twierdzenie_Kroneckera_Cappellego.pdf

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Twierdzenie Kroneckera-Cappellego
Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym,
aby dany uk“ad r ó wna« mia“ rozwi¡zanie jest r ó wno–¢ rzƒd ó w macierzy A i
macierzy rozszerzonej( A : B ). Niech rz ( A )= rz (( A : B ))= r . Gdy r r ó wna
siƒ liczbie niewiadomych n , to uk“ad ma dok“adnie jedno rozwi¡zanie, gdy r jest
mniejszy ni» n , to uk“ad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«, kt ó re zale»¡ od n¡r
parametr ó w.
Przyk“ad 1 Rozwi¡za¢ uk“ad r ó wna«
5 x +3 y¡z =3
2 x + y¡z =1
3 x¡ 2 y +2 z = ¡ 4
x¡y +2 z = ¡ 2
:
Niech
0
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 2 2
1 ¡ 1 2
1
0
5 3 ¡ 1 3
2 1 ¡ 1 1
3 ¡ 2 2 ¡ 4
1 ¡ 1 2 ¡ 2
1
A =
B B @
C C A ; ( A : B )=
B B @
C C A :
St¡d
rz A =rz
0
B B @
5 3 ¡ 1
¡ 3 ¡ 2 0
3 ¡ 2 2
¡ 2 1 0
1
C C A =rz
0
B B @
5 3 ¡ 1
¡ 3 ¡ 2 0
13 4 0
¡ 2 1 0
1
C C A =rz
0
B B @
5 3 1
¡ 3 ¡ 20
13 4 0
¡ 2 1 0
1
C C A
0
1
0
1
1101
¡ 700
2100
¡ 210
0 01
¡ 700
2100
0 10
0
1
001
2100
010
=rz
B B @
C C A =rz
B B @
C C A =rz
@
A
0
1
0
1
001
100
010
100
010
001
=rz
@
A =rz
@
A =3
1
oraz
rz( A : B )=rz
0
B B @
5 3 ¡ 1 3
2 1 ¡ 1 1
3 ¡ 2 2 ¡ 4
1 ¡ 1 2 ¡ 2
1
C C A =rz
0
B B @
¡ 10 2 3
0 0 0 1
112 ¡ 2 ¡ 4
5 1 0 ¡ 2
1
C C A
0
B B @
1
C C A =rz
0
B B @
1
C C A
=rz
¡ 10 2 0
0 0 0 1
112 ¡ 20
5 1 0 0
¡ 10 2 0
0 0 0 1
1 0 ¡ 20
5 1 0 0
0
B B @
1
C C A =rz
¡ 1020
0 001
¡ 1020
5 100
0
¡ 1020
0 001
5 100
1
=rz
@
A
0
1
0
1
¡ 1020
0 001
0 100
¡ 100
0 01
0 10
=rz
@
A =rz
@
A
0
1
100
010
001
=rz
@
A =3 :
Poniewa» rz A =rz( A : B )=3i mamy trzy niewiadome, wiƒc uk“ad ma
dok“adnie jedno rozwi¡zanie. Skoro
W =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 2 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 3 ¡ 1
¡ 3 ¡ 2 0
13 4 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=( ¡ 1)( ¡ 1) 1+3
¯ ¯ ¯ ¯
¡ 3 ¡ 2
13 4
¯ ¯ ¯ ¯
= ¡ ( ¡ 12+26)= ¡ 14 6 =0 ;
to rozwi¡zujemy uk“ad
5 x +3 y¡z =3
2 x + y¡z =1
3 x¡ 2 y +2 z = ¡ 4
;
kt ó ry ma dok“adnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = ¡ 14, wiƒc wyliczymy
W x ;W y ;W z . Zatem
W x =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 3 ¡ 1
1 1 ¡ 1
¡ 4 ¡ 2 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 0 ¡ 1
1 0 ¡ 1
¡ 42 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=2( ¡ 1) 5
¯ ¯ ¯ ¯
3 ¡ 1
1 ¡ 1
¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ 2( ¡ 3+1)=4;
W y =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 4 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 3 2
0 1 0
11 ¡ 4 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=1( ¡ 1) 4
¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 2
11 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ =2 ¡ 22= ¡ 20;
W z =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 3 3
2 1 1
3 ¡ 2 ¡ 4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 3 0
0 1 0
7 ¡ 22
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=1( ¡ 1) 4
¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 0
7 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ =2 :
2
St¡d
W = 4
¡ 14 = ¡ 2
7 ;
W = ¡ 20
¡ 14 = 10
7 ;
W = 2
¡ 14 = ¡ 1
7 :
Przyk“ad 2 Rozwi¡za¢ uk“ad r ó wna«
3 x +2 y¡ 4 z =5
2 x +3 y¡ 6 z =5
5 x¡y +2 z =4
:
Przyk“ad 3 Rozwi¡za¢ uk“ad r ó wna«
2 x¡ 3 y + z¡ 5 u =1
x +2 y¡ 3 z +7 u =2
3 x¡y¡ 2 z +2 u =4
:
3
x = W x
y = W y
z = W z
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