planimetria.pdf

GEOMETRIA PýASZCZYZNY

AE A = 4 oblicz pole kwadratu.

3. W trójkącie prostokątnym wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki

odługościach2i3.Obliczpoletegotrójkąta.

4. Boki kwadratu skrócono o 20 %. O ile pr ocentzmniejszyłosiępolekwadratu.

5. ZnajdźpolekwadratuwpisanegowokrągopromieniuR.

6. ZnajdźobwódokręguopisanegonakwadracieopoluP.

7. Znajdźkątyrombu,któregokrótszaprzekątnajestrównabokowi.

8. Znajdź stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jeŜeli wysokość

iśrodkowawychodzącezwierzchołkakątaprostegomajądosiebiejak40:41

9. W trapezie, którego podstawy mają długość a i b, miary katów przy większej

podstawiesąrówne30

° i 45°. Oblicz pole tego trapezu.

10. Dane są długości b i c dwóch boków trójkąta ostrokątnego. Pole tego trójkąta jest

równe 4

1 bc.Znajdźdługośćtrzeciegobokutegotrójkąta.

11. WtrójkącierównoramiennymABC,wktórym

kątprzypodstawiema

= d.

12. Obliczyć długość boków trójkąta prostokątnego wiedząc, Ŝe tworzą one ciąg

arytmetyczny,apoletegotrójkątajestrówne6.

13. Wtrapezierównoramiennymopodstawacha=10ib=20orazkącieostrymrównym

.ZnajdźdługośćwysokościCDjeśliwiadomo,Ŝe

połączono odcinkami środki sąsiednich boków. Obliczyć pole czworokąta,

któregobokamisąteodcinki

=30

14. ObliczyćdługośćbokurombuznającjegopolePistosunekdługościprzekątnych

15. Obliczyćdługośćokręguopisanegonatrójkącieobokachdługości2 , 3, 4.

16. Obliczyćdługośćpromieniaokręguwpisanegowwycinekkołaokącieśrodkowym

i polu P.

17. WtrójkącieprostokątnymABCdanesądługościprzyprostokątnych

= a oraz

= b. Dwusieczna kąta prostego przecina przeciwprostokątną w punkcie D.

Obli czdługośćodcinkaAD.

18. Obwódrombujestrówny12,asumaprzekątnych8.Obliczpoleiwysokośćrombu.

19. Wokręguośrednicy10cmkątśrodkowy

mamiarę120

.Obliczyćdługośćcięciwy

odpowiadającejtemukątowi.

20. Wtrójkątrównoramiennyoobwodzie56wpisanookrąg,któregopromieńjestrówny

2 długościwysokościpoprowadzonejdopodstawytegotrójkąta.Obliczyćdługości

bokówtrójkąta.

21. Obliczyćdługośćpromieniaokręguopisanegonatrójkącieprostokątnym13,12i5

orazdługośćpromieniaokręguwpisanegowtentrójkąt.

22. ObliczyćpromieńokręguwpisanegowtrójkątrównobocznyopoluP.

23. Wokrągopromieniur= 3 wpisanotrójkątprostokątny,któregojednaprostokątna

jestdwarazydłuŜszaoddrugiej.Obliczyćobwódtegoprostokąta.

1. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego podstawy mają długość 12 cm

i20cm,aprzekątnesądosiebieprostopadłe.

2. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty EiFsąśrodkamibokówBCiCD.Wiedząc,Ŝe

miarę

24. Obliczyćstosunekpolasześciokątaforemnegowpisanegowokrągopromieniur,do

polatrójkątarównobocznegoopisanegonatymokręgu.

25. Danesątrzyokręgizewnętrzniestycznewzględemsiebieiparamistyczne.Oblicz

długośćpromieniaokręguwpisanegowtrójkątwyznaczonyprzezśrodkitychtrzech

okręgów,jeŜeliichpromieniesąrówneodpowiednior 1 =3, r 2 =3, r 3 =1.

26. ObliczdługośćkaŜdejztrzechwysokościtrójkątaobokach13,13,10.

27. Trapez opisany na okręgu o promieniu 5 cm ma dwa kąty o mia rach 90°

i 45°.

Znaleźćdługośćbokutrapezuijegopole.

28. Znaleźćkątytrójkątaobokacha=2,b=2,c=2 3 .

29. Miaryłukowekątówtrójkątaprostokątnegotworząciągarytmetyczny,ajegoobwód

jest równy 3+ 3 .Obliczyćdługośćbokówtrójkąta.

30. WtrapezrównoramiennyopoluSwpisanoczworokąttak,Ŝejegowierzchołkisą

środkamibokówtrapezu.Jakitoczworokąt?Obliczyćjegopole.

31. DłuŜszapodstawatrapezurównoramiennegomadługość13cm,ajegoobwódjest

równy 28cm . Wyrazić pole tego trapezu jako funkcję długości ramienia trapezu.

Znaleźćdziedzinęizbiórwartościtejfunkcji.

32. W trójkącie równoramiennym o ramieniu a=10 cm jeden z kątów ma miarę 120

Obliczyćpoletegotrapezu.

33. Obliczyćpromienieokręgówwpisanegoiopisanegonatrójkącierównoramiennymo

P .

34. WtrapezieprostokątnymwktórymoŜnawpisaćokrąg.Jednazpodstawmadługośća,

drugazaśjesttrzyrazydłuŜsza.Obliczyćpoletrapez u.

35. WtrapezmoŜnawpisaćokrągiopisaćnanimokrąg.Jednazpodstawjestrównaa,

drugajestczteryrazydłuŜsza.Obliczyćpoletrapezu.

36. Suma kątów wewnętrznych w wielokącie wypukłym jest równa 540

. Ile

wierzchołkówmatenwielokąt?

37. RóŜnicapóldwóchkwadratówjestrówna15,aróŜnicaobwodówwynosi12.Jakiesą

długościbokówtychkwadratów?

38. Długościbokówtrójkątaprostokątnegotworząciągarytmetyczny.Jakiesądługości

przyprostokątnych,jeśliprzeciwprostokątnamadługość10cm.

39. Krótsza przypros tokątna trójkąta prostokątnego ma długość 1. Jakie są długości

pozostałychboków,jeślidługościwszystkichbokówtworząciągarytmetyczny.

40. W trójkącie prostokątnym, którego długość przyprostokątnych są równe 5 i 12

wpisanokoło.Obliczyćpoletegokoła.

41. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest dwa razy mniejszy od kąta przy

wierzchołkuB.DługośćbokuABjestrównac,adługośćACjestrównab.Oblicz

długośćabokuBC.

42. Trapez równoramienny o polu 8 cm 2 ikącieprzydłuŜszejpodstawie30

° jest opisany

nakole.Obliczpolekoła,długośćbokówtrapezuorazdługośćjegoprzekątnych.

43. Dwaokręgiopromieniachr 1 =3cm, r 2 =9msąstycznezewnętrznie.Obliczpoleoraz

obwódfiguryograniczonejtymiokręgamiiichwspólnąstycznązewnętrzną

44. Na okręgu o średnicy d opisano trapez równoramienny, którego podstawy mają

odpowiedniodługościaib.Wykazać,Ŝeab=d 2

45. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość 1. Obliczyć długość

bokówtrójkąta,wiedząc,Ŝesąoneliczbamicałkowitymi.

46. Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 10, jeŜeli wiadomo, Ŝe

promieńokręguwpisanegowtentrójkątjestrówny2.

ramieniudługości2ikącieikącieprzypodstawie

47. W połowę trójkąta równobocznego o boku 2 wpisano okrąg. Jaka jest odległość

środkaokręguodwierzchołkakątaprostego.

48. Wtrójkącierównoramiennymnaprzeciwpodstawyodługości1leŜykąt

P . Jaka jest

odległośćśrodkaokręguopisanegonatymtrójkącieodjegopodstawy?

49. Wysokość trapezu jest równa 1, a jedno z ramion ma długość 2. Na trapezie tym

moŜnaopisaćokrągimoŜnawniegowpisaćokrąg.Obliczobwódtrapezu.

50. ObliczpoletrapezuopodstawachaibjeŜeliwiadomo,ŜenatymtrapeziemoŜna

opisaćokrągimoŜnawniegowpisaćokrąg.

51. Jednązpodstawtrapezuwpisanowokrągopromieniu1ijestśrednicątegookręgu.

Dla jedne gozkątówtegotrapezuzachodzizwiązekcos

.Obliczyćpoletego

trapezu.

52. W trójkącie prostokątnym mniejsza przyprostokątna ma długość 3 . Prosta

przechodząca przez wierzchołek kata prostego tworzy z tą przyprostokątną kąt 30

i dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1 : 2. Znaleźć pozostałe długości boków

trójkąta.

53. W trójkącie ABC dane są: kąt

a =60°, bok

½AB½= 2 3 oraz promień okręgu

opisanegonatrójkącieR=4

3 .Znaleźćdługościpozostałychbokówimiarykątów

trójkąta.

54. Danyjestczworokątopolurównym20.Znaleźćpoleczworokąta,któregobokamisą

odcinkiłącząceśrodkibokówdanegoczworokąta.

55. WtrójkącieABCdługośćbokuABjestrówna7,asumadługościpozostałychboków

jestrówna13.ObliczyćdługośćbokówBCiACjeśli

CA A =20

56. Naokręguopromieniuropisanotrapezrównoramienny,któregojednazpodstawma

długość3r.Obliczyćodległościśrodkaokręguodwierzchołkówtrap ezu.

57. Trapez równoramienny ma podstawy długości a i 4a. Jakiej długościpowinnabyć

wysokośćtrapezu,abywtentrapezmoŜnabyłowpisaćokrąg?

58. W okrąg o średnicy AB=2R wpisano drugi okrąg, styczny wewnętrznie do danego

okręgu w punkcie A. Okrąg widać z punktu B pod kątem 60

.Obliczyćodległość

środkaokręguwpisanegoodpunktuB.

59. Wykazać, Ŝe w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a i b oraz

przeciwprostokątnejc,promieńokręguwpisanegowyraŜasięwzoremr=

(

)

60. Sformułować twierdzenie sinusów i podać tego twierdzenia w przypadku trójkąta

ostrokątnego.

61. Sformułowaćiudowodnićtwierdzeniecosinusów

62. Jakąwłasnośćmaczworokątwpisanywokrąg.Udowodnićtęwłasność.

63. W trójkącie ostrokątnym ABC z wierzchołków A i C opuszczono wysokości AD

iCEnabokiBCiAB.Wykazać,ŜetetrójkątyABCiBDEsąpodobne.

64. Wykazać, Ŝe pole dowolnego czworokąta wypukłego jest równe połowie iloczynu

jegoprzekątnychpomnoŜonegoprzezsinuskątamiędzynimi.

65. Podać i udowodnić związek pomiędzy wysokością h trójkąta prostokątnego

poprowadzonązwierzchołkakataprostegoorazodcinkamixiy,naktórewysokośćta

dzieliprzeciwprostokątną.

66. Udowodnić,Ŝesumakątówwewnętrznychtrójkątajestrównakatowipółpełnemu.

67. Wykazać,ŜejeŜelikątytrójkątaspełniająwaruneksin

= 2cos

sin

totrójkątjest

równoramienny.

68. Wykazać,Ŝetrójkątobokach3a,4a,6a(a>0)jestrozwartokątny.

69. Udowodnić wzór na pole trójkąta P = pr, gdzie p – połowa obwodu trójkąta,

r- promieńokręguwpisanegowtrójkąt.

70. Sformułować i udowodnić twierdzenie o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta

wewnętrznego.

71. DwaokręgiopromieniachRi

R sąstycznewewnętrzniewpunkcieA.Przezśrodek

większegookręgupoprowadzonocięciwęBCstycznądomniejszegookręgu.Obliczyć

poletrójkątaABC.

72. Zwierzchołkakatarozwartegorombuopuszczonodwieprostopadłedojegoboków.

Długość kaŜdej prostopadłej jest równa a, zaś odległość między spodkami tych

prostopadłychjestrównab.Obliczyćpolerombu.

73. Udowodnić, Ŝe odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do

trzeciegobokuirównasięjegopołowie.

74. Na okręgu opisano trapez równoramienny o obwodzie 2p i przekątnej d. Obliczyć

stosunek promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym

trapezie.

75. Obliczyćpoletrapezurównoramiennego,któregodługościpodstawsąa=24,b=10,

zaśprzekątnajestprostopadładoramieniatrapezu.

76. WtrójkącieABCdanesąAB=7cm,AC=6cm,BC=5cm.Wiadomo,ŜebokiAC

i BC są styczne do okręgu którego środek leŜy na boku AB. Znaleźć długość

promieniaokręgu.

77. Wysokośćiśrodkowapoprowadzonezjednegowierzchołkakątatrójkątadzieląten

kątnatrzyrówneczęści.Obliczkątytrójkąta.

78. Dany jest trójkąt o bokach 3cm, 4cm, 5cm. Obliczyć długości środkowych tego

trójkąta.

79. Danyjesttrójkątrównoramiennyopodstawiedługości10cmikącieprostymmiędzy

ramionami.Obliczyćdługościśrodkowychwtymtrójkącie.

80. Poletrójkątaprostokątnegojestrówne

6 cm 2 .Wysokośćopuszczonazwierzchołka

kata p rostego dzieli kąt prosty w skali 1:2. Obliczyć długość środkowych w tym

trójkącie.

81. WykaŜ, Ŝe jeŜeli a, b, c, są długościami boków trójkąta ostrokątnego, to

a²+ b²+ c² < 2( ab+ ac+ bc ).

82. WykaŜ, Ŝe trójkąty, których wspólnym wierzchołkiem jest punkt przecięcia się

przekątnych trapezu nie będącego równoległobokiem, zaś boki przeciwległe temu

wierzchołkowipokrywająsięzbokaminierównoległymitegotrapezu,mająrówne

pola.

83. NajednymzbokówtrójkątaABCobranopunktD,przezktóryzostałypoprowadzone

dwa odcinkirównoległedopozostałychbokówtegotrójkąta.Odcinkitepodzieliły

trójkątna dwa trójkąty i równoległobok. Mając dane pola P 1 , P 2 powstałych

trójkątówobliczyćpoletrójkątaABC.

84. Natrójkącie,któregokątymająmiaryαiβopisanokoło.Wyznaczyćstosunekpola

tegotrójkąta,dopolakołaopisanegonatymtrójkącie.

85. Przez punkt przecięcia się przekątnych trapezu ABCD o podstawach AB i CD

poprowadzono prostą równoległą do AD, przecinającą podstawę AB w punkcie E

oraz prostą równoległą do BC przecinającą tę samą podstawę w punkcie R.

Wykazać,Ŝe|AE|=|RB|.

86. Wykazać, Ŝe w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości środkowych

przyprostokątnychstanowi 5

kwadratudługościprzeciwprostokątnej.

87. Wykazać,ŜewtrapezieprostokątnymróŜnicakwadratówdługościprzekątnychjest

równaróŜnicykwadratówdługościpodstaw.

88. Ramiętrójkątarównoramiennegomadługość4cm.Obliczyćdługośćpodstawytego

trójkąta wiedząc, Ŝe odległość środka ramienia od przeciwległego wierzchołka

podstawy jest równa 3 cm.

89. Wykazać,ŜejeŜelihjestdługościąwysokościtrójkątaprostokątnegoopuszczonąna

jego przeciwprostokątną, zaś a i b są długościami przyprostokątnych to

90. OdcinekCBjestcięciwąkołaodługości10.PrzepunktCpoprowadzonostycznądo

tegokoła,zaśprzezpunktBprostąlrównoległądotejstycznej.Obliczyćdługość

promienia koła wiedząc, Ŝe odcinek będący częścią wspólną koła i prostej l ma

długość12.

91. Długości dwóch boków trójkąta są równe 5 i 10. Wykazać, Ŝe długość odcinka

będącegoczęściąwspólnąidwusiecznejjegokątawewnętrznegozawartegomiędzy

bokamiopodanychdługościachjestmniejszaod20/3.

92. Wykazać,Ŝejeśliα,β,γsąkątamitrójkątaisin²α=sin²β+sin²γtotentrójkątjest

prostokątn y.

93. Trapezrównoramiennyoprzekątnej5cmiobwodzie36cmjestopisanynaokręgu.

Obliczdługośćpromieniaokręguwpisanegowtrapezidługośćpromieniaopisanego

na nim.

94. Wykazać, Ŝe w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa się sumie

średnickołaopisanegonatymtrójkącieiwpisanegowtentrójkąt.

95. Wykazać, Ŝę suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego

wierzchołkówjestwiększaodpolowyobwodu.

96. W trójkącie równoramiennym suma ramienia i wysokości jest równa k, kąt przy

p odstawiemamiaręα.Obliczyćpoletegotrójkąta.

97. Trzy okręgi o tym samym promieniu styczne zewnętrznie ograniczają trójkąt

krzywoliniowy.Obliczyćpolepowierzchnitegotrójkątawiedząc,Ŝepromieńokręgu

opisanego na figurze utworzonej z tych trzech ok ręgówjestrównyR.

98. Wkwadratobokuawpisanodrugikwadrattak,Ŝebokikwadratuwpisanegotworzą

zbokamikwadratudanegoodpowiedniokąty p i p . Obliczyćpolepowierzchni

wpisanego kwadratu

99. W trapezie równ oramiennymdanejestramieaikatostryα.Przekątnatrapezujest

prostopadładoramienia.Obliczyćpoletegotrapezu.

100. Dany jest romb o boku a i kącie ostrym α. Romb ten podzielono na trzy części

o równych polach odcinkami mającymi wspólny początek w wierzchołku kąta

ostregoikońcewbokachrombu.Wyznaczyćdługośćtychodcinków.

101. Wyznaczyćliczbęxtak,bywprostokącieobokach1ixprostepoprowadzonez

przeciwległych wierzchołków i prostopadłe do przekątnej dzieliły ja na trzy części

orównychdługościach.

102. WkwadratABCD,któregobokmadługość10cm,wpisanokwadratKLMN,którego

pole stanowi 3 pola kwadratu ABCD. Obliczyć stosunek długości odcinków, na

którewierzchołkikwadratuKLMNdzieląkaŜdybokwadratuABCD.

103. W trójkącie równoramiennym między długością a podstawy i długościami h, H

dwóchjegonierównychwysokościzachodzizwiązek:a²=h H.Wyznaczyćcosinus

kataprzypodstawietrójkąta.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: