vademecum_mat_2010_OBOWIAZKOWA_MATURA_Z_MATEMATYKI.pdf
(
6496 KB
)
Pobierz
LMD-KPK-vadem-09
9.
Stereometria
9.1.
FIGURY PRZESTRZENNE I ICH PODZIA¸
9.1.1. Podzia∏ figur przestrzennych
FIGURY PRZESTRZENNE
WIELOÂCIANY
FIGURY OBROTOWE
INNE FIGURY
PRZESTRZENNE
INNE
GRANIASTOS¸UPY
OSTROS¸UPY
KULA
WALEC
STO˚EK
INNE
GRANIASTOS¸UP
POCHY¸Y
GRANIASTOS¸UP
PROSTY
OSTROS¸UP
ÂCI¢TY
CZWOROÂCIAN
STO˚EK
ÂCI¢TY
RÓWNOLEG¸OÂCIAN
GRANIASTOS¸UP
PRAWID¸OWY
CZWOROÂCIAN
PRAWID¸OWY
PROSTOPAD¸OÂCIAN
CZWOROÂCIAN
FOREMNY
SZEÂCIAN
9.1.2. Definicje niektórych wieloÊcianów i wa˝niejszych poj´ç zwiàzanych z wieloÊcianami
WieloÊcian
to bry∏a, której powierzchni´ tworzà wielokàty o nast´pujàcych w∏asnoÊciach:
I – ka˝de dwa z nich albo sà roz∏àczne, albo majà wspólny bok lub wspólny wierzcho∏ek i nie le˝à w jed-
nej p∏aszczyênie,
II – ka˝dy bok któregokolwiek z tych wielokàtów jest wspólnym bokiem dok∏adnie dwóch spoÊród tych
wielokàtów.
(1)
Âciany wieloÊcianu
to wielokàty tworzàce powierzchni´ wieloÊcianu.
(2)
Kraw´dzie wieloÊcianu
to wspólne boki wielokàtów – Êcian.
(3)
Wierzcho∏ki wieloÊcianu
to wspólne wierzcho∏ki wielokàtów – Êcian.
(4)
Nazwa wieloÊcianu
jest zwiàzana z liczbà jego Êcian: czworoÊcian, pi´cioÊcian, szeÊcian, oÊmioÊcian,
dwunastoÊcian, dwudziestoÊcian.
(5)
WieloÊcian wypuk∏y
jest figurà wypuk∏à (ka˝de dwa punkty zawarte w wieloÊcianie mo˝na po∏àczyç
odcinkiem zawartym w tym wieloÊcianie).
(6)
Twierdzenie Eulera
: W wieloÊcianie wypuk∏ym liczba wierzcho∏ków
w
, liczba Êcian
s
i liczba kraw´dzi
k
spe∏niajà równanie:
wsk
2
(8)
Suma kàtów p∏askich o wspólnym wypuk∏ym wierzcho∏ku
wieloÊcianu jest mniejsza ni˝ 360
c
.
(9)
Siatka wieloÊcianu
to wielokàt powsta∏y z powierzchni wieloÊcianu wypuk∏ego po rozci´ciu wzd∏u˝
niektórych kraw´dzi i po roz∏o˝eniu na p∏aszczyênie.
(10)
Przekrój wieloÊcianu p∏aszczyznà
r jest to cz´Êç wspólna tego wieloÊcianu i p∏aszczyzny r.
299
+=+
.
(7) W wierzcho∏ku wieloÊcianu spotykajà si´ co najmniej trzy wielokàty.
9. Stereometria
9.1.3. Graniastos∏upy i ostros∏upy
Graniastos∏up
to wieloÊcian, którego dwie Êciany,
zwane podstawami, sà przystajàcymi wielokàtami – za-
wartymi w p∏aszczyznach równoleg∏ych, a wszystkie nie
zawarte w tych p∏aszczyznach kraw´dzie, zwane boczny-
mi, sà do siebie równoleg∏e.
P
P
2
P
2
a
2
a
2
a
1
||
a
2
k
1
k
2
k
n
lub
k
1
k
2
k
n
1 2
f
Uwaga:
Âciany boczne graniastos∏upa sà równoleg∏o-
bokami.
1
a
1
i
P
1
a
1
i
P P
1
/
2
, || || ||
kk
n
P
1
P
1
a
1
a
1
(1)
WysokoÊç graniastos∏upa
to odcinek ∏àczàcy
p∏aszczyzny zawierajàce podstawy graniastos∏u-
pa i do nich prostopad∏y.
(7)
SzeÊcian
to graniastos∏up, którego wszystkie
Êciany sà kwadratami.
(8) Podzia∏ graniastos∏upów:
(2)
Przekàtna graniastos∏upa
to dowolny odcinek ∏à-
czàcy jego wierzcho∏ki i nie zawarty w ˝adnej z je-
go Êcian.
ZBIÓR WSZYSTKICH
GRANIASTOSŁUPÓW
ZBIÓR
GRANIASTOSŁUPÓW
PROSTYCH
(3)
Graniastos∏up prosty
to graniastos∏up, którego
wszystkie Êciany boczne sà prostokàtami.
ZBIÓR
GRANIASTOSŁUPÓW
PRAWIDŁOWYCH
(4)
Graniastos∏up prawid∏owy
to graniastos∏up
prosty, którego podstawà jest wielokàt foremny.
ZBIÓR
SZEÂCIANÓW
ZBIÓR
PROSTO-
PADŁOÂCIANÓW
(5)
Równoleg∏oÊcian
to graniastos∏up, którego
wszystkie Êciany sà równoleg∏obokami.
(6)
Prostopad∏oÊcian
to graniastos∏up, którego
wszystkie Êciany sà prostokàtami.
_ i
wierzcho∏ków le˝y w jednej p∏aszczyênie, tworzàc jego podstaw´, a jeden
–
12
f
P
n
, którego
n
1
P
i
# -, zwany wierzcho∏kiem ostros∏upa, le˝y poza nià. Pozo-
sta∏e Êciany, oprócz podstawy, to Êciany boczne ostros∏upa.
Uwaga:
Wszystkie Êciany boczne ostros∏upa sà trójkàtami o wspólnym
wierzcho∏ku
P
i
.
, ,
n
P
n
...
P
i +
1
S
P
1
S
2
P
i –
1
P
2
...
(1)
WysokoÊç ostros∏upa
to
odcinek ∏àczàcy wierzcho∏ek
ostros∏upa z p∏aszczyznà
podstawy i prostopad∏y
do niej.
(5)
Ostros∏up Êci´ty
to cz´Êç ostros∏upa
zawarta mi´dzy jego podstawà
a przekrojem poprzecznym p∏aszczyznà
równoleg∏à do podstawy ostros∏upa.
(2)
Spodek
wysokoÊci to rzut
prostokàtny wierzcho∏ka
ostros∏upa na p∏aszczyzn´
podstawy.
(6) Podzia∏ ostros∏upów:
ZBIÓR WSZYSTKICH
OSTROS¸UPÓW
ZBIÓR OSTROSŁUPÓW
PROSTYCH
(3)
Ostros∏up prosty
ma
wszystkie kraw´dzie boczne
równej d∏ugoÊci.
ZBIÓR
OSTROSŁUPÓW
PRAWIDŁOWYCH
ZBIÓR
CZWOROÂCIANÓW
FOREMNYCH
ZBIÓR
CZWORO-
ÂCIANÓW
(4)
Ostros∏up prawid∏owy
to
ostros∏up prosty, który ma
w podstawie wielokàt
foremny.
300
1
2
Ostros∏up
to wieloÊcian o
n
wierzcho∏kach , , ,
PP
Pi
i
f
=
9.1. Figury przestrzenne i ich podzia∏
9.1.4. Bry∏y obrotowe (figury obrotowe)
Bry∏y obrotowe to takie figury przestrzenne, które powstajà przez pe∏ny obrót pewnej figury p∏askiej wokó∏
ustalonej prostej.
a)
Walec
to bry∏a obrotowa powsta∏a przez obrót
prostokàta wokó∏ prostej zawierajàcej jeden
z boków.
= – wysokoÊç walca
a r
b
b l
a
= – promieƒ podstawy walca
l
– tworzàca walca
H
=
a
(1)
OÊ walca
to oÊ obrotu.
(3)
Podstawy walca
to ko∏a powsta∏e
przez obrót boków prostokàta
prostopad∏ych do osi walca.
(5)
WysokoÊç walca
to odcinek ∏à-
czàcy podstawy walca i do nich
prostopad∏y.
(2)
Powierzchnia boczna
walca
to powierzchnia
powsta∏a przez obrót
boku prostokàta
przeciwleg∏ego
do osi walca.
(4)
Tworzàca walca
to ka˝dy
odcinek zawarty w powierzchni
bocznej walca i ∏àczàcy jego
podstawy.
(6)
Przekrój osiowy
walca
jest prostokà-
tem majàcym boki
d∏ugoÊci
H
i 2 .
r
r
H
b)
Sto˝ek
to bry∏a powsta∏a przez obrót
trójkàta prostokàtnego wokó∏ prostej
zawierajàcej jednà z jego
przyprostokàtnych.
b
c
b
c
= – wysokoÊç sto˝ka
a r
= – promieƒ podstawy sto˝ka
c l
= – tworzàca sto˝ka
a
a
(1)
OÊ sto˝ka
to oÊ obrotu.
(6)
WysokoÊç sto˝ka
to odcinek ∏àczàcy wierzcho∏ek
sto˝ka ze Êrodkiem jego podstawy.
(2)
Powierzchnia boczna
sto˝ka to powierzchnia
powsta∏a przez obrót przeciwprostokàtnej.
(7)
Przekrój osiowy sto˝ka
jest
trójkàtem równoramiennym
o podstawie d∏ugoÊci 2 ,
wysokoÊci
H
i ramionach
l
.
(3)
Podstawa sto˝ka
to ko∏o powsta∏e przez obrót
jednej z przyprostokàtnych.
H
l
r
r
(4)
Wierzcho∏ek sto˝ka
to wierzcho∏ek trójkàta,
który nie nale˝y do podstawy sto˝ka.
(8)
Sto˝ek Êci´ty
jest to cz´Êç
sto˝ka zawarta mi´dzy jego
podstawà a przekrojem
poprzecznym p∏aszczyznà
równoleg∏à do podstawy sto˝ka.
r
(5)
Tworzàca sto˝ka
to ka˝dy odcinek zawarty
w powierzchni bocznej sto˝ka i ∏àczàcy jego
wierzcho∏ek z podstawà.
R
c)
Kula
to bry∏a obrotowa powsta∏a przez obrót pó∏kola
wokó∏ prostej zawierajàcej jego Êrednic´.
S
– Êrodek kuli
r
– promieƒ kuli
r
r
S
S
(1)
Powierzchnia kuli
to powierzchnia, jakà zakre-
Êla pó∏okràg ograniczajàcy kul´. Jest to sfera.
S
r
S
r
S
– Êrodek sfery
r
– promieƒ sfery
(3)
Sfera
to zbiór punktów przestrzeni, otrzymanych
przez obrót pó∏okr´gu wokó∏ prostej zawierajàcej
Êrednic´.
Uwaga:
Cz´Êci kuli to:
odcinek kuli
wycinek kuli
warstwa kuli
(2)
Ko∏o wielkie kuli
to ko∏o
o promieniu
r
, do którego nale˝y
Êrodek kuli
S
.
r
S
301
bH
bH
9. Stereometria
9.1.5. Szczególne kàty w bry∏ach
a) W zadaniach tekstowych wyst´pujà ró˝ne rodzaje kàtów przestrzennych w bry∏ach. Sà to najcz´Êciej kàty:
(1)
prostej z p∏aszczyznà
, czyli najcz´Êciej kàty mi´dzy pewnymi odcinkami w bry∏ach (przekàtnà, kraw´-
dzià, czy wysokoÊcià) a p∏aszczyznà podstawy, czy Êciany bocznej
(2)
kàty dwuÊcienne
, czyli kàty mi´dzy Êcianà bocznà a p∏aszczyznà podstawy lub mi´dzy dwiema Êcia-
nami bocznymi, ewentualnie mi´dzy przekrojem bry∏y a Êcianà bocznà lub podstawà
(3)
kàty p∏askie
mi´dzy kraw´dziami lub mi´dzy kraw´dzià bocznà a kraw´dzià podstawy; ewentualnie
przekàtnà lub tworzàcà, czy wysokoÊcià bry∏y lub Êciany bocznej, a kraw´dzià; lub mi´dzy przekàtnà
bry∏y a przekàtnà którejÊ ze Êcian, albo kàt wierzcho∏kowy sto˝ka
Oto ich klasyfikacja:
WieloÊciany
Rodzaje kàtów
Graniastos∏upy proste
Ostros∏upy proste
C
2
A
2
B
2
C
1
]
C
1
A
1
C
2
A
1
B
1
D
2
C
2
Kàt nachylenia
przekàtnej
Êciany bocznej
do p∏aszczyzny
podstawy
(czyli
do kraw´dzi
podstawy,
wi´c jest to
kàt p∏aski
w Êcianie
bocznej)
A
2
B
2
]
D
1
A
1
D
2
D
1
C
1
A
1
B
1
W ostros∏upach brak, gdy˝ Êciany
boczne sà trójkàtami,
a trójkàty nie majà przekàtnej.
D
2
C
2
A
2
B
2
]
D
1
A
1
D
2
D
1
C
1
A
1
B
1
E
2
D
2
A
2
B
2
C
2
E
1
D
1
]
E
1
A
1
E
2
A
1
C
1
B
1
302
Plik z chomika:
su_tate
Inne pliki z tego folderu:
vademecum_mat_2010_OBOWIAZKOWA_MATURA_Z_MATEMATYKI.pdf
(6496 KB)
vademecum_mat_2010_HISTORIA.pdf
(6722 KB)
Orzechowiec.doc
(21 KB)
Samouczek Gitarzysty.doc
(57 KB)
plikus.pl_GG pion.exe
(192 KB)
Inne foldery tego chomika:
Galeria
Hiszpanski_-_Mowisz_I_Rozumiesz
Książki
Muzyka
Prywatne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin