Algebra 0-08 wielomiany zespolone.pdf

Wykład8

Zadanie Wyznaczy¢wszystkierozwi¡zaniarównania z 4 − (2 − i ) 4 =0.

Rozwi¡zanie Ztwierdzeniaopierwiastkowaniuliczbzespolonychwynika,

»erównanietomadokładnieczteryrozwi¡zania(s¡toczwartepierwiastkiz

liczby(2 − i ) 4 ).Jednymzrozwi¡za«jestliczba2 − i .Zgodnieztwierdzeniem

maj¡cjednorozwi¡zanietrzebajeprzemno»y¢przezczynnikcos 2 k 4 + i sin 2 k 4

abyotrzyma¢pozostałe.St¡dotrzymujemy:

z 0 =2 − i,

z 1 = z 0 · (cos 2 + i sin 2 )=(2 − i ) i =2 i +1 ,

z 2 = z 0 · i 2 = z 1 · i =(2 i +1) i = − 2+ i,

z 3 = z 2 · i =( − 2+ i ) i = − 2 i − 1 .

Niech C n = { z 2 C: z n =1 } ,toznaczy C n jestzbioremwszystkich

n -tychpierwiastkówz1.Wtedy C n madokładnie n elementówi( C n , · )jest

grup¡abelow¡.Ponadtoistniejeelement z 1 2 C n ,»edlaka»dego w 2 C n

mamy:

(

z k =cos 2 k

n + i sin 2 k

)

C n =

n : k 2{ 0 , 1 ,...,n − 1 }

inapodstawiewzoruMoivre’amamy:

z k = z k 1 .

Jednymzbezpo±rednichwnioskówztwierdzeniaopierwiastkowaniuliczb

zespolonychjest:

Wniosek1 Dlaka»dejliczbyzespolonejzistniej¡dokładniedwieliczbyze-

spolonew,takie»ew 2 = z.(Inaczejmówi¡cka»d¡liczb¦zespolon¡mo»na

spierwiastkowa¢.)

Wniosektenpozwalanamrozwi¡zywa¢dowolnerównaniestopniadru-

giegowcieleliczbzespolonych.

Rozwa»myrównanie:

az 2 + bz + c =0

gdzie a,b,c s¡dowolnymiliczbamizespolonymi,a z jestniewiadom¡.Wtedy

równanietomazawszepierwiastekwcieleliczbzespolonych.Rzeczywi±cie:

z 2 + b

z + b

2 a

! 2

− b 2

z + b

2 a

! 2

− b 2 − 4 ac

az 2 + bz + c = a

a z

+ c = a

4 a + c = a

4 a =0

9 kw = z k 1 .

Rzeczywi±cienapodstawietwierdzeniamamy:

st¡dotrzymujemyrównanie:

z + b

2 a

! 2

= b 2 − 4 ac

4 a

czyli

! 2

= b 2 − 4 ac

4 a 2

iponiewa»wcieleliczbzespolonychliczb¦ b 2 − 4 ac

z + b

2 a

4 a 2 mo»naspierwiastkowa¢to

istniej¡rozwi¡zanianaszegorównania.Oznaczato,»ealgorytmrozwi¡zywa-

niarównania

az 2 + bz + c =0

jestdokładnietakisamjakwcieleliczbrzeczywistych:

= b 2 − 4 a c

z 1 = − b + p

2 a

alewtymprzypadkurozwi¡zaniazawszeistniej¡.

Przykład Rozwi¡za¢równanie z 2 +(1+4 i ) z − (5+ i )=0.

Wielomiany

Niech K b¦dzieciałem, x zmienn¡.Ka»dewyra»eniepostaci:

f ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 ,

gdzie a n ,a n − 1 ,...,a 1 ,a 0 2 K nazywamywielomianemjednejzmiennejnad

ciałem K .Wyra»eniatenale»yrozumie¢formalnie,awprzypadkugdy K

jestciałemliczbowym(tznjednymzciał:Q , R , C)towielomianyjakdawniej

mo»nainterpretowa¢jakofunkcje.Zbiórwszystkichwielomianównaciałem

K oznaczamysymbolem K [ x ].Je±li f ( x ) 2 K [ x ]i f ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 +

... + a 1 x + a 0 oraz a n 6 =0to n nazywamystopniemwielomianu f ( x )ipiszemy

st f = n .Je±list f = n i a n =1towielomian f ( x )nazywamy unormowa-

nym .Je±list f =1towielomiannazywamywielomianemliniowym.

Je±li K jestciałemtowzbiorze K [ x ]mo»nawtradycyjnysposóbwpro-

wadzi¢działaniadodawaniaimno»eniawielomianów.Je±li f ( x )= a n x n +

a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 , g ( x )= b m x m + b m − 1 x m − 1 + ... + b 1 x + b 0 oraz

n m tomamy:

f ( x )+ g ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... +( a m + b m ) x m + ... +( a 1 + b 1 ) x + a 0 + b 0

f ( x ) g ( x )= P n i =0 c i x i

z 2 = − b − p

gdzie c i = P

k + l = i

a k b l (trzebaprzyj¡¢,»edla l>m mamy b l =0).

Przykład RozpatrujemywielomianyzezbioruR[ x ]:

( x 3 +2 x 2 − x +5)+( x 5 − x 3 + x +4)= x 5 +2 x 2 +9 ,

( x 2 +1)( x 3 − 1)= x 5 + x 3 − x 2 − 1 .

Twierdzenie1 Je±liKjestciałemtostruktura ( K [ x ] , + , · ) jestpier±cie-

niemprzemiennymzjedno±ci¡.

Niech g ( x )i f ( x )b¦d¡wielomianamiowspółczynnikachzciała K .Wtedy

mówimy,»ewielomian g ( x )dzieliwielomian f ( x )ipiszemy g ( x ) | f ( x )je±li

istniejewielomian h ( x ) 2 K [ x ],»e f ( x )= h ( x ) g ( x ),tzn:

g ( x ) | f ( x ) ()9 h ( x ) 2 K [ x ] f ( x )= h ( x ) g ( x )

Przykład Wielomian x 2 +1dzieliwielomian x 5 + x 3 − x 2 − 1bo x 5 + x 3 −

x 2 − 1=( x 2 +1)( x 3 − 1).

Wielomian f ( x )nazywamy rozkładalnym lub przywiedlnym nadcia-

łem K je±liistniej¡wielomiany g ( x )i h ( x )takie,»e f ( x )= g ( x ) h ( x )ist g> 0

ist h> 0.

Przykład Wielomian x 4 +2jestrozkładalnynadciałemR,bo

x 4 +2=( x 2 +

2) 2 − 2

2 x 2 =( x 2 −

2 x +

2)( x 2 +

2 x +

2) .

NatomiastniejestrozkładalnynadciałemQ.

Przykład Wielomian x 4 + x 2 +1jestrozkładalnynadciałem Z 2 ,bo

x 4 + x 2 +1=( x 2 + x +1) 2 .

Twierdzenie2 Je±lig ( x ) if ( x ) s¡wielomianaminadciałemKtoistnieje

dokładniejednaparawielomianówq ( x ) ,r ( x ) 2 K [ x ] ,»e:

g ( x )= q ( x ) f ( x )+ r ( x ) ,

gdzie 0 ¬ st r< st f.

Wielomian r ( x )nazywamyreszt¡zdzielenia g ( x )przez f ( x ).

Mówimy,»eelement a 2 K jest pierwiastkiem wielomianu f ( x )je±li

( x − a ) | f ( x ).

Mo»namówi¢opodstawianiuelementu a 2 K zazmienn¡ x ,tznje±li

f ( x ) 2 K [ x ]to

f ( a )= a n a n + a n − 1 a n − 1 + ··· + a 1 a + a 0 .

Twierdzenie3(Bezout) 1 Elementa 2 Kjestpierwiastkiemwielomianu

f ( x ) 2 K [ x ] wtedyitylkowtedygdyf ( a )=0 .

Dowód

( ) )Je±li a jestpierwiastkiemwielomianu f ( x )tozgodniezdeﬁnicj¡mamy

( x − a ) | f ( x ).Zatemistnieje h ( x ),»e f ( x )=( x − a ) h ( x ).St¡dmamy f ( a )=

( a − a ) h ( a )=0 h ( a )=0.

( ( )Dzielimywielomian f ( x )przezwielomian x − a zreszt¡:

f ( x )=( x − a ) h ( x )+ r ( x ) ,

gdziewielomian r ( x )mastopie«mniejszyod1.Zatem r ( x )= c jestwielo-

mianemstałym.Podstawiaj¡c a mamy:

f ( a )= r ( a )= c =0 .

Zatem:

f ( x )=( x − a ) h ( x ) .

Podamyterazłatwysposóbdzieleniawielomianu f ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 +

...a 1 x + a 0 przezdwumianpostaci x − c .Algorytmtennazywasi¦ schema-

temHornera .

a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 =( x − c )( b n − 1 x n − 1 b n − 2 x n − 2 + ... + b 1 x + b 0 )+ r

współczynniki b i orazreszt¦ r znajdujemykorzystaj¡cznast¦puj¡cejtabelki:

a n a n − 1 a n − 2 ... a 1 a 0

c a n cb n − 1 + a n − 1 cb n − 2 + a n − 2 ...cb 1 + a 1 cb 0 + a 0

= b n − 1 = b n − 2 = b n − 3 = b 0 = r

Przykład Podzieli¢wielomian f ( x )=2 x 5 − 9 x 4 +4 x 3 − x 2 +27przezdwumian

x − 4.

Rozwi¡zanie Korzystamyzpowy»szegoalgorytmu:

2 − 94 − 1027

42 − 10 − 1 − 411

Zatemmamy f ( x )=( x − 4)(2 x 4 − x 3 − x − 4)+11.

1 E.Bezout(1730-1783)matematykfrancuski

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: