Matematyka - wzory.pdf

(1965 KB) Pobierz
Microsoft Word - Matematyka - wzory
POTĘGOWANIE
a m · a n = a m+n
a m : a n = a m-n (dla m>n ^ a ≠ 0)
(a m ) n = a m ⋅ n
(a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
(a/b) n = a n /b n (dla b ≠ 0)
a 0 =1
a a
a a
a a
a
PIERWIASTKOWANIE
ab a b
a
n
=⋅
=
n
n
UKŁADY RÓWNAŃ
ax by c
ax by c
W ab
⎩
+=
+=
n
m
( )
n m
a
1
1
1
n
a
b
a
b
a a
n
n
= = −
ab ab a b W
1
1
≠
0
1 1
1
n
=
n
n
m
=
mn
cb
cb cb c b x
W
W
W
= = −
=
X
1
X
1 1
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
xx
−
n
=
=
=
1 1
n
2
=
ac
ac ac a c y
W
W
n
1
()
()
n
m
W
= = −
=
Y
⎧
⎨
⎩
x gdy
x gdy
x
x
≥
<
0
0
Y
1
1
x
=
1 1
−
m
n
a
1
−
m
−
TRÓJMIAN KWADRATOWY
f(x)=ax 2 +bc+c
Δ =b 2 -4ac
Jeżeli Δ >0, wtedy:
x
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2 )
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ
BEZWZGLĘDNĄ
Równanie: ⎪ x-a ⎪ = b, oznacza, że
x-a = b ∨ x-a = -b.
Nierówność: ⎪ x-a ⎪ <b, jest spełniona ⇔ gdy:
x-a>-b ∧ x-a<b
Nierówność: ⎪ x-a ⎪ >b, jest spełniona ⇔ gdy:
x-a<-b ∨ x-a>b
= −−
= −+
b
Δ
Postać kanoniczna
fx ax p q
Postać iloczynowa
fx ax x x x
1
2
a
() ( )
=−+
2
b
Δ
x
2
2
a
() ( )( )
=− −
1
2
Jeżeli Δ =0, wtedy:
x
0 2
=−
b
a
Wzory redukcyjne :
sin(90 ° + α ) = cos α sin(180 ° + α ) = -sin α
cos(90 ° + α ) = -sin α cos(180 ° + α ) = -cos α
tg(90 ° + α ) = -ctg α tg(180 ° + α ) = tg α
ctg(90 ° + α ) = -tg α ctg(180 ° + α )= ctg α
sin(270 ° + α ) = -cos α sin(360 ° + α ) = sin α
cos(270 ° + α ) = sin α cos(360 ° + α ) = cos α
tg(270 ° + α ) = -ctg α tg(360 ° + α ) = tg α
ctg(270 ° + α )= -tg α ctg(360 ° + α ) = ctg α
Fukncje trygonometryczne sumy kątów :
( )
( )
( )
Funkcje trygonometryczne różnicy kątów :
( )
( )
( )
sin
αβ αβ αβ
αβ αβ αβ
αβ
−= −
−= +
−= −
+⋅
−=
sin cos cos sin
Współrzędne wierzchołka paraboli:
cos
cos cos sin sin
W
⎛
⎜
−−
b
aa
,
Δ
⎞
⎟
tg
1
tg tg
tg tg
αβ
αβ
24
ctg ctg
ctg ctg
αβ
β α
⋅ +
−
1
( )
Wzory Viete’a :
xx b
a
ctg
αβ
+=−
1
2
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego :
sin
xx c
a
⋅ =
+= +
⋅
sin
αβ αβ αβ
αβ αβ αβ
+= +
+= −
+= +
−⋅
+=
sin cos cos sin
22
2
α α α
α α α
=
= −
sin cos
12
cos
cos cos sin sin
cos
cos
2
sin
2
11
xx
xx
1 2
12
2
tg
tg
α
α
tg tg
tg tg
αβ
αβ
tg
xx
tg
αβ
2
α
=
2
1
2
1
−
1
TRYGONOMETRIA
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg α⋅ ctg α = 1
ctg
ctg
2
α
α
−
1
ctg
( )
ctg ctg
ctg ctg
αβ
αβ
⋅ −
+
1
ctg
2
α
=
2
cos
2
212
α α α
α
= −
= −
cos
2
sin
2
cos
sin
2
α
Funkcje tygonometryczne połowy kąta :
sin
Różnice funkcji trygonometrycznych :
Suma częściowa:
( )
α
1
−
cos
α α
1
+
cos
α
sin sin
αβ
− =
2
sin
α β α β
−
cos
+
Sa nn r
S aa n
=+ −
1
⋅
=±
, s
=±
2
2
2
2
2
2
n
1
2
znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której
ćwiartki należy α
2
αβαβ
− +
+
cos cos
αβ
− = −
2
sin
sin
1
n
=
⋅
2
2
n
2
( )
tg tg
αβ αβ
αβ
−=
sin
cos cos
sin
sin sin
−
CIĄG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w
którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały ⇒
a
a
α
1
−
cos
sin
α
α
α
1
+
cos
sin
α
α
⋅
tg
=
,
ctg
=
( )
2
2
βα
αβ
−
ctg ctg
αβ
− =
n
+
1
=
q
Sumy funkcji trygonometrycznych :
⋅
n
α β α β
+
−
sin sin
αβ
+ =
2
sin
cos
Wyraz ogólny ciągu: a n = a 1 ⋅ q n-1
Suma częściowa:
Sa q
2
2
CIĄGI LICZBOWE
CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg
liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest
stała ⇒ r =a n+1 - a n
a aa
n
αβ αβ
+
−
1
1
−
−
n
cos cos
αβ
+ =
2
cos
cos
2
2
q gdy q
Snayq
=⋅
,
≠
1
n
1
( )
αβ αβ
αβ
sin
cos cos
sin
sin sin
+
=⋅
,
=
1
tg tg
+=
+
n
1
⋅
Wyraz ogólny ciągu: a n = a 1 + (n-1)r
=
n
−
n
+
1
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:
S
( )
2
a
αβ
αβ
+
ctg ctg
αβ
+ =
=
1
,
dla q
<
1
1
−
q
⋅
=
n
αβ
1
129937455.001.png 129937455.002.png
POLA FIGUR PŁASKICH
Trójkąt:
S ah S ab
S ppapbpc p abc
Romb:
S hSa
S dd
=
=
2
sinα
LOGARYTMY
log
log log
log log log
xb a x
a
x y xy
x y x
y
xm x
axa x
=⇔ =
=
b
a
10 1
=⋅ =⋅ ⋅
1
2
,
1
2
sin
α
=
12
2
⋅
a
a
=
+ =
a
a
a
++
= − − − =
(
)(
)(
) ,
Trapez:
S ab h
2
log log log
− =
+
a
a
a
S = pr, p - połowa obwodu; r - pr. okręgu wpisanego
S
=
⋅
2
abc
R
, R - pr. okręgu opisanego
m
log
=⋅
=
log
= 4
Koło i okrąg:
S = Π r 2
a
a
abc
S
S
p
R
=
r
=
log
x
log
x
=
a
4
a
Trójkąt równoboczny:
S
a
2
3
a
3
STEREOMETRIA
Sześcian: V=a 3
Prostopadłościan: V=abh
Walec: V= Π r 2 h
Ostrosłup foremny: V=1/3a 2 h
Stożek: V=1/3 Π r 2 h, S-boczne= Π rl
Kula: V=4/3 Π r 3 , S=4 Π r 2
2p = 2 Π r
p - połowa obwodu
=
h
=
4
2
Pole wycinka koła:
S
Równoległobok:
S hS b
S dd
=
= ⋅
sin
α
=
α
360
° ⋅
Π
r
2
=
12
2
⋅
⋅
sin
α
Długość łuku koła:
l
α
180
Π
=
° ⋅
r
GEOMETRIA ANALITYCZNA
AB x x y y
AB x x
Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det):
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
PA nA
n
→
() ()
()
=− −
= − + −
[
2
1 2
,
1
]
S a b a b
aa a bb b
ab aa
det( , ) sin
[,] [,]
=
= ⋅ ⋅
α
=
Ω
(
) (
2
y y
)
Własności:
P( ∅ )=0
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
P(A) ≤ 1
P(A’)=1-P(A)
P(A ∪ B)=P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Symbol Newtona:
n
k
2
1
2
1
xy xy
x
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
yy
yy
r r
y
det( , )
=
bb ab ab
= −
−
−
xx
xx
−
−
xy yx
1
=
1
x
y
2
1
2
1
Iloczyn skalarny:
r o
Odległość punktu od prostej:
d
ab ab ab
r r r
=⋅ ⋅cos ( , )
p r r
=
Ax By C
AB
0
++
+
0
ab ab
aaa bbb
ab ab ab
0
[,] [,]
⎜ ⎞
⎟ =
n
knk
!
2
2
!(
−
)!
=
=+
Współczynnik kierunkowy:
a yy
xx
xy xy
Wariacje:
z powtórzeniami: Wn
n
r
−
−
k
=
=
2
1
xx yy
bez powtórzeń:
2
1
oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego
OKRĄG
Równanie okręgu:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2
x 2 +y 2 -2ax-2by+c=0
V
k =
n
nk
!
Warunek równoległości: A 1 B 2 = A 2 B 1
Warunek prostopadłości: ac = -1
n
(
−
)!
Prawdopodobieństwo warunkowe:
PAB
PA B
PB
(
∩
)
( )
=
()
Prawdopodobieństwo przyczyny:
PA PAB PB PAB PB PAB PB
() ( )() ( )().( ) ()
() ()()
()
= ⋅ + ⋅ + + +
1
1
2
2
n
n
tg tg
ctg ctg
α 0 0 5 0 0
0
− = −
−=
−=−
−=−
α α
α α
α α
α α
PBiA
=
PABi PBi
PA
⋅
o o o o o
Zdarzenie niezależne:
P(A ∩ B)=P(A) ⋅ P(B)
FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI
Funkcja różnowartościowa
x x fx fx
Funkcja rosn ca
x x fx fx
Funkcja malej ca
x x fx fx
Funkcja parzysta f x f x
Funkcja nieparzysta f x
sin
cos
tg
ctg
1
2
2
3
2
1
2
1
3
2
2
1
2
0
2
∧≠⇒ ≠
[(
1
2
) ( ( )
1
( ))]
2
0
3
3
1 3
31 0
−
xx
,
12
3
3
−
ą
∧<⇒ <
[
1
2
( )
1
( )]
2
xx
,
ą
I II III IV
∧<⇒ >
∧−=
∧−=−
[
1
2
( )
1
( )]
2
sin
cos
++ − −
+− − +
+− + −
+− + −
xx
,
:
( ) ( )
() ()
x
tg
ctg
f x
x
r r r r
r r
2
⎛
r r r o r
r r
r o
⊥⇔ =
=
sin( ) sin
cos( ) cos
()
( )
12
12
129937455.003.png 129937455.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin