Funkcje zmiennej zespolonej.pdf

Spis tre±ci

1 Funkcje zmiennej zespolonej 3

1.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Algebra liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Wzór de Moivre’a;

liczby zespolone i wzory trygonometryczne . . . . . . . . . 8

1.3 Funkcje zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Poj¦cia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Funkcja zmiennej zespolonej – podstawowe deﬁnicje . . . . 11

1.4 Funkcja zmiennej zespolonej – proste przykłady . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Funkcje wieloznaczne.

Pierwiastek n -stopnia na płaszczy¹nie zespolonej;

logarytm zespolony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Ró»niczkowanie funkcji zmiennej zespolonej.

Warunki Cauchy’ego-Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Konsekwencje warunków Cauchy’ego-Riemanna . . . . . . . 19

1.6 Całka funkcji zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego – konsekwencje . . . . . . 28

1.8 Wzór całkowy Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8.1 Wzór całkowy Cauchy’ego – konsekwencje . . . . . . . . . . 32

1.8.2 Twierdzenie Morery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8.3 Zasada minimum i maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8.4 Twierdzenie Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9 Szeregi funkcji analitycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9.1 Szereg funkcyjny, zbie»no±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9.2 Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9.3 Szeregi Taylora funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . 41

1.9.4 Szereg Laurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9.5 Zera funkcji analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.9.6 Odosobnione punkty osobliwe funkcji analitycznej . . . . . 46

1.10 Residuum funkcji zmiennej zespolonej;

twierdzenie o residuach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.10.1 Obliczanie residuów w osobliwo±ciach biegunowych . . . . . 51

2 SPISTRECI

1.11 Rachunek residuów – zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.1 Obliczanie całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.2 Wyznaczanie sum szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.11.3 Rozkład funkcji meromorﬁcznej na ułamki proste . . . . . . 65

1.12 Odwzorowania konforemne i wektorowe pole płaskie . . . . . . . . 69

1.12.1 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.12.2 Homograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.12.3 Siatka konforemnie równowa»na . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.12.4 Potencjał zespolony wektorowego pola płaskiego . . . . . . 79

1.12.5 Wektorowe pole płaskie i odwzorowania konforemne . . . . 83

1.12.6 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice . . . . . . . . 87

1.13 Gamma Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.13.1 Podstawowe własno±ci ( z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.13.2 Reprezentacja całkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.13.3 Funkcje niekompletne — ( a,x ) i ( a,x ) . . . . . . . . . . 107

1.13.4 Funkcja beta Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.13.5 Troch¦ ﬁzyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Rozdział 1

Funkcje zmiennej zespolonej

1.1 Liczby zespolone

Pojawienie si¦ liczb zespolonych w matematyce to typowy „wypadek przy pracy”.

Mniej wi¦cej w połowie 16. wieku włoscy matematycy dopracowali si¦ (wreszcie!)

algorytmu, który dostarczał rozwi¡zania równania trzeciego stopnia 1 . Opracowana

przez nich technika znalezienia pierwiastków równania

x 3 + ax 2 + bx + c = 0

polegała na sprowadzeniu go do pozbawionego wyrazu z drug¡ pot¦g¡ równania

y 3 = py + q.

To wła±nie Tartaglia pokazał, »e ostatnie równanie ma rozwi¡zanie

t q

2 +

t q

2 −

4 − p 3

y =

27 +

27 .

Jak nietrudno zauwa»y¢, dla ( q/ 2) 2 < ( p/ 3) 3 wielko±¢ wyst¦puj¡ca pod kwadra-

towym pierwiastkiem staje si¦ ujemna. I tak na przykład „historyczne równanie”,

opisywane przez Rafaela Bombelliego

x 3 = 15 x + 4

(1.1)

1 Mo»na powiedzie¢, »e czas był to najwy»szy! Równanie drugiego stopnia umieli ju» rozwi¡-

zywa¢ . . . rachmistrze sumeryjscy, 2000 lat przed Chrystusem. Przez niewytłumaczalny kaprys

historii rozwoju ludzkiego intelektu problem „o stopie« wy»szy” czekał na rozwi¡zanie nast¦pne

trzy i pół tysi¡ca lat. Rozwi¡zanie równania trzeciego stopnia wi¡»e si¦ zazwyczaj z nazwiskiem

Girolamo Cardano (1501–1576), chocia» wydaje si¦, »e ten niew¡tpliwie wszechstronny uczo-

ny – prawdziwy „człowiek Renesansu” – wykorzystał w swoich dziełach Practica Mathematicae

(1539) i Ars Magna (1545) wyniki uzyskane przez współczesnego mu (i z pewno±ci¡ nie ust¦-

puj¡cego rang¡) Nicolo Tartaglii (1500–1557), który zreszt¡ równie» „inspirował” si¦ wynikami

działaj¡cego o pół wieku wcze±niej Bolo«czyka Scipione del Ferro (1465–1526).

q 2

4 ROZDZIAŁ1.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ

miałoby mie¢ rozwi¡zanie

x =

3 q

2 + p − 121 +

3 q

2 − p − 121 .

(1.2)

(1.1) s¡ „prawdziwe” (rzeczywiste) liczby: 4 oraz − 2 ± p 3. Jego rewolucyjny

pomysł polegał na zało»eniu, »e wyst¦puj¡ce w rozwi¡zaniu (1.2) pierwiastki

trzeciego stopnie to liczby zespolone , b¦d¡ce sum¡ liczby „zwykłej” (rzeczywistej)

i „uroj onej ”. Ta ostatnia powstaje z przemno»enia pewnej liczby rzeczywistej

przez

p − 1. W dodatku oba pierwiastki trzeciego stopnia powinny si¦ ró»ni¢ mi¦-

dzy sob¡ pojawiaj¡cym si¦ w sumie cz¦±ci rzeczywistej i urojonej znakiem, w

sposób identyczny do tego w jaki ró»ni¡ si¦ wielko±ci wyst¦puj¡ce pod znakiem

pierwiastka, to znaczy

3 q

2 + p − 121 + p − 1 i

3 q

2 − p − 121 − p − 1 ,

gdzie i nale»ałoby wyznaczy¢ 2 .

W ten sposób wła±nie pojawiły si¦ „liczby zespolone”, zawieraj¡ce w sobie uro-

jon¡ (a wi¦c nieistniej¡c¡) wielko±¢ – kwadratowy pierwiastek z –1. Przez przeszło

dwie±cie lat pozostawały pełn¡ abstrakcj¡ matematyczn¡ – abstrakcj¡, która od-

powiednio manipulowana mogła jednak doprowadzi¢ do realnych wyników.

Dopiero na pocz¡tku dziewi¦tnastego wieku powstała nowa koncepcja – wyko-

rzystania tych tworów matematycznych do opisu płaszczyzny. Tak jak zbiór liczb

rzeczywistych mo»na w sposób jedno-jednoznaczny przedstawi¢ przy pomocy osi

liczbowej x (ka»dy punkt osi odpowiada pewnej liczbie rzeczywistej od −1 do

1 i odwrotnie), tak mo»na wprowadzi¢ jedno-jednoznaczne przyporz¡dkowanie

pomi¦dzy parami liczb i punktami płaszczyzny. Uporz¡dkowan¡ par¦ liczb ( a,b )

traktowa¢ mo»emy jako współrz¦dne ko«ca wektora, którego pocz¡tek pokrywa

si¦ z pocz¡tkiem układu współrz¦dnych. Osie tego układu to dwie „tradycyjne”

osie li czb owe, 0 x i 0 y , z tym, »e jednostk¡ osi 0 x jest 1, a osi 0 y – urojona jednostka

2 Obszerniejszy wywód: www.ftj.agh.edu.pl/ lenda/alg/screen.pdf.

Wyst¦puj¡ce pod kwadratowym pierwiastkiem − 121 przeczyło zdrowemu (szes-

nastowiecznemu) rozs¡dkowi. Ale Bombelli wiedział , »e roz w i¡zaniem równania

i = p − 1. Te jednostki spełniaj¡ jednocze±nie role wersorów osi, w tym sensie »e

dowolny punkt na płaszczy¹nie zespolonej (zwanej te» płaszczyzn¡ Arganda lub

płaszczyzn¡ Gaussa) mo»emy przedstawi¢ jako z = 1 · a + i · b . Współrz¦dna

x -owa, a , to cz¦±¢ rzeczywista liczby zespolonej, natomiast współrz¦dna y -owa, b ,

to jej cz¦±¢ urojona . Analogicznie mówimy o rzeczywistej osi 0 x i osi urojonej 0 y

płaszczyzny 0 xy .

W dalszym jednak ci¡gu przydatno±¢ liczb zespolonych była mało widocz-

na. Mo»na ich było u»y¢ (zobaczymy to w tym rozdziale) do zgrabnego zapisu

pewnych operacji na wektorach w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczy¹nie).

Dopiero w drugiej połowie 19. wieku zacz¦ła si¦ objawia¢ pot¦ga nie tyle algebry

liczb zespolonych co teorii funkcji zmiennej zespolonej . W ﬁzyce wielko±ci zespo-

lone maj¡ cz¦sto znakomit¡ interpretacj¦ formaln¡ – np. zespolony współczynnik

1.2.ALGEBRALICZBZESPOLONYCH 5

załamania to wielko±¢ ﬁzyczna składaj¡ca si¦ z dwóch cz¦±ci: rzeczywistej – od-

powiedzialnej za zjawisko załamania fali padaj¡cej na granic¦ dwóch o±rodków

i urojonej – która odpowiada za zjawisko absorpcji.

1.2 Algebra liczb zespolonych

Ka»dy punkt płaszczyzny zespolonej traktujemy jako wektor = a + ib . Dwóm

punktom płaszczyzny i niech odpowiadaj¡ dwie pary liczb: ( a,b ) i ( c,d ).

Zwykłe prawa algebry, przeniesione na liczby zespolone daj¡ — przy zachowaniu

umowy, »e i 2 = − 1:

Rysunek 1.1: Dodawanie liczb zespolonych na płaszczy¹nie Arganda.

+ = ( a,b ) + ( c,d ) ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) , (1.3)

· = ( a,b )( c,d ) ( a + ib )( c + id ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc ) . (1.4)

Dodawanie liczb zespolonych – wektorów na płaszczy¹nie zespolonej ilustruje

Rys.1.1. Mno»enie liczb zespolonych łatwiej jest zinterpretowa¢, je»eli zamiast

Rysunek 1.2: Współrz¦dne biegunowe na płaszczy¹nie zespolonej.

współrz¦dnych kartezja«skich (układ dwóch osi liczbowych 0 x i 0 y ) u»yjemy do

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: