Dynamics - A set of notes on theoretical physical chemistry 2003 - Steen, Range & York(1).pdf
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Dynamics: A Set of Notes on Theoretical Physical Chemistry
Jaclyn Steen, Kevin Range and Darrin M. York
December 5, 2003
1
Contents
1 Vector Calculus
6
1.1 Properties of vectors and vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Fundamental operations involving vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Linear Algebra 11
2.1 Matrices, Vectors and Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Transpose of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Unit Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Trace of a (Square) Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Inverse of a (Square) Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 More on Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 More on
[A,B]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.1 Laplacian expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.2 Applications of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 Generalized Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11 Symmetric/Antisymmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 Similarity Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.13 Hermitian (self-adjoint) Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.14 Unitary Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15 Comments about Hermitian Matrices and Unitary Tranformations . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.16 More on Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.17 Eigenvectors and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.18 Anti-Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.19 Functions of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.20 Normal Marices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.1 Real Symmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.2 Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.3 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.4 Orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21.5 Unitary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
CONTENTS CONTENTS
3 Calculus of Variations 22
3.1 Functions and Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Functional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Variational Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Functional Derivatives: Elaboration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 Algebraic Manipulations of Functional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.2 Generalization to Functionals of Higher Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.3 Higher Order Functional Variations and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 Integral Taylor series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.5 The chain relations for functional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.6 Functional inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Homogeneity and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.1 Homogeneity properties of functions and functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 Convexity properties of functions and functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.1 Problem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.2 Problem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3 Problem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3.1 Part A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3.2 Part B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.3 Part C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.4 Part D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3.5 Part E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4 Problem 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.1 Part F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.2 Part G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.4.3 Part H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.4 Part I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.5 Part J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.4.6 Part K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4.7 Part L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4.8 Part M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Classical Mechanics 40
4.1 Mechanics of a system of particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Newton’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Fundamental definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 D’Alembert’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Velocity-dependent potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Frictional forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Variational Principles 54
5.1 Hamilton’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Comments about Hamilton’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Conservation Theorems and Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
CONTENTS CONTENTS
6 Central Potential and More 61
6.1 Galilean Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Motion in 1-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.2 Generalized Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Classical Viral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5 Central Force Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6 Conditions for Closed Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.7 Bertrand’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.8 The Kepler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.9 The Laplace-Runge-Lenz Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Scattering 73
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Rutherford Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Rutherford Scattering Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.2 Rutherford Scattering in the Laboratory Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Collisions 78
8.1 Elastic Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Oscillations 82
9.1 Euler Angles of Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2 Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 General Solution of Harmonic Oscillator Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3.1 1-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3.2 Many-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.4 Forced Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.5 Damped Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10 Fourier Transforms 90
10.1 Fourier Integral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.2 Theorems of Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.3 Derivative Theorem Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.4 Convolution Theorem Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.5 Parseval’s Theorem Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11 Ewald Sums 95
11.1 Rate of Change of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 Rigid Body Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 Principal Axis Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 Solving Rigid Body Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Euler’s equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.6 Torque-Free Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.7 Precession in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.8 Derivation of the Ewald Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.9 Coulomb integrals between Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
CONTENTS CONTENTS
11.10Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.11Linear-scaling Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.12Green’s Function Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.13Discrete FT on a Regular Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.14FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.15Fast Fourier Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12 Dielectric 106
12.1 Continuum Dielectric Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.2 Gauss’ Law I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.3 Gauss’ Law II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.4 Variational Principles of Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.5 Electrostatics - Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.6 Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
13 Exapansions 115
13.1 Schwarz inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.2 Triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.3 Schmidt Orthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.4 Expansions of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.5 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.6 Convergence Theorem for Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.7 Fourier series for different intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.8 Complex Form of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.9 Uniform Convergence of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.10Differentiation of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.11Integration of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.12Fourier Integral Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.13M-Test for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.14Fourier Integral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.15Examples of the Fourier Integral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.16Parseval’s Theorem for Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.17Convolution Theorem for Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.18Fourier Sine and Cosine Transforms and Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
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