logika.teoria.pdf

Rqfuvcy{ rqrtcypgiq tq|woqycpkc

Nqikmc

Nqikmc , to nauka o poprawnym rozumowaniu.

Fakt, że tylko poprawne rozumowanie pozwala człowiekowi na podstawie dostępnych mu

przesłanek wyciągać kolejne, prawdziwe wnioski, spostrzegli już starożytni. Dziś często przy-

tacza się dokonania Arystotelesa , który sformułował kilka podstawowych zasad poprawnego

rozumowania, na przykład:

V Zasada sprzeczności – „dwa twierdzenia względem siebie sprzeczne nie mogą być

równocześnie prawdziwe”.

V Zasada wyłączonego środka – „z dwóch zdań sprzecznych jedno musi być prawdziwe,

a drugie fałszywe” (trzeciego wyjścia nie ma: tertium non datur ).

Zasady logicznego rozumowania, które wykorzystuje się do rozwiązywania problemów ma-

tematycznych nazywane są logiką matematyczną .

Nie będziemy tu omawiać zasad logiki matematycznej w sposób zbyt formalny. Omówimy

najczęściej spotykane w praktyce przykłady zastosowania zasad poprawnego rozumowania.

W języku matematycznym, podobnie, jak i w języku potocznym, mamy do czynienia ze zda-

niami prostymi i złożonymi. W odróżnieniu od języka potocznego nie możemy sobie pozwa-

lać na dowolność w interpretacji tych zdań. Nie może być takiej sytuacji, że wypowiedziane

zdanie jest przez dwie osoby rozumiane w zupełnie odmienny sposób. Zawsze ocena danej

wypowiedzi może być tylko jedna. Z tego też powodu przyjęto omówione niżej zasady.

30 W{ekg urlpkmc

W{ekg urlpkmc „ kk ”

Dwa zdania połączone spójnikiem „i” nazywamy koniunkcją zdań . Koniunkcję zdań p, q mo-

żemy zapisać na kilka sposobów:

∧

Koniunkcję zdań p, q uznajemy za zdanie prawdziwe tylko wtedy, gdy jednocześnie są

prawdziwe p oraz q .

Nqikmc

330

W{ekg urlpkmc

Wycik rtcmv{e|pg

V Zapisanie obok siebie dwóch zdań (nawet bez oddzielającego je przecinka), to zapisa-

nie koniunkcji. Gdy piszemy obok siebie dwa zdania – przekazujemy tym samym in-

formację, że są one jednocześnie prawdziwe .

V Przykład: rozwiązując równanie

− + =

nie możemy pisać

= , =

, gdyż zmienna x nie może jednocześnie przyjmować dwóch różnych wartości.

Należy ponumerować rozwiązania:

= , = −

lub użyć (omówionej w dalszym

tekście) alternatywy :

= = −

V Dwa lub więcej zapisów połączonych nawiasem klamrowym jest koniunkcją . Jeżeli

zobaczymy zapis:

− =

≤

, nie należy panikować.

Zapisy

− =

oraz

≤

połączone są spójnikiem „ i ”, czyli szukamy takich

, które spełniają jednocześnie równanie i nierówność.

Wobec tego należy rozwiązać osobno równanie i nierówność, a następie wyznaczyć

te wartości niewiadomej, które spełniają tak równanie, jak i nierówność.

40 W{ekg urlpkmc

W{ekg urlpkmc „ nwd

nwd ”

Dwa zdania połączone spójnikiem „lub” nazywamy alternatywą zdań . Alternatywę zdań p, q

możemy zapisać na dwa sposoby:

Alternatywę zdań p, q uznajemy za zdanie prawdziwe, gdy jest prawdziwe co najmniej jed-

no z nich (jedno lub obydwa) .

∨

Wycik rtcmv{e|pg

Nie należy mylić alternatywy „lub” z tzw. alternatywą wykluczającą: „albo”.

Alternatywa wykluczająca: „p albo q” jest zdaniem prawdziwym, gdy prawdziwe jest do-

kładnie jedno ze zdań (stąd jej nazwa: jedno wyklucza drugie) .

Przykłady:

V Gdy zapiszemy

< >

, to mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych bez

, również mamy na myśli zbiór liczb rzeczy-

wistych bez zera. Jak widać efekt „działania” spójników „lub” oraz „albo” czasami

może być taki sam.

< >

−

wartości

440

W{ekg urlpkmc

nwd

zera. Gdy zapiszemy

, to mamy na myśli zbiór wszystkich liczb rzeczy-

wistych (każda liczba rzeczywista spełnia co najmniej jeden z tych warunków).

V Gdy zapiszemy

> − <

, to mamy na myśli zbiór

−∞ , − ∪ , ∞

bo tylko liczby z tego zbioru spełniają dokładnie jeden z podanych warunków.

50 W{ekg

W{ekg mqpuvtwmelk

mqpuvtwmelk „ lggnk

lggnk È vq

vq È ”

Zdanie złożone zapisane słownie „ jeżeli p to q ” lub symbolicznie „

⇒

” nazywamy impli-

kacją zdań p, q.

Stwierdzamy w ten sposób, że jeżeli jest spełnione zdanie p, to wtedy jest również spełnione

zdanie q. Wypowiadając implikację, domyślnie nie rozpatrujemy sytuacji, gdy zdanie p nie

jest prawdziwe (wtedy q może sobie być jakie chce).

Wobec tego implikacja zdań „jeżeli p to q” jest fałszywa tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe,

a q jest fałszywe .

Wycik rtcmv{e|pg

V W postaci implikacji zapisywane są twierdzenia matematyczne.

„ Jeżeli trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości

, oraz

przeciwprostokątnej długości

, to

+ =

” - to znane Ci twierdzenie Pitagora-

sa.

V Implikacja często nazywana jest wynikaniem , a o zdaniu

⇒

mówimy: „ z p wynika

≠ ⇒ >

q ”. Dla przykładu podamy zdanie

. Jest to twierdzenie, które mó-

nie jest zerem wynika, że jego kwadrat jest dodatni (twierdzenie jest

niekompletne, bo brakuje określenia, co się kryje pod symbolem

(domyślamy się,

że

oznacza liczbę rzeczywistą).

60 W{ekg

W{ekg mqpuvtwmelk

mqpuvtwmelk „… yvgf{ k v{nmq yvgf{. if{

yvgf{ k v{nmq yvgf{. if{ ÈÑ

nazywamy równoważnością zdań p, q.

Równoważność zdań uznajemy za zdanie prawdziwe, gdy zachodzi jedno z dwojga:

- obydwa zdania są prawdziwe,

- obydwa zdania są fałszywe.

⟺

V Gdy zapiszemy

550

W{ekg

mqpuvtwmelk

lggnk

wi: z faktu, iż

660

W{ekg

mqpuvtwmelk

yvgf{ k v{nmq yvgf{. if{

Zdanie złożone zapisane na jeden z trzech sposobów:

Û p wtedy i tylko wtedy, gdy q

Û p jest równoważne q

Wycik rtcmv{e|pg

to stwierdzamy, że podane dwa równania poza wyglądem niczym się nie różnią: mają

taką samą dziedzinę i ten sam zbiór rozwiązań .

V Użycie równoważności jest często stosowanym sposobem zapisywania twierdzeń ma-

tematycznych, np.: „funkcja liniowa jest funkcją rosnącą wtedy i tylko wtedy, gdy

współczynnik kierunkowy w równaniu funkcji liniowej jest liczbą dodatnią”.

Taki zapis oznacza, że prawdziwe są twierdzenia:

„jeżeli funkcja liniowa jest funkcją rosnącą, to współczynnik kierunkowy w równaniu

funkcji liniowej jest liczbą dodatnią”

oraz twierdzenie odwrotne:

„jeżeli współczynnik kierunkowy w równaniu funkcji liniowej jest liczbą dodatnią, to

funkcja liniowa jest funkcją rosnącą”.

70 W{ekg mqpuvtwmelk

W{ekg mqpuvtwmelk „ fnc mcfgiq

fnc mcfgiq ÈÑ

Zdanie zapisane w jednej z postaci:

Û dla każdego x: warunek(x)

Û dla wszystkich x: warunek(x)

Û dla dowolnego x: warunek(x)

(zamiast x może być użyta dowolna inna zmienna) nazywamy kwantyfikatorem ogólnym .

Zdanie z kwantyfikatorem ogólnym uznajemy za prawdziwe, gdy warunek(x) jest spełniony

przez wszystkie rozpatrywane wartości zmiennej x .

Wycik rtcmv{e|pg

V Twierdzenia matematyczne często zapisywane są za pomocą kwantyfikatora ogólne-

go. Przykładowo twierdzenie:

∈ ⟹ ≥

można zapisać słownie:

kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, lub:

≥

∈

V To zdanie złożone dobrze opisuje jego nazwa: równoważność . Zdania są równoważ-

ne: „równa waga” dwóch zdań oznacza dokładnie tyle, że wypowiadając jedno, czy

drugie zdanie, wypowiadamy „ to samo, tylko w innej postaci” . Jeżeli zapiszemy:

− = ⟺ =

770

W{ekg mqpuvtwmelk

fnc mcfgiq

80 W{ekg mqpuvtwmelk

W{ekg mqpuvtwmelk „ kuvpkglg vcmk

kuvpkglg vcmk È . g

. g ÈÑ

Zdanie zapisane w jednej z postaci:

Û istnieje taki x, że warunek(x)

(zamiast x może być użyta dowolna inna zmienna) nazywamy kwantyfikatorem szczegóło-

wym .

Zdanie z kwantyfikatorem szczegółowym uznajemy za prawdziwe, jeżeli co najmniej jedna

wartość x spełnia warunek(x) – jedna lub więcej, a w skrajnym przypadku nawet wszystkie.

Wycik rtcmv{e|pg

V Gdy używamy kwantyfikatora szczegółowego, nie musimy wskazywać elementu, któ-

ry jak stwierdzamy: istnieje.

Takich elementów może być wiele, może też istnieć tylko jeden. Ilość jest nieważna.

Stwierdzamy tylko, że nie można powiedzieć, iż elementów spełniających podany wa-

runek(x) nie ma.

90 Vtwfpc u|vwmc |crt|ge|cpkc

Vtwfpc u|vwmc |crt|ge|cpkc

Często musimy czemuś zaprzeczyć. Piszemy:

− ≠

( nie jest równe)

− ≱

( nie jest większe lub równe)

( nie należy do…)

Wbrew pozorom zaprzeczanie nie jest łatwe (oczywiście - poprawne zaprzeczanie), a ilość

popełnianych przy tym błędów to potwierdza.

∉

\crt|ge|cpkg mqpkwpmelk

Kiedy podane zdanie jest fałszywe, czyli dla jakich wartości

prawdziwe jest zdanie:

„nieprawda, że

∈ >

” ?

Skoro koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy prawdziwe są obydwa połączone

spójnikiem „ i ” zdania, to fałszywa jest w pozostałych trzech przypadkach:

a) gdy zachodzą:

∉

b) gdy zachodzą:

∈

≯

c) gdy zachodzą:

∉

≯

880

W{ekg mqpuvtwmelk

kuvpkglg vcmk

. g

Wycik rtcmv{e|pg

990

Rozpatrzmy koniunkcję:

∈ >

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: