Łysik - Równania różniczkowe cząstkowe.pdf

(440 KB) Pobierz
252872364 UNPDF
Akademia wi¦tokrzyska w Kielcach
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Instytut Matematyki
Dr hab. prof. Aw. Grzegorz Łysik
Równania Ró»niczkowe Cz¡stkowe
Skrypt wykładów
Kielce, 2007.
1
Wst¦p
Tre±¢ skryptu odpowiada semestralnemu wykładowi Równania Ró»nicz-
kowe Cz¡stkowe , który prowadziłem w roku akademickim 2004/05 oraz
2005/06 na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Akademii wi¦tokrzy-
skiej w Kielcach. Skrypt zawiera wprowadzenie do teorii równa« ró»niczko-
wych cz¡stkowych rz¦du 1, klasyfikacj¦ równa« liniowych rz¦du 2, klasyczne
omówienie trzech najwa»niejszych równa« fizyki matematycznej, a miano-
wicie równania Laplace’a (i Poissona), przewodnictwa cieplnego i falowego,
wprowadzenie do teorii transformacji Fouriera, podstawowe fakty z teorii
przestrzeni Sobolewa oraz główne wyniki z teorii równa« 2 rz¦du w prze-
strzeniach Sobolewa. Uzupełnieniem cz¦±ci teoretycznej jest wybór przykła-
dowych zada« egzaminacyjnych. Z uwagi na szczupło±¢ miejsca wiele aspek-
tów nowoczesnej teorii równa« ró»niczkowych cz¡stkowych zostało pomini¦-
tych. Równie» dowody niektórych twierdze« zostały pomini¦te. Czytelnika
zainteresowanego gł¦bszym poznaniem równa« cz¡stkowych odsyłamy do na-
st¦puj¡cych podr¦czników:
• L. Evans, Równania ró»niczkowe cz¡stkowe , PWN, 2002.
• H. Marcinkowska, Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych cz¡stkowych ,
PWN, 1986.
• V. P. Mikhailov, Dierencjalnye uravnienia v castnych proizvodnych ,
Moskva, 1983.
Szczególnie warty polecenia jest nowocze±nie napisany podr¦cznik L.
Evansa, który w opinii autora tego skryptu powinien si¦ znale¹¢ na półce
ka»dego matematyka.
2
Spis tre±ci
1. Wprowadzenie 5
1.1. Przykłady równa« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Rozwi¡zanie równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Przykłady zagadnie« dla równa« cz¡stkowych . . . . . . . . . 7
2. Równania ró»niczkowe cz¡stkowe rz¦du 1 7
2.1. Równanie transportu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Zagadnienie pocz¡tkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Zagadnienie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Całka zupełna dla równania rz¦du 1 . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. Metoda charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6. Zagadnienie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Przykład równania bez rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Klasyfikacja równa« liniowych 19
3.1. Równania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Równania liniowe rz¦du 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Równania liniowe rz¦du 2 dwóch zmiennych niezale»nych . . . 22
4. Równania Laplace’a i Poissona 24
4.1. Interpretacja fizyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Rozwi¡zanie podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3. Własno±¢ warto±ci ±redniej . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4. Regularno±¢ funkcji harmonicznych . . . . . . . . . . . . . 29
4.5. Równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6. Problem Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7. Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8. Funkcja Greena kuli jednostkowej . . . . . . . . . . . . . . 35
4.9. Wzór Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Równanie przewodnictwa cieplnego 39
5.1. Interpretacja fizyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Rozwi¡zanie podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3. Zagadnienie pocz¡tkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4. Zagadnienie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Równanie falowe 45
6.1. Interpretacja fizyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2. Zagadnienie pocz¡tkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta 46
6.3. Wymuszone drgania struny . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4. Równanie struny na półprostej . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5. rednie sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.6. Wzór Kirchoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.7. Wzór Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
6.8. Zagadnienie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.9. Jednoznaczno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7. Transformacja Fouriera 56
7.1. Definicja i podstawowe własno±ci . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2. Transformacja Fouriera na L 2 (R n ) . . . . . . . . . . . . . 59
7.3. Odwrotna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . 61
7.4. Zastosowania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8. Przestrzenie Sobolewa 64
8.1. Słabe pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2. Definicja przestrzeni Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3. Własno±ci przestrzeni Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4. Twierdzenia o wło»eniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.5. Przestrzenie H k (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9. Równania eliptyczne rz¦du 2 72
9.1. Postawienie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2. Słabe rozwi¡zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3. Twierdzenie Laxa-Milgrama . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.4. Istnienie słabych rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Zadania
79
4
1. Wprowadzenie
Równania ró»niczkowe cz¡stkowe stanowi¡ niezwykle obszern¡ dziedzin¦
matematyki, ł¡cz¡c¡ si¦ z innymi gał¦ziami matematyki jak: analiza mate-
matyczna, analiza funkcjonalna, geometria ró»niczkowa, rachunek prawdopo-
dobie«stwa geometria rozmaito±ci topologia... . Tego ogromu powi¡za« nie
sposób przedstawi¢ jest w trakcie semestralnego wykładu. Pocz¡tki badania
równa« cz¡stkowych si¦gaj¡ XVIII wieku i prac Daniela Bernoulliego i Jeana
d’Alamberta po±wi¦conych badaniu rozwi¡za« równania struny. Natomiast
współczesnej teorii równa« nie sposób przedstawi¢ bez pomocy metod ana-
lizy funkcjonalnej. Przykłady ilustruj¡ce sposoby rozwi¡zywania poszczegól-
nych równa« s¡ cz¦sto niełatwe z uwagi na długie rachunki. Niektóre z tych
przykładów miały w swoim czasie przełomowe znaczenie dla rozwoju mate-
matyki. Np. teoria szeregów Fouriera wyrosła z prób rozwi¡zywania równania
falowego i równania ciepła; natomiast teoria przestrzeni Hilberta ma swoje
korzenie w badaniach równa« Laplace’a i Poissona.
Faktycznie nie istnieje co± takiego jak ogólna teoria równa« ró»nicz-
kowych cz¡stkowych; nie ma praktycznie »adnych twierdze« dotycz¡cych
wszystkich lub wi¦kszo±ci równa« ró»niczkowych cz¡stkowych. Na ogół twier-
dzenia dotycz¡ jednego równania lub konkretnej klasy równa«. Podczas bada-
nia równa« cz¡stkowych cz¦sto warto odwoływa¢ si¦ do motywacji fizycznej
danego równania. Na ogół z fizyki wynika, które z równa« s¡ wa»ne, gdy» opi-
suj¡ wa»ny proces fizyczny. Znajomo±¢ fizyki pozwala tak»e na interpretacj¦
wyników i wzorów oraz daje pełniejszy obraz teorii.
Z tego co wy»ej zostało powiedziane wynika, »e nie warto podawa¢ ogól-
nej definicji równa« cz¡stkowych. Zamiast tego podamy kilka przykładów.
Bli»szym omówieniem niektórych z nich zajmiemy si¦ na dalszych wykła-
dach.
1.1. Przykłady równa«
A. Równania liniowe.
1. Równanie transportu
@ t u +
X
@x i = 0 .
i =1
2. Równania Laplace’a i Poissona
u = 0 , u = f ( x ) gdzie u =
X
@ 2 u
@x i
.
i =1
3. Równanie ciepła
@u
@t = u.
5
b i @u
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin