Rzuty Monge`a, powszechnie stosowane w praktyce inżynierskiej, wymagają pewnej wprawy w odczytywaniu i dlatego często dla uzyskania plastycznego, łatwego do odczytania obrazu używa się rzutów aksonometrycznych, czyli aksonometrii.
Aksonometria jest odmianą rzutu równoległego ( ukośnego, bądź prostokątnego względem rzutni aksonometrycznej ) . Polega on na odwzorowaniu za pomocą jednego rzutu równoległego, który ustala związki miarowe zachodzące pomiędzy elementami odwzorowywanej bryły.
Ze względu na łatwość czytania aksonometrii jest ona często stosowana w praktyce np. w rysunkach ilustrujących instrukcje obsługi, w rysunkach ofertowych, a także w szkicowaniu odręcznym.
Odwzorowanie w aksonometrii
Wyobraźmy sobie znany już układ prostokątny trzech rzutni p 1 ,p 2,p 3 . Dowolnie względem niego wprowadzamy nową rzutnię, która jest nową płaszczyzną rysunkową ( naszą kartką papieru) i nazywana jest rzutnią aksonometryczną p a.
Aksonometria jest rzutowaniem równoległym przestrzeni rzutowej po kierunku rzutowania k na rzutnię aksonometryczną, gdzie otrzymujemy obraz – rzut aksonometryczny.
Jeżeli promień rzutowania jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej to otrzymamy aksonometrię prostokątną jeżeli zaś jest w dowolnym ukośnym kierunku, otrzymamy aksonometrię ukośną
Usytuujmy teraz rzutnię aksonometryczną tak, aby znalazła się przed układem prostokątnym i nachylała się nad początkiem układu (punktem 0)
Widzimy, że płaszczyzna p a przenika się z płaszczyznami układu prostokątnego po trójkącie, którego wierzchołkami są punkty przebicia osi x, y ,z z rzutnią p a. Punkty te opisujemy kolejno jako Sx..., tworzą one trójkąt śladów aksonometrycznych o bokach s1..., będących krawędziami rzutni aksonometrycznej z rzutniami układu prostokątnego.
Zauważmy, że obraz aksonometryczny pozostanie ten sam po równoległym przesunięciu rzutni p a ,zmieni się tylko wielkość trójkąta śladów.
Rzut aksonometryczny punktu
Punkt jest jednoznacznie określony jeżeli jest dany jego rzut aksonometryczny i aksonometria chociaż jednego jego rzutu prostokątnego np. AaI Można wtedy wykreślić aksonometrie AaIIi AaIII jego rzutu pionowego i bocznego. Zlokalizowanie punktu w układzie prostokątnym służy ustaleniu położenia punktu względem rzutni aksonometrycznej. Ze względów praktycznych rezygnujemy z każdorazowego zaznaczania indeksu a w oznaczeniach aksonometrycznych rzutów prostokątnych punktu. Będziemy je opisywać AI, AII, AIII pamiętając , że są to rzuty aksonometryczne.
Zauważmy , że samo określenie punktu w rzucie aksonometrycznym np. punktu B nie wystarczy do jednoznacznego określenia jego położenia. Nie wiemy na jakiej wysokości znajduje się punkt i nie potrafimy odbudować jego rzutów prostokątnych.
Własności rzutu aksonometrycznego
Z własności rzutu równoległego wynika, że dla aksonometrii jest zachowane;
1.aksonometria punktu jest punktem, aksonometria prostej jest prostą (z wyjątkiem położenia równoległego do k)
2.jeżeli punkt i prosta do siebie przynależą to w aksonometrii przynależność jest również zachowana
3.jeżeli dwie proste są do siebie równoległe to w aksonometrii równoległość też jest zachowana, w szczególności aksonometrie prostych równoległych do osi układu współrzędnych są równoległe do osi aksonometrycznych, stosunek długości odcinka równoległego do osi współrzędnych do długości jego rzutu aksonometrycznego jest stała. Nie zależy od długości odcinka.
4.długości odcinków równoległych w aksonometrii mają się do siebie jak długości danych odcinków
5.aksonometria utworu leżącego w płaszczyźnie równoległej do rzutu jest przystająca, stąd aksonometria jest niezależna od odległości rzutni aksonometrycznej od początku układu prostokątnego
6.aksonometria płaszczyzny równoległej do kierunku rzutowania jest linią prostą- jest to płaszczyzna rzutująca
Aksonometria ukośna
W aksonometrii ukośnej prosta k, czyli kierunek rzutowania z założenia nie jest prostopadła do rzutni aksonometrycznej. W rozważaniach będziemy korzystali z twierdzenie Pohlke`go, którego dowód pomijamy.
Twierdzenie Pohlke`go
Trzy dowolne odcinki leżące na rzutni i wychodzące z jednego punktu Oa, ale nie leżące na jednej prostej, można uważać za rzut równoległy trzech odcinków równej długości wychodzących z punktu O i wzajemnie prostopadłych.
Z powyższego twierdzenia można wywnioskować, iż zawsze uda się dobrać taki kierunek rzutowania i ustawienie względem rzutni trzech odcinków jednostkowych wzajemnie prostopadłych, że z góry ustalone trzy dowolne odcinki wychodzące z jednego punktu mogą być ich rzutem.
A zatem w aksonometrii ukośnej można przyjąć;
1.dowolne kąty pomiędzy osiami aksonometrycznymi, przy założeniu, że nie leżą one na jednej prostej oraz
2.dowolnie przyjęte odcinki na tych osiach można uważać za odcinki jednostkowe
W rysowaniu rzutów aksonometrii ukośnej istnieje więc duża dowolność w obieraniu osi i odcinków jednostkowych. Nie oznacza to jednak , że każda aksonometria jest jednakowo dobrze czytelna i przejrzysta.
Najczęściej stosowane w praktyce są aksonometrie kawalerska i wojskowa, które uzyskuje się poprzez równoległe usytuowanie jednej z rzutni do rzutni aksonometrycznej.
Aksonometria kawalerska
Płaszczyzna p 2 ( osie x, y ) jest równoległa do rzutni aksonometrycznej.
Na rzucie aksonometrycznym osie xu, yu tworzą kąt prosty , a oś yu zwykle nachylona jest pod jednym z kątów 30° ,45° , 60° do poziomu.
Odwzorowania utworów płaskich leżących w płaszczyznach równoległych do rzutni pionowej p 2 obywa się bez zniekształceń.
Wymiary po osiach x, z pozostają bez zmian , natomiast wymiary wzdłuż osi y zmieniają się zgodnie ze współczynnikiem proporcjonalności l y , który na ogół przyjmuje jedną z wartości : 1 ,3/4, ˝, 2/3 .
Aksonometrię kawalerską często stosuje się w rysunkach warsztatowych elementów konstrukcji.
Jest to jedna z najczęściej stosowanych aksonometrii , nie tylko ze względu na prostotę konstrukcji.
Dodatkowym atutem tej aksononetrii jest łatwość rysowania okręgów w płaszczyznach równoległych do rzutni pionowej, są one okręgami.
Aksonometria wojskowa
Płaszczyzna p 1 ( osie x, y ) jest równoległa do rzutni aksonometrycznej.
Osie xu, yu tworzą kąt prosty , a oś zu ze względów rysunkowych przyjmuje położenie pionowe.
W tak przyjętej aksonometrii wszystkie utwory płaskie leżące w płaszczyznach równoległych do rzutni poziomej p 1 odwzorowane są bez zakłóceń. Jedynie rzędne wysokości równoległe do osi z zmieniają się.
Zmiany te określa współczynnik proporcjonalności l z , który najczęściej przyjmuje postać ułamków prostych 3, 2/3, 1 . Aksonometria wojskowa najczęściej jest stosowana w rysowaniu planów miast lub budynków.
Aksonometria prostokątna
Szczególnym przypadkiem aksonometrii , zachowującym powiązania metryczne, jest aksonometria prostokątna, w której kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej.
Trójkąt śladów w aksonomertii prostokątnej ma szczególne właściwości. Mianowicie osie aksonometryczne są prostymi, na których leżą wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.
Ponieważ jest z^ p 1 , a prosta s1 jest jedną z prostych p 1, dlatego z^ s1
Jeżeli popatrzymy teraz na rzutnię aksonometryczną, zauważymy, że jedno z ramion kąta ( s1) leży na rzutni, a zatem rzut tego kąta na rzutnię jest kątem prostym.
Mamy więc zn^ s1
Analogicznie yn^ s2 i xn^ s3
Trójkąt śladów jest zawsze ostrokątny i jak to udowodniliśmy , osie aksonometrii prostokątnej pokrywają się z kierunkami wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.
Przyjrzyjmy się teraz trójkątowi śladów na rzutni aksonometrycznej, którą jest nasza kartka papieru. Możemy z niego odczytać stosunek skrótów proporcjonalnych, jakim ulegają odcinki leżące na osiach, lub do nich równoległe.
Dokonajmy kładu osi x i y wraz z rzutnią p 1 dokoła prostej s1 na rzutnię aksonometryczną . Na rzutni otrzymany tą płaszczyznę w rzeczywistych wymiarach, osie są prostopadłe , wymiary na osiach rzeczywiste.
Jeżeli kąt pomiędzy osiami x i y oprzemy na półokręgu, wtedy uzyskamy pewność, że jest on prosty. Punkt O znajduje się na odnoszącej prostopadłej do s1 obrazującej tor obrotu punktu O. Na osiach xo, y o odmierzamy rzeczywiste długości odcinków jednostkowych ( przyjętych przez nas ) , a następnie prostopadle do s1 wracamy na osie aksonometryczne.
Konstuując skróty na osi z posługujemy się płaszczyzną c zawierającą z, zn i prostopadłą do rzutni aksonometrycznej. Dokonujemy kładu bocznego tej płaszczyzny na rzutnię aksonometryczną wokół osi zn
W kładzie na osi zo odmierzamy rzeczywistą wartość odcinka jednostkowego, a następnie wracamy z nim na oś zn prostopadle do osi kładu.
Skrócenia aksonometryczne
W przypadku bardziej skomplikowanych obiektów wygodnie jest skonstruować kąty skrótów proporcjonalnych dla danych osi. Powołujemy się na własność rzutu aksonometrycznego o stałym stosunku odcinka równoległego do osi do jego rzutu.( punkt3 własności rzutu aksonometrycznego)
Równorzędne sposoby określania aksonometrii
1.dane są osie aksonometryczne x, y z określone kątami pomiędzy nimi
Konstruujemy trójkąt śladów aksonometrycznych. Trójkąt ma dowolny wymiar. Kierunki osi muszą być zgodne z kierunkami wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.
2.dany jest trójkąt śladów aksonometrycznych
Konstruujemy osie wychodząc kolejno z punktów Sx,Sy,Sz zachowując warunek kąta prostego.
3.aksonometria jest określona stosunkiem skróceń na poszczególnych osiach. W naszym kursie nie będziemy korzystać z tego sposobu określania aksonometrii.
Rodzaje aksonometrii prostokątnej
Izometria
Trójkąt śladów aksonometrycznych jest trójkątem równobocznym , osie aksonometryczne tworzą między sobą równe kąty 120° . Skrócenia na wszystkich osiach są jednakowe.
Dimetria
Trójkąt śladów aksonometrycznych jest trójkątem równoramiennym .Dwa kąty pomiędzy rzutami osi są równe otrzymujemy tylko dwa rodzaje skrótów.
Anizometria
Trójkąt śladów nie jest trójkątem szczególnym, każda z osi ma inne skrócenia
keelos