term_11.pdf

(196 KB) Pobierz
Twierdzenie o wiriale:
Twierdzenie o wiriale:
Rozważmy cząstkę P o masie m , na którą działa siła :
F
r
W inercjalnym układzie odniesienia:
r
r
d
r r
m
=
F
⋅/
dt
d
v
r
r
r
r
m
⋅
r
=
F
⋅
r
(1)
dt
Można zauważyć, że:
r
r
r
d
r
r
d
r
r
d
d
r
( )
m
r
⋅
v
=
m
⋅
v
+
m
⋅
=
mv
2
+
m
⋅
r
,
dt
dt
dt
dt
r
⇓
d
r
d
r
r
m
⋅
r
=
m
( ) .
r
⋅
v
−
mv
2
dt
dt
gdzie v jest modułem prędkości. Podstawiając to do równania (2) mamy:
( )
m
d
r
⋅
r
=
F
⋅
r
r
+
mv
2
.
dt
Uśredniając to po czasie τ dostajemy:
r
m
d
( )
r
⋅
v
r
=
F
⋅
r
s
+
m
v
2
.
(2)
dt
Rozpisując lewą stronę mamy:
d
r
r
1
τ
d
r
r
1
r
r
( ) ( ) [ ] τ
r
⋅
v
=
∫
r
⋅
v
dt
=
r
⋅
v
.
dt
τ
dt
τ
0
0
Załóżmy, że cząstka porusza się w ograniczonym obszarze przestrzeni ze skończoną
prędkością. Wtedy, ze względu na skończoną wartość iloczynu
r r
, powyższe wyrażenie
τ
Tak więc wzór (2) upraszcza się wtedy do postaci: r
∞
.
m
v
2
=
−
F
⋅
r
r
,
lub:
r
r
=
Jest to tzw. twierdzenie o wiriale.
2
E k
−
F
⋅
r
.
[ćwiczenia – przykłady]
1
r
v
r
r
r ⋅
dąży do zera, o ile czas uśredniania
107470876.010.png 107470876.011.png 107470876.012.png 107470876.013.png
Można twierdzenie o wiriale uogólnić na przypadek układu złożonego z N cząstek o
jednakowych masach m . Dla każdej cząstki można napisać:
=
Dodając do siebie wszystkie równania (3), otrzymujemy:
2 ,
E
=
−
F
r
⋅
r
r
,
i ,...,
1
N
(3)
k
i
i
i
2 ∑
N
E
=
−
F
r
⋅
r
,
(4)
k
i
i
ponieważ:
∑
E
k
,
i
=
N
E
k
,
i
=
N
E
k
.
i
Żadna z cząstek nie jest wyróżniona.
Ogólnie siłę działającą na cząstkę można zapisać:
F
r
=
F
r
+
∑
F
r
,
i
i
,
z
ij
r r
r
r
j
r
F
||
r
,
r
=
r
−
r
.
ij
ij
ij
i
j
Można pokazać, że:
∑
F
r
⋅
r
=
∑
F
r
⋅
r
+
∑
F
r
⋅
r
.
i
i
i
,
z
i
ij
ji
i
i
i
,
j
Tak więc równanie (4) przepisać można w postaci:
N
E
=
−
1
∑
F
r
⋅
r
−
1
∑
F
r
⋅
r
.
(5)
k
2
i
,
z
i
2
ij
ji
i
i
,
j
Spróbujmy policzyć wielkość ∑ ⋅
i
F
r
r
. W tym celu rozważmy dla wygody układ N
i
z
i
cząstek w naczyniu sześciennym, o długości boków l . Obierzmy układ współrzędnych,
którego początek pokrywa się z jednym z wierzchołków sześcianu:
Przy zderzeniach ze ściankami na cząsteczki zawarte w naczyniu działają siły zewnętrzne:
r
r
r
F
=
F
+
F
,
r
i
,
z
i
,
n
i
,
t
r
gdzie
F ,
jest składową siły prostopadłą do ścianki a
F ,
jest składową styczną do ścianki.
n
t
2
r
r
r
r
r
r
r
,
107470876.001.png 107470876.002.png
Mamy:
r
r
r
r
r
r
F
⋅
r
=
F
⋅
r
+
F
⋅
r
i
,
z
i
,
n
i
,
t
r
r
||
0
bo kierunki padania cząstek na ściankę są przypadkowe.
⋅ , także wynosi zero dla ścian leżących w płaszczyznach x-y, x-z,
y-z, gdyż wówczas długość promienia r wynosi zero. Dla pozostałych ścian średnia ta
wynosi:
F n
r
i
r
r
,
gdzie F i,n jest siłą oddziaływania cząstki ze ścianką. Stąd mamy:
F
⋅
r
=
−
F
⋅
l
i
n
i
n
r
∑
F
=⋅ ∑
r
−
l
F
=
−
lF
=
−
pl
3
=
−
pV
i
,
n
i
,
n
i
i
dla jednej ścianki. Dla wszystkich ścian równanie (5) można więc napisać w postaci:
N
E
=
3
pV
−
1
∑
F
r
⋅
r
k
2
2
ij
ij
i
,
j
równanie stanu
oddziaływania pomiędzy
gazu doskonałego
cząsteczkami
Zasada zachowania energii.
W ramach termodynamiki fenomenologicznej rozważaliśmy pracę wykonaną przez gaz:
dW
=
F
r
⋅
d
r
=
pdV
.
ukl
wew
Rozważmy elastyczne zderzenia cząstek z poruszającą się ścianą (tłokiem):
u r .
Przed zderzeniem z tłokiem:
<<
v r
v
Po zderzeniu:
||
= v
cos
Θ
,
v
= ⊥ sin
v
Θ
.
( u
)
v =
|| v
||
,
v
′
=
−
v
⊥
−
2
.
[ćwiczenia]
Energia kinetyczna cząstki:
E
=
1
mv
2
=
1
mv
2
+
1
mv
2
=
E
+
E
,
k
2
2
||
2
⊥
k
||
k
⊥
3
Średnia z iloczynu
,
,
r
r
Załóżmy też, że
′
⊥
107470876.003.png 107470876.004.png 107470876.005.png
 
E = ′ ,
ale zmiana energii kinetycznej cząstki , zatem całkowita energia
kinetyczna cząstki zmalała na koszt energii kinetycznej tłoka.
k E
||
k
||
∆
E
k
=
E
′
⊥ k
−
E
′
⊥
<
0
Statystyka Maxwella – Boltzmanna.
Rozpoczniemy od wprowadzenia pojęcia przestrzeni fazowej.
, ,
określających jej położenie i pęd w trójwymiarowej
przestrzeni. W ten sposób tworzymy nową, 6-wymiarową
przestrzeń położeń i pędów zwaną przestrzenią fazową dla
jednej cząstki.
x
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
}
Jednowymiarowej przestrzeni położeń odpowiada 2-wymiarowa przestrzeń fazowa:
← Trajektoria cząstki swobodnej poruszającej się wzdłuż osi x .
Dla N cząstek będziemy posługiwać się 6 N -wymiarową przestrzenią fazową Γ.
Ruch układu określa zbiór położeń punktu określającego jego stan w danej chwili. Wędruje
on w przestrzeni fazowej po hiperpowierzchni stałej energii.
W tej przestrzeni definiujemy element objętości:
- dla jednej cząstki:
d =
Γ
dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
,
- dla układu N cząstek:
N
d
Γ
=
∏ =
dx
i
dy
i
dz
i
dp
xi
dp
yi
dp
zi
.
1
Mikrostan układu jest określony, jeśli współrzędne wszystkich cząstek układu zawarte są w
d Γ. Każda dozwolona komórka przestrzeni Γ określa 1 mikrostan układu.
Wprowadźmy funkcję (
f
x
,
y
i
,
z
i
,
p
xi
,
p
yi
,
p
zi
)
i
=
1
,...,
N
określającą gęstość prawdopodobieństwa
znalezienia układu w określonej komórce przestrzeni fazowej. Prawdopodobieństwo to
wyniesie:
(
) ∏ =
N
f
x
i
,
y
i
,
z
i
,
p
xi
,
p
yi
,
p
zi
dx
i
dy
i
dz
i
dp
xi
dp
yi
dp
zi
.
i
1
4
k
Stan cząstki można określić jednoznacznie w określonej
chwili przez podanie zbioru {
i
i
107470876.006.png 107470876.007.png
 
Hipoteza Boltzmanna: wszystkie mikrostany odpowiadające jednakowej energii E układu są
jednakowo prawdopodobne:
f
=
f
(
E
(
x
i
,
y
i
,
z
i
,
p
xi
,
p
yi
,
p
zi
)
.
Hipoteza ergodyczna:
Rozważmy odosobniony układ N cząstek w stanie równowagi, przedstawiającej pewien
ustalony stan makroskopowy. Wskutek ruchu cząstek i ich zderzeń stan mikroskopowy ulega
ciągłej zmianie:
Punkt odpowiadający układowi w przestrzeni fazowej
wędruje po hiperpowierzchni E =const.
Powstaje pytanie: czy w dostatecznie długim czasie układ startujący z określonego punktu tej
hiperpowierzchni może osiągnąć jej inny, dowolny punkt? Twierdząca odpowiedź na to
pytanie to właśnie hipoteza ergodyczna Boltzmanna. Dziś wiadomo, że nie jest ona
prawdziwa, zastąpić ją należy hipotezą kwazi-ergodyczną: po dostatecznie długim czasie
układ może się znaleźć dowolnie blisko zadanego punktu hiperpowierzchni E =const.
Przestrzeń µ .
, :
Przestrzeń µ = przestrzeń geometryczna x, y, z + przestrzeń pędów p x , p y , p z .
x
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
Rozważmy układ odosobniony zajmujący objętość V i mający całkowitą energię
∑ =
N
U
=
E
i
=
const
. Punkty reprezentujące układ mogą poruszać się w objętości V przestrzeni
i
1
geometrycznej oraz w objętości kuli o promieniu
2 w przestrzeni pędów (gdyż
- cząstka może mieć co najwyżej całkowitą energię układu).
mU
+
Będziemy szukali funkcji f takiej, że (
2
p
2
+
p
2
≤
2
mU
x
y
z
, określa
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elementarnej komórce przestrzeni µ. Zgodnie z
hipotezą Boltzmanna:
f
x
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
= .
Jak jednak pokazaliśmy wcześniej, w przestrzeni geometrycznej cząstki są równomiernie
rozłożone, zatem:
f
f
(
E
(
x
,
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
f
=
f
(
E
( )
p
x
,
p
y
,
p
z
)
.
5
)
Alternatywnie układ N cząstek można opisać jako zbiór N punktów w 6-wymiarowej
przestrzeni
p
)
107470876.008.png 107470876.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin