Wielościan jest to bryła zbudowana ze skończonej ilości wielokątów płaskich, które spełniają następujące warunki;
1-każde dwa wielokąty mają bok albo wierzchołek wspólny, bądź nie mają żadnego punktu wspólnego,
2-każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym dla dwóch wielokątów,
3-każdy wierzchołek wielokąta jest tylko pojedynczym wierzchołkiem wspólnym dla co najmniej trzech wielokątów.
Wielokąty te nazywamy ścianami wielościanu, ich boki krawędziami, a ich wierzchołki narożami lub wierzchołkami wielościanu.
Wielościan zbudowany z przystających wielokątów foremnych nazywamy wielokątem foremnym.
Istnieje tylko pięć takich wielościanów , którymi są;
Czworościan, zbudowany z trójkątów równobocznych
Sześcian z kwadratów
Ośmiościan z trójkątów równobocznych
Dwunastościan z pięciokątów foremnych
Dwudziestościan z trójkątów równobocznych
Ostrosłup
to wielościan składający się z określonej liczby trójkątów o wspólnym wierzchołku
oraz wielokąta podstawy
Ostrosłup n-ścienny posiada n krawędzi podstawy oraz n krawędzi bocznych.
Spodek wysokości punkt S jest to punkt przebicia prostej prostopadłej do płaszczyzny podstawy wychodzącej z wierzchołka ostrosłupa. Jeżeli dodatkowo jest on środkiem okręgu opisanego na wielokącie podstawy to taki ostrosłup nazywamy prostym.
Ostrosłup prawidłowy jest to taki ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.
Czy potrafisz naszkicować ostrosłup prawidłowy czworościenny?
Graniastosłup jest to wielościan składający się z pewnej liczby równoległoboków oraz dwóch przystających do siebie wielokątów płaskich o ilości boków zgodnej z liczbą równoległoboków.
Równoległoboki tworzą ściany boczne graniastosłupa, a dwa wielokąty są podstawami graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest odległością pomiędzy płaszczyznami podstaw.
Jeżeli krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw graniastosłup nazywamy prostym. Ściany boczne są wtedy prostokątami
Graniastosłup prawidłowy jest to taki graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi.
Graniastosłup ,którego podstawy są prostokątami nazywamy prostopadłościanem, a taki którego podstawy są równoległobokami nazywamy równoległościanem.
Przekroje wielościanów płaszczyzną
Płaszczyznę przecinającą wielościan nazywamy płaszczyzną sieczną lub tnącą , a wynik przecięcia przekrojem.
Przekrojem nazywamy zbiór wszystkich punków wspólnych powierzchni wielościanu i płaszczyzny tnącej.
Przekrój jest wielokątem ,którego boki są krawędziami płaszczyzny siecznej ze ścianami wielościanu, a wierzchołki są punktami przebicia krawędzi wielościanu z płaszczyzną sieczną.
Spośród kilku sposobów wyznaczania przekrojów zajmiemy się tylko jednym najbardziej czytelnym, w którym
płaszczyzna sieczna znajduje się w położeniu rzutującym, lub też trzeba ją do takiego położenia sprowadzić poprzez transformacje.
Przeciąć ostrosłup dany swoimi rzutami płaszczyzną b .
Wierzchołki wielokąta przekroju są punktami przebicia krawędzi bocznych z płaszczyzną sieczną
Weźmy pod uwagę krawędź WA. punkt przebicia znajduje się w punkcie A1 ponieważ jest to jedyne
możliwe usytuowanie punktu należącego również do płaszczyzny a. Kolejne wierzchołki znajdujemy w ten sam sposób, a następnie łączymy je uzyskując wielokąt przekroju. rozwiązanie można zaznaczyć na dwa sposoby. Pierwszy z nich zakłada, że jedna z części bryły jest odrzucona, istnieje tylko teoretycznie. Wygrubiamy więc tylko pozostałą część uwzględniając jej widoczność. Drugi sposób zakłada, że powstała linia przenikania znajduje się na powierzchni wielościanu. Wówczas uwzględniamy widoczność całej bryły, linie znajdujące się na widocznych ścianach są widoczne ,linie na niewidocznych ścianach są niewidoczne
Znaleźć przekrój graniastosłupa płaszczyzną b podaną dwiema prostymi a i b
Poprzez transformację płaszczyzny siecznej do położenia rzutującego zadanie będzie można rozwiązać tak jak w przykładzie 1.Zakładamy oś x 13 prostopadle do rzutu poziomego prostej n ,prosta ta będzie w położeniu rzutującym w kolejnym rzucie, a zatem cała płaszczyzna będzie również rzutująca.. Bezpośrednio w rzucie trzecim uzyskujemy punkty przebicia krawędzi bocznych graniastosłupa z płaszczyzną sieczną.
Kolineacja
Pomiędzy płaszczyzną sieczną a przekrojem zachodzi związek kolineacji.
Kolineacja jest to współliniowe i wzajemnie jednoznaczne przekształcenie dwóch układów płaskich, w którym punkty sobie odpowiadające leżą na prostych przechodzących przez stały punkt zwany środkiem kolineacji.
Kolineacja środkowa dwóch układów płaskich jest określona jeżeli jest dane;
1-środek kolineacji
2-oś kolineacji
3-para punktów odpowiadających sobie w dwóch układach
Oś kolineacji jest zbiorem punktów stałych tzn. należących jednocześnie do obu układów. Proste i ich odpowiedniki w układzie drugim przecinają się w punktach stałych na osi kolineacji. Możemy tą zależność wykorzystywać w drugą stronę. Mianowicie znając punkt stały na osi kolineacji i jeden z punktów przekroju możemy narysować prostą na której leży bok przekroju.
Praktyczną korzyścią stosowania kolineacji jest możliwość sprawdzania poprawności już wykreślonych przekrojów , lub też ich tworzenie gdy znamy chociaż jeden punkt przekroju.
Powinowactwo
Szczególnym przypadkiem kolineacji jest powinowactwo, które zachodzi, gdy środek kolineacji jest punktem niewłaściwym. Taki związek między innymi istnieje pomiędzy podstawą a przekrojem graniastosłupa.
Powinowactwo jest określone jeżeli jest dane;
1-oś powinowactwa, która jest krawędzią pomiędzy płaszczyznami podstawy i przekroju,
2-para odpowiadających sobie punktów w obu układach, lub kierunek powinowactwa.
Zarówno kolineacja , jak i powinowactwo są związkami przestrzennymi i zachodzą we wszystkich rzutach.
Punkty przebicia wielościanów prostą
Dowolna prosta przebija wielościan w dwóch punktach, lub nie przebija go wcale.
Punkty przebicia można wyznaczyć bezpośrednio wtedy, gdy przebijane ściany są rzutujące.
Punkty przebicia graniastosłupów
Znaleźć punkty przebicia graniastosłupa prostą a
Zauważmy, że szukane punkty są punktami przebicia prostej z płaszczyzną rzutującą
W innych przypadkach należy przeprowadzić płaszczyznę pomocniczą przez daną prostą, następnie skonstruować przekrój wielościanu tą płaszczyzną i znaleźć punkty przecięcia z daną prostą. Znalezione punkty spełniają przynależność do prostej i do powierzchni wielościanu poprzez przynależność do jego przekroju
Na ogół używamy płaszczyzn rzutujących prowadzonych przez jeden z rzutów prostej, lub płaszczyzn przechodzących przez wierzchołek.. W graniastosłupie wierzchołek jest niewłaściwy co oznacza w praktyce równoległe położenie płaszczyzny pomocniczej do krawędzi bocznych graniastosłupa.
Skonstruować punkty przebicia graniastosłupa prostą. Wykorzystać rzutującą płaszczyznę pomocniczą
Znaleźć punkty przebicia prostą. Wykorzystać płaszczyznę pomocniczą przechodzącą przez wierzchołek niewłaściwy.
Punkty przebicia ostrosłupów
Znaleźć punkty przebicia ostrosłupa. Poprowadzić płaszczyznę pomocniczą jako rzutującą .
Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą. Poprowadzić płaszczyznę przez wierzchołek.
Przenikanie wielościanów
Linia przenikania jest to zbiór wszystkich punktów wspólnych obu powierzchni.
Na ogół jest ona wielokątem przestrzennym, którego wierzchołki są punktami przebicia krawędzi jednej bryły z drugą, a boki są krawędziami ścian. Czasami linia przenikania może się rozpadać na dwie lub więcej wielokątów.
Praktycznie konstruując linię przenikania szukamy najpierw punktów przebicia, a następnie łączymy je
tak aby tworzyły krawędź pomiędzy tymi samymi ścianami.
Wyznaczanie linii przenikania
1 .łączymy wierzchołki brył właściwe, lub niewłaściwe
2. Otrzymaną prostą ( właściwą, lub niewłaściwą) traktujemy jako oś pęku płaszczyzn
3. płaszczyzny prowadzimy przez krawędzie boczne jednej bryły i szukamy przecięcia z drugą bryłą
4. bierzemy pod uwagę tylko te odcinki krawędzi, które należą do obu ścian
Siatka znaków
W celu ułatwienia określenia kolejności łączonych punktów, a także widoczności krawędzi można korzystać ze specjalnej siatki. Pionowe linie obrazują krawędzie jednej bryły, poziome drugiej bryły. Na siatkę nanosimy otrzymane punkty w ten sposób, aby leżały one na odpowiedniej krawędzi i przebitej przez nią ścianie.
Łączymy ze sobą tylko te punkty, które leżą w obrębie jednej kratki. Linia łącząca nie może przecinać żadnej krawędzi. Oznaczenie ścian widocznych (+) i niewidocznych (-) określi widoczność linii przenikania. Jeżeli bok znajduje się na obu widocznych ścianach ( dwa +) to jest on widoczny, w przeciwnym wypadku jest niewidoczny.
Wyznaczyć linię przenikania ostrosłupa z graniastosłupem
Kierunek krawędzi bocznych graniastosłupa jest rzutujący w rzucie pionowym, płaszczyzny pomocnicze będą tu rzutujące. Punkty przebicia krawędzi ostrosłupa z rzutującymi krawędziami graniastosłupa można zaznaczyć bezpośrednio w rzucie pionowym ( punkty 1,2,3,4 ) Przenosząc punkty 3 i 4 mamy pewne trudności z dokładnym określeniem położenia punktów wynikające z małego kąta pomiędzy odnoszącą , a krawędzią. Posłużymy się prostymi poziomymi m i n należącymi do ściany ABW i równoległymi do AB. Równoległość ta musi być zachowana również w rzucie poziomym. Punkty na krawędzi P wyznaczamy przy pomocy płaszczyzny e przechodzącej przez wierzchołek i krawędzi z podstawą ostrosłupa ( punkty I i II ).
Kolejność połączenia podpowie nam siatka znaków, którą rysujemy tylko dla rzutu poziomego . W rzucie pionowym linia przenikania będzie znajdowała się na powierzchni rzutującego graniastosłupa.
Wyznaczyć linię przenikania dwóch graniastosłupów.
Ponieważ jeden z graniastosłupów jest rzutujący ( ABC ) , to płaszczyzna pomocnicza e będzie również w rzucie poziomym rzutująca i równoległa do krawędzi bocznych drugiego graniastosłupa. Prowadząc kolejno płaszczyzny przez krawędzie uzyskamy punkty przebicia tak, jak w zadaniach poprzednich . Np. płaszczyzna przechodząca przez krawędź A da nam przekrój przy pomocy punktów I i II na podstawie.
Prowadzimy proste równoległe do krawędzi bocznych graniastosłupa i otrzymujemy punkty przebicia 1 i 2
Niektóre punkty możemy uzyskać bez konieczności wprowadzania płaszczyzn pomocniczych. Są to punkty przebicia krawędzi z tymi ścianami, które są rzutujące ( punkty 5,6,7,8). Następnie rysujemy siatkę znaków ułatwiającą połączenie i określenie widoczności. Linia przenikania musi być zamknięta, trafiać do punktu wyjścia.
Tu kończy się WYKŁAD 4.
keelos