Matura 2008 Matematyka rozszerzona - odp.pdf

(318 KB) Pobierz
untitled
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE
DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU!
Miejsce
na naklejkę
MMA-R1_1P-082
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
MAJ
ROK 2008
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 18stron
(zadania 1 – 12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający
przed rozpoczęciem pracy
KOD
ZDAJĄCEGO
PESEL ZDAJĄCEGO
2
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. ( 4 pkt )
Wielomian f , którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia
warunek (0) 90
f = . Wielomian g dany jest wzorem ( )
gx x
= −+−. Wykaż,
3
14
x
2
63 90
że () ( )
gx
=− − dla x R
f x
∈ .
y
f
1
-6
-5
-3
0
1
x
Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji f i zapisuję jej wzór w postaci
iloczynowej () ( 6)( 5)( 3)
f xax x x
=+ + + .
Funkcja spełnia warunek (0) 90
f = , czyli (0 6)(0 5)(0 3) 90
a + ++= .
Obliczam współczynnik a :
a = i zapisuję wzór funkcji f :
1
f xx x x
() ( 6)( 5)( 3)
=+ + + .
Wzór funkcji f zapisuję w postaci :
fx x
( )
= + + + .
3
14
x
2
63 90
x
−−=−− + − + −+ =
( ) ( ) ( ) ( )
⎡
x
3
14
x
63
x
90
⎤
⎣
⎦
=− − + − + =
⎡
x
3
14
x
2
63 90
x
⎤
=− + −=
x
3
14
x
2
63 90
x
g x
( )
Zatem ( ) ( )
−−= dla x R
∈ .
x
f x
2
⎣
⎦
f xgx
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
3
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność
x
−+ −< .
23 6
x
x
363 2
−=⋅ − , więc nierówność przyjmuje postać : 42
x
x
− < .
Rozwiązanie nierówności :
⎧ −−<− ∈ ∞
⎪ −−< ∈
42 y , 0
42 y , 2
( )
x
x
x
( )
( )
)
⎨
⎪
x
x
x
⎩
4
( )
x
−< ∈∞
2
x
gdy
x
2,
)
⎪
⎪
x
>
8
gdy
x
∈ −∞
( )
,0
3
8
⎨
⎪
⎪
x
>
gdy
x
∈
0, 2
)
5
8
x
<
gdy
x
∈ ∞
2,
)
⎩
3
W przedziale ( )
−∞
,0
nierówność nie ma rozwiązania.
Rozwiązaniem nierówności w przedziale )
0, 2 są liczby rzeczywiste należące do
przedziału
⎛ ⎜ ⎝ ⎠ , natomiast rozwiązaniem nierówności w przedziale )
2,∞ są
liczby rzeczywiste należące do przedziału
2,
8
⎠ .
3
Rozwiązaniem nierówności
x
− +−< , jest więc przedział
23 6
x
x
⎛ ⎜ ⎝ ⎠ .
x
x
⎧
8 ,2
5
88
53
 
4
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (5 pkt)
Liczby 1 53
x =+ i 2 53
x =− są rozwiązaniami równania ( ) ( )
x
2
− + + + =
pqx pq
2
0
z niewiadomą x . Oblicz wartości p i q .
Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej :
( ) ( )
x
53 530
x
przekształcam je do postaci ogólnej
( ) 2 530
x −−=
x
2
−+=
Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że
muszą być spełnione równocześnie dwa warunki :
pq
2
+ = i
2
10
p += .
2
⎨
pq
pq
2
+=
2
10
2
Rozwiązuję układ równań
⎩
+=
Dokonuję podstawienia :
q
=− i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną
2
p
niewiadomą :
p
2
−−= .
230
Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby :
p = lub
1
3
p =− .
1
Obliczam wartości q w zależności od p :
Dla
p = ,
3
q =− , natomiast dla
1
1
p = − ,
2
1
q = .
2
3
2
−− ⋅ −+ =
10 2 0
2
1
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
5
Zadanie 4. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
2
x
= + w przedziale 0, 2π .
4sin 1
x
Przekształcam równanie : ( )
4 1 sin
− = +
2
x
4sin 1
x
4sin
2
x
+ −=
4sin 3 0
x
Wprowadzam pomocniczą niewiadomą sin x t
= i
t ∈ − , i zapisuję równanie
1,1
2 4430
+ −= .
t
Rozwiązaniem tego równania są liczby :
t = lub
1
1
2
t = − ,
3
2
t ∉− .
2
1,1
Powracam do podstawienia i otrzymuję :
sin
x = .
1
2
Rozwiązuję równanie
sin
x = w przedziale 0, 2π :
1
x
= lub
π
x
= .
5
6
π
2
6
4cos
t
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin