vademecum_mat_2010_OBOWIAZKOWA_MATURA_Z_MATEMATYKI.pdf

9. Stereometria

9.1. FIGURY PRZESTRZENNE I ICH PODZIA¸

9.1.1. Podzia∏ figur przestrzennych

FIGURY PRZESTRZENNE

WIELOÂCIANY

FIGURY OBROTOWE

INNE FIGURY

PRZESTRZENNE

INNE

GRANIASTOS¸UPY

OSTROS¸UPY

KULA

WALEC

STO˚EK

INNE

GRANIASTOS¸UP

POCHY¸Y

GRANIASTOS¸UP

PROSTY

OSTROS¸UP

ÂCI¢TY

CZWOROÂCIAN

STO˚EK

ÂCI¢TY

RÓWNOLEG¸OÂCIAN

GRANIASTOS¸UP

PRAWID¸OWY

CZWOROÂCIAN

PRAWID¸OWY

PROSTOPAD¸OÂCIAN

CZWOROÂCIAN

FOREMNY

SZEÂCIAN

9.1.2. Definicje niektórych wieloÊcianów i wa˝niejszych poj´ç zwiàzanych z wieloÊcianami

WieloÊcian to bry∏a, której powierzchni´ tworzà wielokàty o nast´pujàcych w∏asnoÊciach:

I – ka˝de dwa z nich albo sà roz∏àczne, albo majà wspólny bok lub wspólny wierzcho∏ek i nie le˝à w jed-

nej p∏aszczyênie,

II – ka˝dy bok któregokolwiek z tych wielokàtów jest wspólnym bokiem dok∏adnie dwóch spoÊród tych

wielokàtów.

(1) Âciany wieloÊcianu to wielokàty tworzàce powierzchni´ wieloÊcianu.

(2) Kraw´dzie wieloÊcianu to wspólne boki wielokàtów – Êcian.

(3) Wierzcho∏ki wieloÊcianu to wspólne wierzcho∏ki wielokàtów – Êcian.

(4) Nazwa wieloÊcianu jest zwiàzana z liczbà jego Êcian: czworoÊcian, pi´cioÊcian, szeÊcian, oÊmioÊcian,

dwunastoÊcian, dwudziestoÊcian.

(5) WieloÊcian wypuk∏y jest figurà wypuk∏à (ka˝de dwa punkty zawarte w wieloÊcianie mo˝na po∏àczyç

odcinkiem zawartym w tym wieloÊcianie).

(6) Twierdzenie Eulera : W wieloÊcianie wypuk∏ym liczba wierzcho∏ków w , liczba Êcian s i liczba kraw´dzi

k spe∏niajà równanie: wsk 2

(8) Suma kàtów p∏askich o wspólnym wypuk∏ym wierzcho∏ku wieloÊcianu jest mniejsza ni˝ 360 c .

(9) Siatka wieloÊcianu to wielokàt powsta∏y z powierzchni wieloÊcianu wypuk∏ego po rozci´ciu wzd∏u˝

niektórych kraw´dzi i po roz∏o˝eniu na p∏aszczyênie.

(10) Przekrój wieloÊcianu p∏aszczyznà r jest to cz´Êç wspólna tego wieloÊcianu i p∏aszczyzny r.

299

+=+ .

(7) W wierzcho∏ku wieloÊcianu spotykajà si´ co najmniej trzy wielokàty.

9. Stereometria

9.1.3. Graniastos∏upy i ostros∏upy

Graniastos∏up to wieloÊcian, którego dwie Êciany,

zwane podstawami, sà przystajàcymi wielokàtami – za-

wartymi w p∏aszczyznach równoleg∏ych, a wszystkie nie

zawarte w tych p∏aszczyznach kraw´dzie, zwane boczny-

mi, sà do siebie równoleg∏e.

P 2

a 2

a 1 || a 2

k 1

k 2

k n

lub

k 1

k 2 k n

1 2 f

Uwaga: Âciany boczne graniastos∏upa sà równoleg∏o-

bokami.

P P

, || || ||

P 1

a 1

(1) WysokoÊç graniastos∏upa to odcinek ∏àczàcy

p∏aszczyzny zawierajàce podstawy graniastos∏u-

pa i do nich prostopad∏y.

(7) SzeÊcian to graniastos∏up, którego wszystkie

Êciany sà kwadratami.

(8) Podzia∏ graniastos∏upów:

(2) Przekàtna graniastos∏upa to dowolny odcinek ∏à-

czàcy jego wierzcho∏ki i nie zawarty w ˝adnej z je-

go Êcian.

ZBIÓR WSZYSTKICH

GRANIASTOSŁUPÓW

ZBIÓR

GRANIASTOSŁUPÓW

PROSTYCH

(3) Graniastos∏up prosty to graniastos∏up, którego

wszystkie Êciany boczne sà prostokàtami.

ZBIÓR

GRANIASTOSŁUPÓW

PRAWIDŁOWYCH

(4) Graniastos∏up prawid∏owy to graniastos∏up

prosty, którego podstawà jest wielokàt foremny.

ZBIÓR

SZEÂCIANÓW

ZBIÓR

PROSTO-

PADŁOÂCIANÓW

(5) Równoleg∏oÊcian to graniastos∏up, którego

wszystkie Êciany sà równoleg∏obokami.

(6) Prostopad∏oÊcian to graniastos∏up, którego

wszystkie Êciany sà prostokàtami.

_ i

wierzcho∏ków le˝y w jednej p∏aszczyênie, tworzàc jego podstaw´, a jeden

–

12 f

P n

, którego n 1

P i

# -, zwany wierzcho∏kiem ostros∏upa, le˝y poza nià. Pozo-

sta∏e Êciany, oprócz podstawy, to Êciany boczne ostros∏upa.

Uwaga: Wszystkie Êciany boczne ostros∏upa sà trójkàtami o wspólnym

wierzcho∏ku P i .

, ,

P n

...

P i + 1

P 1

S 2

P i – 1

P 2

...

(1) WysokoÊç ostros∏upa to

odcinek ∏àczàcy wierzcho∏ek

ostros∏upa z p∏aszczyznà

podstawy i prostopad∏y

do niej.

(5) Ostros∏up Êci´ty to cz´Êç ostros∏upa

zawarta mi´dzy jego podstawà

a przekrojem poprzecznym p∏aszczyznà

równoleg∏à do podstawy ostros∏upa.

(2) Spodek wysokoÊci to rzut

prostokàtny wierzcho∏ka

ostros∏upa na p∏aszczyzn´

podstawy.

(6) Podzia∏ ostros∏upów:

ZBIÓR WSZYSTKICH

OSTROS¸UPÓW

ZBIÓR OSTROSŁUPÓW

PROSTYCH

(3) Ostros∏up prosty ma

wszystkie kraw´dzie boczne

równej d∏ugoÊci.

ZBIÓR

OSTROSŁUPÓW

PRAWIDŁOWYCH

ZBIÓR

CZWOROÂCIANÓW

FOREMNYCH

ZBIÓR

CZWORO-

ÂCIANÓW

(4) Ostros∏up prawid∏owy to

ostros∏up prosty, który ma

w podstawie wielokàt

foremny.

300

Ostros∏up to wieloÊcian o n wierzcho∏kach , , ,

i f

9.1. Figury przestrzenne i ich podzia∏

9.1.4. Bry∏y obrotowe (figury obrotowe)

Bry∏y obrotowe to takie figury przestrzenne, które powstajà przez pe∏ny obrót pewnej figury p∏askiej wokó∏

ustalonej prostej.

a) Walec to bry∏a obrotowa powsta∏a przez obrót

prostokàta wokó∏ prostej zawierajàcej jeden

z boków.

= – wysokoÊç walca

a r

b l

= – promieƒ podstawy walca

l – tworzàca walca H

(1) OÊ walca to oÊ obrotu.

(3) Podstawy walca to ko∏a powsta∏e

przez obrót boków prostokàta

prostopad∏ych do osi walca.

(5) WysokoÊç walca to odcinek ∏à-

czàcy podstawy walca i do nich

prostopad∏y.

(2) Powierzchnia boczna

walca to powierzchnia

powsta∏a przez obrót

boku prostokàta

przeciwleg∏ego

do osi walca.

(4) Tworzàca walca to ka˝dy

odcinek zawarty w powierzchni

bocznej walca i ∏àczàcy jego

podstawy.

(6) Przekrój osiowy

walca jest prostokà-

tem majàcym boki

d∏ugoÊci H i 2 .

b) Sto˝ek to bry∏a powsta∏a przez obrót

trójkàta prostokàtnego wokó∏ prostej

zawierajàcej jednà z jego

przyprostokàtnych.

= – wysokoÊç sto˝ka

a r

= – promieƒ podstawy sto˝ka

c l

= – tworzàca sto˝ka

(1) OÊ sto˝ka to oÊ obrotu.

(6) WysokoÊç sto˝ka to odcinek ∏àczàcy wierzcho∏ek

sto˝ka ze Êrodkiem jego podstawy.

(2) Powierzchnia boczna sto˝ka to powierzchnia

powsta∏a przez obrót przeciwprostokàtnej.

(7) Przekrój osiowy sto˝ka jest

trójkàtem równoramiennym

o podstawie d∏ugoÊci 2 ,

wysokoÊci H i ramionach l .

(3) Podstawa sto˝ka to ko∏o powsta∏e przez obrót

jednej z przyprostokàtnych.

(4) Wierzcho∏ek sto˝ka to wierzcho∏ek trójkàta,

który nie nale˝y do podstawy sto˝ka.

(8) Sto˝ek Êci´ty jest to cz´Êç

sto˝ka zawarta mi´dzy jego

podstawà a przekrojem

poprzecznym p∏aszczyznà

równoleg∏à do podstawy sto˝ka.

(5) Tworzàca sto˝ka to ka˝dy odcinek zawarty

w powierzchni bocznej sto˝ka i ∏àczàcy jego

wierzcho∏ek z podstawà.

c) Kula to bry∏a obrotowa powsta∏a przez obrót pó∏kola

wokó∏ prostej zawierajàcej jego Êrednic´.

S – Êrodek kuli

r – promieƒ kuli

(1) Powierzchnia kuli to powierzchnia, jakà zakre-

Êla pó∏okràg ograniczajàcy kul´. Jest to sfera.

S – Êrodek sfery

r – promieƒ sfery

(3) Sfera to zbiór punktów przestrzeni, otrzymanych

przez obrót pó∏okr´gu wokó∏ prostej zawierajàcej

Êrednic´.

Uwaga: Cz´Êci kuli to:

odcinek kuli

wycinek kuli

warstwa kuli

(2) Ko∏o wielkie kuli to ko∏o

o promieniu r , do którego nale˝y

Êrodek kuli S .

301

9. Stereometria

9.1.5. Szczególne kàty w bry∏ach

a) W zadaniach tekstowych wyst´pujà ró˝ne rodzaje kàtów przestrzennych w bry∏ach. Sà to najcz´Êciej kàty:

(1) prostej z p∏aszczyznà , czyli najcz´Êciej kàty mi´dzy pewnymi odcinkami w bry∏ach (przekàtnà, kraw´-

dzià, czy wysokoÊcià) a p∏aszczyznà podstawy, czy Êciany bocznej

(2) kàty dwuÊcienne , czyli kàty mi´dzy Êcianà bocznà a p∏aszczyznà podstawy lub mi´dzy dwiema Êcia-

nami bocznymi, ewentualnie mi´dzy przekrojem bry∏y a Êcianà bocznà lub podstawà

(3) kàty p∏askie mi´dzy kraw´dziami lub mi´dzy kraw´dzià bocznà a kraw´dzià podstawy; ewentualnie

przekàtnà lub tworzàcà, czy wysokoÊcià bry∏y lub Êciany bocznej, a kraw´dzià; lub mi´dzy przekàtnà

bry∏y a przekàtnà którejÊ ze Êcian, albo kàt wierzcho∏kowy sto˝ka

Oto ich klasyfikacja:

WieloÊciany

Rodzaje kàtów

Graniastos∏upy proste

Ostros∏upy proste

C 2

A 2

B 2

C 1

] C 1 A 1 C 2

A 1

B 1

D 2

C 2

Kàt nachylenia

przekàtnej

Êciany bocznej

do p∏aszczyzny

podstawy

(czyli

do kraw´dzi

podstawy,

wi´c jest to

kàt p∏aski

w Êcianie

bocznej)

A 2

B 2

] D 1 A 1 D 2

D 1

C 1

A 1

B 1

W ostros∏upach brak, gdy˝ Êciany

boczne sà trójkàtami,

a trójkàty nie majà przekàtnej.

D 2

C 2

A 2

B 2

] D 1 A 1 D 2

D 1

C 1

A 1

B 1

E 2

D 2

A 2

B 2

C 2

E 1

D 1

] E 1 A 1 E 2

A 1

C 1

B 1

302

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: