20. Elektrostatyka II.pdf

(235 KB) Pobierz
Wyk³ad 20
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencjału
Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią
naładowanej powłoki kulistej.
B
Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc
V
B V
−
A
=
−
∫
E
d =
r
0
tzn. w środku
A
i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że
E
=
−
d
V
(20.1)
d
r
Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuż osi x .
Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L .
y
P
r
θ
-q
+q
x
L
Jeżeli r >> L to punkt P jest odległy od ładunku + q o:
r – (1/2) L cosθ
oraz od – q o:
r + (1/2) L cosθ
Całkowity potencjał jest sumą
V
=
k
q
+
k
(
−
q
)
=
k
qL
cos
θ
1
1
L
2
r
−
L
cos
θ
r
+
L
cos
θ
r
2
−
cos
2
θ
2
2
4
20-1
4224790.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
V
≈
k
p
cos
θ
=
kp
x
r
2
r
3
E x
=
−
∂
V
=
kp
(
cos
2
θ
−
1
∂
x
r
3
E y
=
−
∂
V
=
kp
3
cos
θ
sin
θ
∂
y
r
3
Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na pły-
tach wynoszą odpowiednio + Q i – Q to gęstości ładunków wynoszą Q / S i – Q / S .
∆ V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
∆ V = σ d /ε 0
∆
V
=
Qd
(20.2)
ε
S
Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału ( powierzchnią ekwipotencjalną ).
20.2 Pojemność
Kondensator - układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja pojemności
Q
C =
∆
=
Q
(20.3)
V
U
Jednostka farad . 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się µF, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
C
=
Q
=
ε
S
(20.4)
U
d
20-2
4224790.006.png 4224790.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20.3 Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U . Wtedy ła-
dunek wzrasta od 0 do Q , gdzie Q = CU .
Praca zużyta na przeniesienie ładunku d q z okładki "–" na "+" wynosi
d W = U d q
Całkowita praca wynosi więc
Q
Q
q
1
Q
2
W
=
∫
U
d
q
=
∫
d
q
=
(20.5)
C
2
C
0
0
Dla kondensatora płaskiego
E
=
Q
,
czyli
Q
=
ε
ES
ε
S
0
0
Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy
( )
C
ES
2
W
=
2
Podstawiając wyrażenie na C dostajemy
ε
E
2
W
=
Sd
2
Sd - objętość kondensatora, więc gęstość energii w = W / Sd
w ε
=
1
E
2
(20.6)
2
0
Jeżeli w jakimś punkcie przestrz eni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy-
nowana energia w ilości
1
ε na jednostkę objętości .
E
2
2
0
20.4 Dielektryki
Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.
Stwierdzamy, że umieszczenie materiału nieprzewodzącego (dielektryka) między okład-
kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C '.
κ
=
C '
C
gdzie κ jest względną przenikalnością elektryczną (stałą dielektryczną).
20-3
ε
4224790.008.png 4224790.001.png 4224790.002.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20.4.1 Dielektryki, pogląd atomistyczny
Dwie możliwości:
• cząsteczki polarne np. H 2 O mające trwałe momenty dipolowe p
• cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E ) moment dipolowy
(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E 0 .
Siła F = – eE 0 przesuwa chmurę elektronową o x 0 względem rdzenia (protonu). Wów-
czas atom ma moment indukowany p = ex 0 .
Pole w miejscu protonu
E = E 0 + E chmura
E −
E
ke
x
0
R
3
0
Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
R
x =
3
0
ek
E
0
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
R
3
p =
ex
E
0
k
0
Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje spolaryzowany
(rysunek).
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-+ -+ -+ -+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-+ -+ -+ -+
-+ -+ -+ -+
-+ -+ -+ -+
-+ -+ -+ -+
W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni
dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek. Indukowany ładunek powierzch-
20-4
=
=
4224790.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
niowy q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES =( q – q ')/ε 0
E = ( q – q ')/(ε 0 S )
Pojemność takiego kondensatora
C
'
=
q
=
q
=
q
ε
0
S
=
q
C
V
Ed
q
−
q
'
d
q
−
q
'
Dzieląc przez C otrzymamy
C
'
= κ
=
q
C
q
−
q
'
20.4.2 Dielektryki - rozważania ilościowe.
Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy p skierowany zgodnie z po-
le m E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy p całk =
N p
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
p całk = q'd
Łącząc te wyrażenia
q'd = N p
q'd = ( nSd ) p
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na κ
κ
=
q
=
q
q
−
q
'
q
−
nS
p
Obliczyliśmy, że
R
3
p =
=
ex
E
0
k
0
20-5
4224790.004.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin