transmitancji operatorowej obliczanej na osi
urojonej s = j
- 2 -
Ćwiczenie 2 (CF) – Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
wartości
Y
na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (oznacza to zastosowanie zespolonego
przekształcenia Fouriera zamiast przekształcenia Laplace’a). Stosując zespolone przekształcenie
79822731.012.png 79822731.013.png 79822731.014.png
Laboratorium Teorii Sterowania
Fouriera transmitancję widmową można otrzymać bezpośrednio z charakterystyki impulsowej g ( t )
układu:
G
(
j
)
g
(
t
)
e
j
t
dt
(2. 6)
Transmitancję widmową jako wielkość zespoloną można przedstawić (w układzie współrzędnych
biegunowych) w postaci moduł-argument:
G
(
j
)
|
G
(
j
)
|
e
j
arg
G
(
j
)
(2. 7)
jest charakterystyką
amplitudową układu, a zależność argumentu od częstotliwości – charakterystyką fazową :
)
) od częstotliwości
A
(
)
|
G
(
j
)
|,
(
)
arg
G
(
j
(2. 8)
Z tego względu G ( j
) nazywa się też charakterystyką widmową układu.
Rzeczywiście, jeżeli wejściowy sygnał harmoniczny x ( t )= X m cos
t , to jego transformata Laplace’a
s
X
(
s
)
X
. Sygnał wyjściowy
y ( t )= Y m (
)cos[
t +
(
)] jest przesunięty w fazie, a jego
m
s
2
2
transformata
Y
(
s
)
Y
(
)
s
cos
(
)
sin
(
)
(korzysta się ze znanego wzoru na cosinus sumy
m
s
2
2
dwóch kątów). Przyjmując we wzorze definicyjnym G ( s )= Y ( s )/ X ( s ), że s = j
i pamiętając że exp( jx )=
cos x + j sin x , otrzymujemy:
G
(
j
)
Y
m
(
)
e
j
(
)
(2.9)
X
m
Jeżeli charakterystykę widmową zapisze się w formie część rzeczywista-część urojona (w układzie
współrzędnych prostokątnych):
G
(
j
)
Re[
G
(
j
)]
j
Im[
G
(
j
)]
P
(
)
jQ
(
)
,
(2. 10)
to charakterystyki częstotliwościowe określone są zależnościami:
A
(
)
P
2
(
)
Q
2
(
)
,
(
)
arc
tg
Q
(
)
(2. 11)
P
(
)
.
Jeżeli układ dynamiczny jest minimalnofazowy , tzn. wszystkie zera opisującej go transmitancji
G ( s ) leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s , to charakterystyki amplitudowa i fazowa
układu są ze sobą powiązane. Stanowią one odpowiednio część rzeczywistą i część urojoną funkcji
)
)
0 dla
ln
G
(
j
)
ln
A
(
)
j
(
(2. 12)
gdzie ln A jest wzmocnieniem wyrażanym w neperach . Charakterystyki amplitudowej i fazowej układu
minimalnofazowego nie można kształtować niezależnie od siebie.
2.3. Sposoby wykreślania charakterystyk częstotliwościowych
Pierwszym ze sposobów przedstawiania właściwości częstotliwościowych układu jest wykres
parametryczny (względem parametru
(tzw. hodograf ), a jego punkty spełniają zależności (2.8) i
(2.10). Procedury komputerowe wyznaczające charakterystykę na podstawie transmitancji mogą
rysować wykres również dla ujemnych wartości
) przy zmianie
od 0 do
W takim przypadku połowa wykresu dla
<0 jest
symetrycznym odbiciem względem osi rzeczywistej hodografu dla
>0 (ze względu na symetrię funkcji
G ( j
), Rys.2.2) . Ponieważ wykres zawiera informacje zarówno o wzmocnieniu jak i o przesunięciu
Ćwiczenie 2 (CF) – Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
- 3 -
Zależność modułu transmitancji widmowej G ( j
Ze względu na tłumienie charakterystyki układów rzeczywistych dążą do początku układu
współrzędnych G ( j
) jego transmitancji widmowej na płaszczyźnie zespolonej
nazywany wykresem Nyquista . Jest on linią zakreślaną na płaszczyźnie zespolonej przez koniec
wektora G ( j
79822731.001.png
Laboratorium Teorii Sterowania
fazowym, nazywa się go charakterystyką amplitudowo-fazową . Niejawny rozkład częstotliwości
wzdłuż linii określa się przez podanie jej wartości w ważniejszych punktach (np. w punktach
przecięcia wykresu z osiami współrzędnych).
Innym sposobem wykreślania charakterystyki amplitudowo-fazowej jest tzw. wykres Nicholsa
A = f (
), w którym na osi OX odkłada się przesunięcie fazowe
(
), a na osi OY – wzmocnienie A (
)
w skali logarytmicznej.
j Im[ G ( j
)]
<0
P (
)
=0
(
)
Re[ G ( j
)]
-
A (
)
jQ (
)
G ( j
)
ω 2
>0
Rys.2.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquista) na płaszczyźnie zespolonej
Przykład 1: Transmitancja operatorowa układu RC (Rys.2.3), w którym jako sygnał wejściowy
traktujemy napięcie u 1 ( t ), a jako sygnał wyjściowy napięcie u 2 ( t ), jest transmitancją członu
inercyjnego I rzędu:
G
(
s
)
U
2
(
s
)
k
,
gdzie
T
RC
,
k
1
(2.13)
U
(
s
)
1
Ts
1
Transmitancja widmowa członu:
G
(
j
)
k
k
j
k
T
,
(2.14)
1
j
T
1
2
T
2
1
2
T
2
gdzie:
P
(
)
k
,
Q
(
)
k
T
. Po przejściu do układu współrzędnych biegunowych
1
2
T
2
1
2
T
2
zgodnie z zależnościami (2.11) dostajemy wzory określające charakterystyki amplitudową i fazową:
A
(
)
P
2
Q
2
k
,
(
)
arc
tg
Q
arc
tg
T
(2.15)
2
2
P
1
T
a)
R
b)
j Im G
0
k
Re G
=
(
ω 0
)=-45
=0
C
U 1
U 2
A
(
0 k
/
2
G ( j
)
-jk /2
=1/ T
Rys.2.3. a) Obwód elektryczny RC o transmitancji członu inercyjnego I rzędu ( T = RC , k =1) i
b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista tego członu
- 4 -
Ćwiczenie 2 (CF) – Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
)
79822731.002.png 79822731.003.png 79822731.004.png
Laboratorium Teorii Sterowania
Większe znaczenie w praktyce mają charakterystyki częstotliwościowe wyznaczane w skali
logarytmicznej, nazywane charakterystykami Bodego (H.W. Bode – opracował metody projektowa-
nia wzmacniaczy ze sprzężeniem zwrotnym, 1945):
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa Lm (
określona zależnością:
) ( logarytmiczny moduł wzmocnienia ) jest
Lm
(
)
20
log
10
A
(
)
20
log
10
|
G
(
j
)
|
(2.16)
i podawana w decybelach [dB] wzmocnienia zdefiniowanego wzorem (2.3) w funkcji
częstotliwości przedstawionej w skali logarytmicznej,
) jest zależnością przesunięcia fazowego od
częstotliwości przedstawionej w skali logarytmicznej.
Para charakterystyk Bodego przedstawia zależność logarytmu wzmocnienia i przesunięcia
fazowego od częstotliwości w sposób jawny. Rys.2.4 pokazuje możliwe sposoby skalowania osi przy
wykreślaniu charakterystyki logarytmicznej (bardziej czytelne jest stosowanie na osi
(
logarytmicznej jak na wykresie a).
skali
a)
100
b)
40
30
10
20
A (
)
Lm (
)
10
[dB]
1
0
-10
0.1
0.1
1
10
100
-20
-1
0
1
2
log
Rys.2.4. Równoważne sposoby skalowania osi logarytmicznej charakterystyki amplitudowej
Tabela 1. Konwersja niektórych wartości do skali logarytmicznej i decybelowej
X (skala liniowa)
0.01 0.11.41 2.165 101.6 100 1000
log X (skala logarytmiczna)
-2
-1 0.15 0.3 0.5 0.7 1.5
2
3
20log X [dB]
-40 -20
0
3 6.02 10 140000
Przykład 2: Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa członu inercyjnego I rzędu o transmitancji
(2.13) jest określona wzorem:
Lm
(
)
20
log
A
(
)
20
log
k
20
log
k
10
log(
1
2
T
2
)
(2.17)
2
2
1
T
Charakterystyka fazowa jest określana jak poprzednio, ale wykreśla się ją również z logarytmiczną
skalą na osi częstotliwości. Częstotliwość
0 =1/ T nazywa się punktem załamania charakterystyki
(Rys.2.5).
Zalety charakterystyk logarytmicznych
A. Logarytmiczna skala wzmocnienia umożliwia wyznaczanie charakterystyki wypadkowej układów
połączonych kaskadowo (szeregowo) przez dodawanie (algebraiczne lub graficzne) charakterystyk
układów składowych . Rzeczywiście, jeżeli charakterystyki widmowe układów składowych oznaczymy
przez G 1 ( j
) i G 2 ( j
), to charakterystyka wypadkowa
G
(
j
)
G
1
(
j
)
G
2
(
j
)
|
G
1
|
|
G
2
|
exp
j
(
1
2
)
(2.18)
Ćwiczenie 2 (CF) – Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych
- 5 -
logarytmiczna charakterystyka fazowa
79822731.005.png 79822731.006.png 79822731.007.png 79822731.008.png 79822731.009.png 79822731.010.png 79822731.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin