Algebra 0-06 ciało liczb zespolonych.pdf

Wykład6

Ciałoliczbzespolonych

Rozwa»myrównanie x 2 +1=0.Oczywi±cierównanietoniemarozwi¡za«

wcieleliczbrzeczywistych.Pytanie,którenasuwasi¦wtymmiejscubrzmi:

Czymo»natakrozszerzy¢ciałoliczbrzeczywistych,»ebyotrzyma¢nowecia-

ło,wktórymtorównaniemarozwi¡zanie(jednozzało»e«jesttakieabynowe

ciałozawierałociałoliczbrzeczywistychimusiby¢takie,»ebydziałaniaw

tymcieleograniczonedozbioruliczbrzeczywistychbyłyzwykłymidziała-

niamidodawaniaimno»enia).Takieciałomo»naskonstruowa¢.Oznaczmy

przez i jednozrozwi¡za«równania x 2 +1=0(oczywi±cie i niejestlicz-

b¡rzeczywist¡),awi¦cmamy i 2 = − 1.Rozwa»myzbiórelementówpostaci

a + bi ,gdzie a,b s¡liczbamirzeczywistymi.Teelementymo»emytraktowa¢

jakoparyliczbrzeczwistychtoznaczyelement a + bi mo»emyuto»samia¢

zpar¡( a,b ).Równo±¢ a + bi = c + di zachodziwtedyitylkowtedygdy

a = c i b = d .Zbiórtakichelementówoznacza¢b¦dziemyprzez C inazy-

wa¢b¦dziemyz zbioremliczbzespolonych ,aka»dyelementtegozbioru

nazywa¢b¦dziemy liczb¡zespolon¡ .Zapis a + bi liczbyzespolonejnazy-

wamy postaci¡algebraiczn¡(lubkanoniczn¡)liczbyzespolonej .Je±li

z = a + bi jestliczb¡zespolon¡toliczb¦rzeczywist¡ a nazywamy cz¦±ci¡

rzeczywist¡liczby z ioznaczamyj¡przezRe( z ),aliczb¦rzeczywist¡ b

nazywamy cz¦±ci¡urojon¡liczby z ioznaczamyj¡przezIm( z ).Naprzy-

kładRe(2 − 3 i )=2,aIm(2 − 3 i )= − 3.Liczbyzespolones¡wi¦celementami

postaci:

( a + bi )+( c + di )=( a + c )+( b + d ) i,

( a + bi )( c + di )=( ac − bd )+( ac + bd ) i,

elementemneutralnym+jest0+0 i ,amno»enia1+0 i .

Liczbypostaci a +0 i uto»samiamyzliczbamirzeczywistymi.Mamyzatem

R C .

Przykład Wykonajmydziałania:

(3+2 i ) − (5+4 i )= − 2 − 2 i

(2+3 i )(3 − 4 i )=18+ i

(2+4 i ) 2 =4+16 i − 16= − 12+16 i

a + bia,b 2 R ,i 2 = − 1

Wzbiorzeliczbzespolonychmo»nawprowadzi¢działaniadodawaniai

mno»enia,któreoznacza¢b¦dziemyprzez+i · .Otoichdeﬁnicje:

Zadanie Wyznaczy¢liczbyrzeczywiste x i y dlaktórych:

( x + iy )(2 − i )=2 i

Rozwi¡zanie

( x + iy )(2 − i )=2 x + y +( − x +2 y ) i =2 i

st¡dmamy:

(

2 x +3 y =0

− x +2 y =2

Zdrugiegorównaniaotrzymujemy x =2 y − 2ipodstawiaj¡cdopierwszego

mamy2(2 y − 2)+3 y =0,st¡d7 y =4,zatem y = 4 7 i x =2 4 7 − 2= 8 7 − 14 7 = − 6 7 .

Poka»emyterazjakmo»nawyznaczy¢liczb¦odwrotn¡doliczby a + bi 6 =0

toznaczyliczb¦ 1

a + bi :

a + bi = a − bi

( a + bi )( a − bi ) = a − bi

a 2 + b 2 = a

a 2 + b 2 − b

a 2 + b 2 i

Je±liliczba a + bi 6 =0to a 6 =0lub b 6 =0iwtedy a 2 + b 2 6 =0,awi¦cliczba

a + bi jestwtymprzypadkuodwracalna.Mamywi¦c C

Twierdzenie1 Struktura ( C , + , · ) jestciałem.

Odwracaj¡cliczb¦ a + bi wymno»yli±mylicznikimianownikprzezliczb¦

a − bi ,liczb¦t¡nazywamy liczb¡sprz¦»on¡ doliczby z = a + bi ioznaczamy

j¡przez¯ z .Mamyzatem:

Je±li z = a + bi 2 C to¯ z = a − bi

= ¯ z ¯ w ,

4.Je±li z = a + bi to z +¯ z =2 a , z · ¯ z = a 2 + b 2 .

Je±li z 6 =0tomamy:

z = ¯ z

z · ¯ z .

Zadanie Wyznaczy¢wszystkieliczbzespolone z ,którespełniaj¡równanie:

¯ z = z .

= C −{ 0 } .Powy»sze

rozwa»aniaprowadz¡nasdonast¦puj¡cegostwierdzenia:

W łasno ±cisprz¦»enia

1. z ± w =¯ z ± ¯ w ,

2. z · w =¯ z · ¯ w ,

3.Je±li w 6 =0to

Rozwi¡zanie Je±li z = a + bi to¯ z = a − bi .Zatemmamy a − bi = a + bi ,

st¡d2 bi =0tooznacza,»e b =0.Zatemrówno±¢¯ z = z jestspełnionawtedy

itylkowtedygdy z 2 R .

Zadanie Wyznaczy¢wszystkieliczbyzespolone z ,dlaktórych z 2 = − 5+12 i .

Rozwi¡zanie Niech z = a + bi ,wtedy z 2 = a 2 − b 2 +2 abi = − 5+12 i to

namdajeukładrówna«: ( a 2 − b 2 = − 5

2 ab =12

zdrugiegorównaniaotrzymujemy b = 6 a ipodstawiaj¡cdorównaniapierw-

szegootrzymujemy

a 2 = − 5

mno»ymyobustronnieprzez a 2 :

a 4 − 36= − 5 a 2

przenosimynalew¡stron¦ipodstawiamy t = a 2 :

t 2 +5 t 2 − 36=0

zatem=25+144=169, p 169=13,wi¦c:

2 = − 9

t 2 = − 5+13

2 =4

Poniewa» a jestliczb¡rzeczywist¡wi¦c t musiby¢wi¦kszeodzera.Zatem

mamy:

a 2 =4

st¡d a = ± 2, b = ± 3.Poszukiwaneliczbyto:

z 1 =2+3 i,z 2 = − 2 − 3 i

a 2 − 36

t 1 = − 5 − 13

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: