2010.07_Transformator idealny-Wykład1.pdf

Elektronika dla informatyków

(nie tylko) dla informatyków

Elementy i układy elektroniczne

Transformator idealny – Wykład 1

Transformator zazwyczaj kojarzy się z cew-

kami. Rzeczywiście, klasyczny transformator

to dwie cewki, umieszczone blisko siebie.

Schemat transformatora zazwyczaj rysuje się

w postaci jak na rysunku 1 , choć spotyka się

też inne sposoby rysowania schematu trans-

formatora, zwłaszcza transformatora (prze-

kładnika) idealnego. W szkole rozważane

jest pojęcie indukcyjności wzajemnej,

strumienia skojarzonego i inne zagad-

nienia, które wiążą transformatory z

cewkami. I to wszystko jest prawdą.

Jednak przy poznawaniu elemen-

tarnych właściwości transformatora

wiązanie go z cewkami i ich właści-

wościami powoduje więcej kłopotu

i zamieszania niż pożytku. Otóż zjawiska

i problemy, występujące w rzeczywistych

transformatorach o różnym przeznaczeniu, są

dość skomplikowane i trudne do pełnej anali-

zy. Początkujący po prostu się w tym gubią.

Dlatego my na początek spróbujemy podejść

do transformatorów inaczej, znacznie proś-

ciej, a dopiero potem będziemy analizować

trudniejsze zasady i szczegóły.

Transformator idealny

(przekładnik)

Najpierw podstawowa zasada: działanie trans-

formatora polega na tym, że prąd zmienny,

ściślej przemienny, przepływa przez uzwo-

jenie pierwotne i wytwarza zmienne pole

magnetyczne i strumień magnetyczny. To

zmienne pole magnetyczne (zmienny stru-

mień) indukuje napięcie w uzwojeniu wtór-

nym. Uzwojeniem pierwotnym nazywamy to,

które dołączone jest do źródła energii, a do

wtórnego dołączone jest obciążenie.

Ponieważ podstawą działania są zmiany

pola magnetycznego, transformator nie może

pracować przy prądach i napięciach stałych .

W praktyce przy analizie ograniczamy się do

pracy z przebiegami sinusoidalnymi, choć

w zasadzie transformatory mogą pracować i

pracują z przebiegami przemiennymi o róż-

nych kształtach.

Zacznijmy od transformatora idealnego.

Otóż taki idealny transformator, zwany czę-

sto przekładnikiem, możemy sobie wyobrazić

jako zestaw dwóch cewek o nieskończenie

wielkiej indukcyjności, zerowych stratach, i

co ważne, cewki te muszą być umieszczo-

ne tak blisko siebie, że pole

magnetyczne jest wspólne dla

obu cewek. Jeślibyśmy spełnili

takie warunki, otrzymalibyśmy

transformator idealny, którego

właściwości... nie mają żadne-

go związku z cewkami .

W takim transformatorze

nie ma żadnych strat,

więc cała moc jest prze-

kazywana z wejścia na

wyjście. Napięcia i prądy

zależą wyłącznie od stosunku liczby

zwojów uzwojenia wtórnego i pierwot-

nego. Nazwijmy przekładnią p stosunek

liczby zwojów uzwojenia wtórnego n 2

do liczby zwojów uzwojenia pierwotnego n 1

( p = n 2 /n 1 ). I właśnie przekładnia p decyduje

o wszystkim, i to w beznadziejnie prosty spo-

sób. Mianowicie przy takim zdefiniowaniu

przekładni, wystarczy zapamiętać prościutkie

zasady:

1. Napięcie wyjściowe (wtórne) jest p-krotnie

większe od wejściowego (pierwotnego).

2. Prąd wyjściowy (wtórny) jest p-krotnie

mniejszy od wejściowego (pierwotnego).

3. Rezystancja jest transformowana w sto-

sunku p 2 .

Pierwsza zasada jest łatwa do intuicyjnego

zaakceptowania: otóż

nn 1

U=p * U

nn 1

nn 2

U=p * U

nn 2

Rys. 1

p p =

nn 2

p p =

nn 1

Rys. 2

Rys. 3

p p =

transformator

RR L

uzwojenie

pierwotne

wtórne

pierwotne

wtórne

x-zwojów

y-zwojów

x-zwojów

napięcie jest wprost pro-

porcjonalne do liczby zwojów , więc czym wię-

cej zwojów w uzwojeniu wtórnym, tym wyż-

sze jest napięcie wyjściowe. Jeśli

przyjęliśmy, że przekładnia p to

stosunek liczby zwojów uzwoje-

nia wtórnego do pierwotnego (p

= n 2 /n 1 ), to taka sama zależność

obowiązuje dla napięć:

p = U 2 /U 1

Napięcie wyjściowe obliczamy

wtedy:

U 2 = p * U 1

Ilustruje to rysunek 2 . Gdy

napięcie wtórne jest mniejsze od

pierwotnego (gdy p<1), mówi-

my o transformatorze obniżają-

cym – rysunek 2a. Jeśli zwojów

w uzwojeniu wtórnym jest wię-

cej niż w pierwotnym, napięcie

wyjściowe będzie większe od

wejściowego – mamy transfor-

mator podwyższający – 2b.

Transformator nie ma ściśle określonego

wejścia i wyjścia, więc można go „odwrócić”,

jak pokazuje rysunek 3 , i z obniżającego uzy-

skać podwyższający (a także odwrotnie), co

oznacza zmianę przekładni z p na 1/p .

Transformator nie jest ani źródłem ener-

gii, ani nawet magazynem energii. Możemy

powiedzieć, że cała moc dostarczana ze źródła

zasilania jest na bieżąco przekazywana do

obciążenia – patrz rysu-

nek 4a . W transforma-

torze idealnym nie ma

żadnych strat, więc moc

P 1 = U 1 *I 1 pobierana ze

źródła jest równa mocy

P 2 = U 2 *I 2 dostarczanej

do obciążenia. A jeśli

tak, to prąd pobierany ze

źródła zasilania (mające-

go napięcie U 1 ) wynosi:

I 1 = P 1 /U 1

Ale ponieważ P 1 = P 2 =

U 2 *I 2 , możemy napisać:

I 1 = P 2 /U 1 = U 2 *I 2 / U 1

a to oznacza, że:

I 1 /I 2 = U 2 /U 1 = N 2 /N 1 = p

Zależności te ilustruje

rysunek 4b . Można także

przedstawić te same zależ-

Rys. 4

. .

P U I = P U I

PUI=PUI

21 1

22 2

RR L

II 1

nn 1

nn 2

II 2

II 1

RR L

p p =

nn 1

U=p * U

I=p * I

nn 1

nn 2

II 2

RR L

UU 1

= p

UU 2

p p =

nn 2

Lipiec 2010

Elektronika dla Wszystkich

Elektronika

(nie tylko) dla informatyków

U =p * U

nn 1

nn 2

2 1 1

2 2 2

U =p * U

nn 2

I =p * I

nn 1

Elektronika dla informatyków

II 1

nn 1

nn 2

II 2 =0

II 1

Zupełnie począt-

kujący czasem pyta-

ją, skąd transforma-

tor wie, jakie mają

być prądy i jaką moc

ma „przepuścić”?

Otóż transformator

niczego nie musi

wiedzieć. Najprościej można

to wyjaśnić tak: podstawo-

wa zależność to (1) stosunek

napięć, wyznaczony przez

stosunek liczby zwojów obu

uzwojeń, czyli przekładnię p .

Tak więc w pierwszej kolej-

ności mamy do czynienia z

transformacją napięć. A jeśli napięcie wtórne

U 2 jest określone przez przekładnię, to (2)

prąd wtórny I 2 zależy tylko od rezystancji

obciążenia. Natomiast (3) prąd pierwotny I 1

popłynie taki, żeby moc pobierana ze źródła

była w całości dostarczana do obciążenia.

Czyli po prostu prąd pierwotny dostosowu-

je się do obciążenia R L .

Koniecznie trzeba też zrozumieć i zapa-

miętać, jakie ma to znaczenie z punktu

widzenia oporności. Spróbujmy odpowie-

dzieć na pytanie, jaką oporność (rezystan-

cję) „widzi” źródło zasilania, do którego

podłączony jest transformator obciążony

rezystancją R L ? Zacznijmy od tego, że

zastępcza rezystancja obciążenia, „widzia-

na” przez źródło, określona jest przez sto-

sunek napięcia i prądu. Z prawa Ohma

wynika, że R = U/I. Źródło E widzi obcią-

żenie z rysunku 6 jako rezystancję R Z = U 1 /

I 1 . Podobnie jest przy prądach sinusoidalnie

zmiennych w naszym transformatorze.

Zacznijmy od oczywistego przypadku:

transformator idealny o przekładni p =1 jest

„przezroczysty”; sytuacja jest taka, jakby go

nie było – rysunek 7 . Czyli w sumie źródło

zasilania widzi taki transformator z obcią-

żeniem R L , po prostu jako rezystancję R L .

Jednak jeżeli transformator ma przekładnię

różną od jedności, wtedy źródło widzi taki

zestaw jako rezystancję o wartości większej

lub mniejszej niż R L .

Oto wyliczenie matematyczne: rezystan-

cja zastępcza R Z , widziana przez źródło syg-

nału, zawsze wynosi:

R Z = U 1 /I 1

Natomiast analogiczna zależność dla

rezystancji R L :

R L = U 2 /I 2

Interesuje nas stosunek:

II 1

Jak z tego wynika, rezystancja zostaje prze-

transformowana ze współczynnikiem 1/p 2 .

Mówimy potocznie, że

RR Z

w transformatorze

rezystancja transformuje się z kwadratem

przekładni .

Możemy to zapisać w innej postaci, bo

jeśli R Z /R L = 1/p 2 , to

R Z R L

p 2

Warto to poczuć i ująć intuicyjnie. Dwa

przypadki zilustrowane są na rysunkach 8

oraz 9 . Zwróć uwagę na wartości prądów.

Gdy transformator ma przekładnię p>1, czyli

gdy jest to transformator

obciążenie

p p =

nn 1

R Z

UU 1

II 1

Rys. 5

Rys. 6

Rys. 7

II 1

=I 2

nn 1

=n 2

II 2

II 1

=I 2

II 1

=I 2

RR L

RR Z

RR L

UU 1

=U 2

p = 1

R Z

UU 1 UU 2

II 1 II 2

=R L

podwyższający

napięcie, to rezystancja zastępcza R Z jest

p 2 razy mniejsza od rezystancji obciążenia

R L . Natomiast w obwodzie z transformato-

rem

ności liczbowe niejako w drugą stronę, jak poka-

zuje rysunek 4c .

Jak widać, podstawowym parametrem

transformatora jest przekładnia (stosunek

liczby zwojów), która zasadniczo określa

stosunek napięć, ale w konsekwencji także

prądów. Co bardzo ważne, dotyczy to zarów-

no stanu bez obciążenia, jak i przy obciążeniu

uzwojenia wtórnego rezystancją R L .

Tu ktoś może zapytać, jaką wartość ma

mieć rezystancja R L ?

Otóż w transformatorze idealnym może mieć

wartość dowolną! W transformatorze ide-

alnym (przekładniku) w sytuacji bez obcią-

żenia, czyli w tzw. stanie jałowym, żadne

prądy nie płyną. Ściślej: prąd pierwotny I 1

jest nieskończenie mały, a prąd wtórny na

pewno jest równy zeru, bo uzwojenie to nie

jest nigdzie podłączone. Przekładnia p decy-

duje, jakie jest napięcie na takim nieobciążo-

nym wyjściu – rysunek 5 . Prądy nie płyną,

ale napięcie wyjściowe występuje i transfor-

mator jest „gotowy” do pracy w warunkach

obciążenia. Jeśli teraz do wyjścia, czyli do

uzwojenia wtórnego dołączymy rezystancję

obciążenia R L , to popłynie przez nią prąd I 2 .

O jakiej wartości?

Na wyjściu cały czas będzie występować

napięcie U 2 , wyznaczone przez przekładnię p

(U 2 = p * U 1 ). Wartość płynącego prądu wtór-

nego będzie więc wyznaczona przez napięcie

U 2 i przez rezystancję R L :

I 2 = U 2 /R L

W ten sposób transformator dostarczy do

obciążenia moc:

P 2 = U 2 *I 2

Ta moc musi być pobrana ze źródła zasilania:

P 2 = P 1 = U 1 *I 1

Widać, że to obciążenie R L decyduje, jakie

będą prądy i moc przenoszone przez trans-

formator ze źródła energii do obciążenia.

Natomiast o napięciach decyduje napięcie

źródła U 1 i przekładnia p .

W transformatorze idealnym nie ma żad-

nych ograniczeń na moc, więc teoretycznie moc

przekazywana do obciążenia i prądy mogą być

dowolnie duże, czyli rezystancja R L dowolnie

mała. Jak widać, jedynym parametrem trans-

formatora idealnego jest przekładnia p .

napięcie (p<1) rezystancja

zastępcza jest większa (R Z >R L ).

W przypadku transformatorów zasilających,

dołączonych do sieci 230V ( fotografia 10 ), ta

obniżającym

p p =

II 2

II 1

I=p * I

RR Z

RR L

RR Z

RR L

pp 2

UU 2

2 * U 1

UU 1

II 1

UU 2

2U 1

I 2

RR L

UU 1

RR L

4U 1

II 1

2 2 *

II 2

RR L

Rys. 8

Rys. 9

I=p * I

p p =

II I

II 2

RR L

RR Z

UU 2

UU 1

R Z

UU 1

II 1

UU 2

UU 1

I 2

UU 1

RR L

2R L

R Z

=4R L

UU 1

4R L

II 1

II 2

2R L

4R L

RR L

RR Z

=4R L

pp 2

Fot. 10

U 1

I 1

U 2

I 2

a to oznacza że

R Z

R L Ƌ U 1

U 2 ƌ Ƌ I I 1 ƌ Ƌ p ƌ Ƌ p ƌ p 2

Elektronika dla Wszystkich

Lipiec 2010

nn 2

I =p * I

R =

I =p * I

= 4R L

R Z

R L

Elektronika dla informatyków

linia 100V

wzmacniacz

mocy

Rys. 13

Rys. 14

kie napięcie w linii albo musiałyby to

być głośniki o dużej oporności, albo trze-

ba zastosować transformatory – rysunek

13 . Dzięki transformatorom wzmacniacz i

linia „widzą” poszczególne głośniki „ przez

kwadrat przekładni transformatora

UU 2

=2,83V

Fot. 11

100V

UU 2

(2,83V) 2

=1W

”, a to

oznacza, że pomimo jednakowej oporności

głośników (8Ω), do każdego może zostać

dostarczona inna moc, zależnie od prze-

kładni, jak ilustruje to rysunek 14 . W

praktyce realizuje się takie transformatory

głośnikowe z odczepami, pozwalającymi

skokowo regulować moc dostarczaną do

głośnika – rysunek 15 . Zamiast jednak

podawać przekładnię, producenci od razu

podają przy odczepach moc w standardo-

wych warunkach przy linii 100V i głośniku

Rys. 12

przekładnia około 35:1

p=10

I =0,1 A

czyli p=0,0283

I=1 A

RR Z

RR L

UU 2

=8,94V

100k

100V

UU 2

( 8,94V) 2

=10W

1mV

R Z

=1k

1 A

przekładnia około 11:1

czyli p=0,0894

„rezystancyjna” zależność

nas wcale nie interesuje.

Napięcie wejściowe jest

niezmienne (230V) i w

ogóle nie mówimy wtedy

o przekładni i opornoś-

ciach, tylko interesuje nas

napięcie wyjściowe U 2 i

moc maksymalna, której na

razie nie omawiamy.

Omawiana „kwadratowa zależność rezy-

stancyjna” jest natomiast przydatna do obli-

czeń w obwodach akustycznych, gdzie też

pracują transformatory. Obliczanie trans-

formatorów wyjściowych do lampowych

wzmacniaczy audio to wyższa szkoła jazdy,

więc rozważmy łatwiejsze przypadki i to w

sposób uproszczony. Dobrym przykładem

może być podwyższający transformatorek

mikrofonowy – fotografia 11 . Użycie takie-

go transformatorka podwyższa napięcie syg-

nału z mikrofonu (a przy okazji pozwala

w prosty sposób zrealizować niskoszumny

wzmacniacz, ale to oddzielny, szeroki temat).

W idealnym przypadku mikrofon „widzi” ten

transformator podwyższający o przekładni

p=10, obciążony rezystancją 100k

, jak pokazuje przykład z fotografii 16

(gdzie także przewidziano współpracę z

linią 50-woltową).

I oto w najprostszy sposób omówili-

śmy elementarne właściwości idealnego

transformatora. Jeszcze raz podkreślam, że

wcale nie były do tego potrzebne

wiadomości o cewkach, przesu-

nięciach fazowych czy reaktan-

cjach. W idealnym transformato-

rze istotny jest tylko jeden para-

metr – przekładnia p . Żadne inne,

jak częstotliwość, indukcyjność,

moc, nie mają znaczenia.

Zupełnie początkującym

wystarczy takie bardzo uprosz-

czone podejście do transfor-

matorów. Jednak rzeczywiste

transformatory mają ograniczo-

ną moc, niedoskonałą spraw-

ność i mogą pracować tylko w

ograniczonym zakresie często-

tliwości. Żeby zrozumieć takie

ograniczenia, trzeba dokładniej

zapoznać się z transforma-

torem. Zajmiemy się tym w

następnym odcinku.

UU 2

=28,28V

100V

UU 2

(28,28V) 2

=100W

Rys. 15

przekładnia około 3,5:1

czyli p=0,2828

, jako

Fot. 16

oporność R Z =1kΩ – rysunek 12 .

Innym przykładem jest system nagłoś-

nienia z linią radiowęzłową, tzw. 100-wol-

tową. W warunkach nominalnych na tej linii

występuje sygnał audio o napięciu aż 100V.

Do takiej linii jest dołączonych wiele małych

głośników, które nagłaśniają duży obszar

albo szereg pomieszczeń. Z uwagi na wyso-

Piotr Górecki

R E K L A M A

Lipiec 2010

Elektronika dla Wszystkich

I =0,1 A

1 A

I =1 A

( 28,28V) 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: